Модель Блэка-Шоулза

а) эффективность безрисковых вложений определяется постоянной силой роста 5, так что величина вклада В(0 изменяется во времени согласно уравнению:

= 09)

А В(0

Заметим, что непрерывное наращение процентов по правилу (19) является, о чем уже упоминалось в самом начале (ч.

б) эффективность вклада в акции (или любые ценные бумаги, на которые выпускается опцион) случайна и меняется согласно стохастическому уравнению

§х1-ц + опа), (20)

си Ь

Где п(1) - случайный процесс с некоррелированными значениями, нулевым математическим ожиданием и бесконечной дисперсией, - так называемый "белый шум". \r\n

В основе этого термина лежат физические представления, связанные с быстро изменяющимися величинами, значения которых, разделенные очень малыми промежутками времени, практически независимы. При разложении таких случайных функций на элементарные гармонические колебания гармоники всех частот оказываются одинаковыми по интенсивности. Эта аналогия с белым цветом и послужила причиной того, что такие случайные функции называются белыми шумами.

Корреляционная функция подобных процессов представляется в виде произведения скаляра а, называемого интенсивностью, на о - функцию разности аргументов. В модели (20) фигурирует белый шум с единичной интенсивностью (а = 1), то есть

|1 [п(1) х п(1\')] = 6(1 - Г),

е

где 6(х) = 0, при X * 0, = 00, при х = 0, и ^<5(х)с1х «1 при любом ? > 0.

С помощью "белого шума" в соотношении (20) моделируется достаточно хаотичный характер поведения цен, который сказывается на не-упорядоченности флуктуаций относительной скорости их изменения вокруг ожидаемого значения ц.

Из уравнения (20) следует, что логарифм цены является нормально распределенной случайной величиной, математическое ожидание которой увеличивается за время I на щ, а дисперсия - на аЧ, так что ц есть скорость роста ожидаемого значения, а а2 - скорость роста дисперсии, предполагаемые постоянными.

Приняв модель (20), Блэк и Шоулз установили следующую формулу для оценки действительной стоимости опциона "КОЛЛ ":

Ск = БМ^,) - Ке(-бТ)М(с12), (21)

где

¦"(%) +(б+ 05а2)Т

аТТ \'

(23)

ал/Т

N„,--1.^. (24,

Здесь приняты следующие обозначения: Б - Текущая рыночная цена базисного актива; К - цена исполнения опциона;

6 - безрисковая ставка непрерывных процентов в расчете на год (в виде десятичной дроби);

Т - время до истечения, представленное в долях в расчете на год;

о - риск базисной акции, измеренный стандартным отклонением ее доходности, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на год (в виде десятичной дроби);

М(") - вероятность того, что при нормальном распределении с нулевым средним и единичной дисперсией результат будет меньше а.

Несмотря на кажущуюся сложность формулы (21), она достаточно широко используется на практике. Например, воспользовавшись ею, можно обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьезно отличается от его действительной цены (21). Опцион, который продается по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле Блэка- Шоулза, является кандидатом на покупку; и, наоборот, - тот, который продается по значительно более высокой цене, - кандидат на продажу.

Более того, при правильном прочтении запись (21) подсказывает, как алгоритмически провести хеджирование, согласуя его с наблюдаемым курсом акции. Чтобы это прояснить, сравним равенство (9) для синтетического однопериодного колл-опциона с обсуждаемой формулой (21). Мы видим, что величина ЫсЬ) в соотношении (21) соответствует множителю 6 в (9). Так как 6 - это коэффициент хеджирования, то величину N((11) в формуле Блэка-Шоулза можно объяснить аналогичным образом.

Аналогично величина КМ(<12)/е(-бТ) соответствует В. При этом В - это сумма средств, которую хеджер занимает, осуществляя данную стратегию, то есть величина КІ^с^) соответствует номиналу займа, поскольку его сумма должна быть возвращена кредитору в момент Т - дату истечения. Поэтому е(-бТ) - это дисконтирующий множитель, указывающий на то, что ставка процента по займу составляет б и он предоставляется на период Т.

Таким образом, сложная на первый взгляд формула Блэка-Шоулза получает простое объяснение. Она позволяет рассчитать начальную стоимость синтетического опциона, состоящую из средств на банковском счете и в акциях, а также хеджирующую стратегию, которая дает в момент Т те же выплаты, что и опцион "колл".

