§ lb. Формула Блэка и Шоулса. I. Мартингальный вывод

St=S0 + pt + oWt (1)

страдает, прежде всего, тем недостатком, что цены St могут принимать отрицательные значения.

Более реалистична модель геометрического (также говорят - экономического, [420]) броуновского движения, в которой цены представлены в виде

St^Soe**, (2)

где

2

Ht=(n-\\)t + °Wt. (3)

St

(4)

Иначе говоря,

Применяя формулу Ито (§ 3d, гл.

dSt = St{ndt + adWt).

Часто в символической форме это выражение записывают в виде

dSt

~ = pdt + adWt,

St

что подчеркивает аналогию с формулой

— = Ц + оєп,

n-l

использованной выше, например, в модели Кокса-Росса-Рубинштейна в случае дискретного времени (см. § 1е, гл. II).

Модель геометрического броуновского движения (2) была предложена в 1965 году П. Самуэльсоном в работе [420], и именно она легла в основу модели Блэка-Мертона-Шоулса, с которой связана знаменитая формула Блэка и Шоулса для рациональной стоимости стандартного опцио-на-колл Европейского типа с функцией выплат fx = (St — полученная в 1973 году в работах [44] и [346].

2. Итак, будем рассматривать (В, S)-модель Блэка-Мертона-Шоулса, предполагая, что банковский счет В = (Bt)t^o эволюционирует так, что

(5)

dBt = rBt dt,

а цены акций S = (St)t^o подчиняются геометрическому броуновскому движению:

(6)

dSt = St(ndt + odWt).

Таким образом, пусть

Bt = B0ert,

Теорема (формула Блэкаи Шоулса). В модели (5)-(6) рациональная стоимость Ст — С(/т;Р) стандартного опциона-колл Европейского типа с платежной функцией /т = (ST — К)+ определяется формулой

(9)

оу/Т

Ст = *.(!»І±ї?±І1) _

В частности, при SQ = К иг — О

(10)

Ст = Sq

Гт

и Ст ~ Ко J — при Т —> 0 (ср. с формулой (6) в §1а).

Доказательство этой формулы, данное в работах [44] и [346], будет приведено в следующем параграфе.

Используя те же или аналогичные обозначения, что и в предыдущем па-раграфе, положим

и пусть Рт - мера на (ft, &т) такая, что сіРт — ZT гіРт-

По теореме Гирсанова (§ЗЬ, гл. VII) процесс W — (Wt)t^T с Wt = и, — г ~

Wt Н t является цо мере Рт винеровским процессом, и, значит,

о

Law (pt + oWu t^T І Рт) = Law (rt + oWt\\ t^T\\PT)

= Law (rt + orWt; t^T | PT).

Поэтому

Law(5t; T|PT) = Law (s,0e(\'i~i?)t"bTW\'t; t T | PT)

= Law(50e(r-^)t+CTWrt;<^T|PT). (12)

Из теоремы в § 4а, гл. VII, следует, что в классе 0-допустимых стратегий 7г = (/3, -у) с j 72S2du < оо (Р-п.н.) рациональная стоимость Ст =

•\'О

С(/т; Р) определяется следующей формулой:

(13)

Поскольку в рассматриваемом случае fт — (Бт — , с учетом (12) и свойства автомодельности винеровского процесса (Law(WT) = Law(VTWi)) , находим, что

СТ = = е-^ Ерт(5т - К)+

= e-rTEPT(Soe(r~^)T^wr-K) +

= е-гТ Ерт (s0erT • e-^T+oVTw, _ку = е~гТЕ (аеъ^ - к)+, (14)

где

a = S0erT, b = aVT, (15)

Простой подсчет показывает, что

Тем самым, из (14)-(16) следует, что

\'In& + „

Ст

Подставляя сюда значения а — SoerT и b = ау/Т, приходим к формуле Блэка и Шоулса (9). Теорема доказана.

Замечание 1. Если положить

У± =

ау/Т

то формуле (9) можно придать более компактный вид:

(17)

СТ = S0My+) -Ке-гТФ(у-).

Пусть Рт - рациональная стоимость стандартного опциона-путп Европейского типа с платежной функцией /т = {К — Sx)+ • Тогда, поскольку

— гТ

Рт = Ст - S0 + Ке

(ср. с "паритет колл-пут" тождеством (9) в §4d, гл. VI), то

Рт = -S0

(18)

)]

-гТ

+ Ке

as/T

1 -ф^

или

(19)

Рт = -50Ф(-у+) + Ке-гТФ(-у-).

3. Рассматриваемая модель является Т-полной (см. определение 1 в § 2d, гл. VII), и существует 0-допустимая стратегия ж = (/3,7), для шторой отвечающий ей капитал Хж = (X?)t^x таков,что XJ = Ст и XJ.