Доказательство Блэка-Шоулза базируется на теории случайных процессов и завершается интегрированием уравнения в частных производных. И то и другое перекрывает математические горизонты данной книги и выходит за рамки требований к ее читателю, ограниченных отчасти возможностями и вкусами ее автора.

Вместе с тем идея доказательства достаточно прозрачна: составляется безрисковый портфель (аналог (3)) из опциона на покупку и некоторого количества акций. Его конструкция подгоняется таким образом, чтобы из смеси опциона с акциями получить безрисковый актив (облигацию). Цена такого портфеля в любой момент времени не должна зависеть от курса акции, а определяется лишь эффективностью безрисковой компоненты.

Моделируя эти требования, авторы доказательства приходят к базовому дифференциальному соотношению относительно функции CK(S, t) (цены опциона) при очевидном краевом условии:

CK(S, Т) = max(S - К, 0). (25)

Это равенство, как легко понять, отражает стоимость опциона на момент его исполнения: ничего не стоит, если контрактная цена К больше курса S; при выгодной для покупателя контрактной цене (К < S) его справедливая стоимость определяется разницей S - К.

Формула (21) и является результатом интегрирования с заменой отсчета времени назад, от даты исполнения опциона.

Приложения формулы Блэка-Шоулза

Приведем цитату из известного учебника Р. Брейли, С. Майерса "Принципы корпоративных финансов", рекомендуемого для изучения во многих университетах, в котором выводится эта формула: "Насколько далека эта теория от практики и далеко ли теоретики оторвались от нужд биржевых спекулянтов? Оказывается, нет. Это одна из наиболее часто используемых формул. Брокеры и дилеры в течение дня много раз ис-пользуют ее в своих практических расчетах".

Почему это так и как пользоваться формулой, вы сейчас увидите на простых иллюстрациях. Для этого нам потребуется таблица значений функции N(d), которая позволяет упростить процесс вычислений.

Оценка премии за опцион. Покажем на конкретных числах, как пользоваться данной таблицей и формулой (21) для рационального назначения премии за опцион.

Пример. Определим стоимость опцион о "колл", который истекает через три месяца и имеет цену исполнения 40 долл. (таким образом, Т = 0,25 и К = 40). Кроме того, текущий курс и риск базисной обыкновенной акции составляют соответственно 36 долл. и 50%, а безрисковая ставка равна 5% (S = 36, а - 0,5, 6 = 0,05). Подставляя числовые данные в формулы (22) и (23), найдем значения di и А?.

In + (0,05 + 0,5(0,5)2) х 0,25 d, ^ 0,25 ;

0,5д/0Д5

d2 = -0,25 - 0.5-Д25 = -0,50.

Таблица значений N((1) для отдельных значений (I\r\n<і ММ) СІ N(<0 СІ Н(сЦ\r\n -1,00 0,1587 1,00 0,8413\r\n-2,95 0,0016 -0,95 0,1711 1,05 0,8531\r\n-2,90 0,0019 -0,90 0,1841 1,10 0,8643\r\n-2,85 0,0022 -0,85 0,1977 1,15 0,8749\r\n-2,80 0.0026 -0,80 0,2119 1 ?п П ЯЯА9\r\n-2,75 0,0030 -0,75 0,2266 1,25 0,8944\r\n-2,70 0,0035 -0,70 0,2420 1.30 0,9032\r\n-2,65 0,0040 -0,65 0,2578 1,35 0,9115\r\n Г\\ ППІ7 -0,60 С, 2743 1,40 0,9 і 92\r\n-2,55 Л плс л