Х| = /т (Р-п.н.).

Согласно теореме из § 4Ь, гл. VII,

X* = Bt Е?т (jg- I ^ = e\'^-t) ЕРт ((ST - К)+ \\

= е-^"*) Ерт yT-t)+*= Е?т ^(Ste(f-4)cr-t)+,(WT-wt) _ к)+ j ^

= e-V-*) Ерт _ к)+ [ St j

= Е^И^е6^ - К)+ I St)

= j (20)

где

a = Ster^T_t\\ b = (rVT^t, ^-^(0,1),

при этом St и ? = IVy—Wt являются независимыми относительно исходной меры Р.

Учитывая формулу (16), из (20) находим, что цена C(t, St) = X* опре-деляется следующим выражением:

V СГ\\?Т — t )

Так же, как и в § 1а (см. п. 3), устанавливается, что у оптимального хед-жирующего портфеля 7Г — (pt, 7t)t^T

f)C

7t=Qs{t\'St)- (22)

Из (21) после простых преобразований находим, что

1. Опционы Европейского типа на диффузионных (В, 5)-рынках 917 (ср. с формулой (16) в § 1а), и поскольку /3tBt + 7tSt = С(t, St), то

Интересно отметить, что 0 < 7t < 1 и /3t всегда отрицательно, что озна-

К ~

чает взятие в долг с банковского счета, но так, что — — <

Во

Как и в случае модели Башелье, здесь также выполнены свойства (20) и (21) из § 1а:

если t^Tue окрестности момента Т цены, St > К, то

7tSt -)¦ ST, PtBt -)¦ -К-

и

если 11 Т и в окрестности момента Т цены St < К, то

7tSt -»¦ 0, PtBt -»¦ 0.

Замечание 2. Рассмотренная выше цена C{t,St) зависит, разумеется, также и от параметров г и сг, определяющих исходную модель. Чтобы подчеркнуть эту зависимость, будем обозначать эту цену С = C(t, s, г, а) (с St = s).

На практике часто бывает важно иметь представление о том, какова "чувствительность" цены C(t,s,r,a) к изменению параметров t, s, г, а. Стандартными мерами такой "чувствительности" являются следующие величины (см., например, [36] и [415]):

Л дС л дС дС „ дС

9 = ~dt>

(Буква \'К\' произносится здесь как \'вега\'.)

В случае модели Блэка и Шоулса из (21) находим, что

в - sM^tt)] - rKe-^-*4(y-(T -1)),

А = Ф(у+(Т-і)), р = К(Т - г)е-г<т-0ф(г/_ (Г -1)), V = sгде

g±(T-*)= aVT^t •

4.

С этой целью перепишем формулу (13) с /т = (St — в следующем виде:

= Во Ерт /(ST > /Г) - ^e-rTEpT/(ST > if)- (25)

В силу (12), подсчет Ep^/(S-r > К) не представляет трудностей:

Р.)

Для подсчета же Во Ер —-/(S-r > if) введем пропесс Z ¦ (Zt)t^T,

т ІЗТ

Важно отметить, что процесс Z является положительным мартингалом (по "мартингальной" мере Рт) с Ер^Z? — 1- Тем самым, можно ввести новую меру Рт, полагая

dPT = ZTdPT- (28)

(В работе [434] мера Рт называлась дуальной (по отношению к Рт) мар-тингальной мерой.) Из (7) и (8)

Zt = e\'W\'H-O\'—= е\'^-ІГ*,

—— її f •

где Wt = Wt4 t,t ^ T, является винеровским процессом ПО мере Рт-

о

По теореме Гирсанова (§ Зе, гл. III или § ЗЬ, гл. VII) легко проверяется, что относительно меры Рт винеровским будет процесс

Wt = Wt-trt (=Wt+(J^-a)ty t^T. (29)

С учетом введенных обозначений находим, что

Во Ерт |^I(ST >K) = SQ EPTZTI(St > К) = S0 Е?tI(St > К) и, тем самым, из (25) следует, что

Ст = So EFt/(ST Ж)- Ke-rTEpTI(ST > К). (30)

По аналогии с (12),

Law(St;i < Т | Рт) = La.w(s0e(\'i-sr)t+erWt] t < Т | Рт) = Law(s0e(r+^)t+ffW\'; і < Т \\ Рт) = Law(sberteВ частности, если ? ~ ^(0,1), то

Law(ST | Рт) = Law(s0e(r+^)T • е0"^ | Рт).

Отсюда

<32)

Из (30), (26) и (32) получаем, как и было указано в начале этого пункта, несколько иной вывод формулы, Блэка и Шоулса (9) для Ст- § 1с. Формула Блэка и Шоулса. II.