\\Ji\\j\\JJ** Гк ГС 0,2912 1,45 П ч/А\'і\r\n-2,50 0,0062 -0,50 0,3085 1,50 0,9332\r\n-2,45 0,0071 -0,45 0,3264 1,55 0,9394\r\n-2,40 0,0082 -0,40 0,3446 1,60 0,9452\r\n-2,35 0,0094 -0,35 0,3632 1,65 0,9505\r\n-2,30 0,0107 -0,30 0,3821 1,70 0,9554\r\n-2,25 0,0122 -0,25 0,4013 1,75 0,9599\r\n-2,20 .0,0139 -0,20 0,4207 1,80 0,9641\r\n-2,15 0,0158 -0,15 0,4404 1,85 0,9678\r\n-2,10 0,0179 -0,10 0,4602 1,90 0,9713\r\n-2,05 0,0202 -0,05 0,4801 1,96 0,9744\r\n-2 00 п 0228 0 00 /Л СГ\\Г\\е\\ и^иии и,7//3\r\n-1,95 0,0256 0,05 0,5199 2,05 . 0,9798\r\n-1,90 0,0287 0,10 0,5398 2,10 0,9821\r\n-1,85 0,0322 0,15 0,5596 2,15 0,9842\r\n-1,80 0,0359 0,20 0,5793 2,20 0,9861\r\n-1,75 0,0401 0,25 0,5987 2,25 0,9878\r\n-1,70 0,0446 0,30 0,6179 2,30 0,9893\r\n-1,65 0,0495 0,35 0,6368 2,35 0,9906\r\n-1,60 0,0548 0,40 0,6554 2,40 0,9918\r\n-1,55 0,0606 0,45 0,6736 2,45 0,9929\r\n-1,50 0,0668 0,50 0,6915 2,50 0,9938\r\n-1,45 0,0735 0,55 0,7088 2,55 0,9946\r\n-1,40 0,0808 0,60 0,7257 2,60 0,9953\r\n-1,35 0,0885 0,65 0,7422 2,65 0,9960\r\n-1,30 0,0968 0,70 0,7580 2,70 0,9965\r\n-1,25 0,1057 0,75 0,7734 2,75 0,9970\r\n-1,20 0И151 0,80 0,7881 2,80 0,9974\r\n-1,15 0,1251 0,85 0,8023 2,85 0.9978\r\n-1,10 0,1357 0,90 0,8159 2,90 0,9981\r\n-1,05 0,1469 0,95 0,8289 2,95 0,9984\r\n

Воспользуемся теперь таблицей функции N(<3) для получения значений N((1,) и Ы(а2).

N(?1,) = Ы(- 0,25) = 0,4013;

N(62) = 1М(- 0,50) = 0,3085.

И наконец, используем основное соотношение (21) для определения справедливой цены колл-опциона:

^ о/: гчлто / 40 X 0,3085 \\

Ск = 36 X 0,4013 - | е„,25 -) = 14,45 - 12,19 = 2,26 (долл.).

Если в настоящий момент этот опцион продается за 5 долл., то инвестору следует подумать, ке выписать ли несколько опционов. Так как они переоценены (согласно модели Блэка-Шоулза), то можно рассчитывать на то, что в ближайшем будущем их цена упадет. Таким образом, продавец получит премию 5 долл. и может ожидать покупку по более низкой цене, что принесет ему доход от разницы цен. Напротив, если опцион "колл" продается за 1 долл., то следует купить его. Так как он недооценен, то можно ожидать роста его стоимости в будущем.

Возможности для таких сделок создаются достаточно ликвидным рынком биржевых опционов с правилами торговли, вроде тех, что действуют на фьючерсных торгах.

Хеджирование. Модель Блэка и Шоулза не только отвечает на вопрос о рациональной стоимости опциона, но позволяет, сверх того, найти оптимальный хеджирующий портфель: его компоненты задаются в функции непрерывного времени. Не вдаваясь в подробности теоретического решения этой задачи, ограничимся здесь лишь наводящими соображениями и простой арйфметикой.

Подчеркнем, что формула ценообразования (21) не привязана жестко к моменту эмиссии, а годится для опциона любого возраста в пределах его жизненного срока. Как и в дискретном времени, траектория цены задает динамику стоимости защитного портфеля. В свою очередь, эта стоимость определяется сложением денежных средств по содержащимся в портфеле (синтетическом опционе) ценным бумагам: акциям и облигациям (банковскому счету) - уменьшаемое и вычитаемое формулы (21).

Стоимостные вариации, обнаруживаемые в ходе расчетов по мере "взросления" опциона, сигнализируют о необходимости и направлениях в изменении составляющих защитный портфель компонент, уменьшить число акций и вернуть часть долга или, при подъеме курса, дозанять и прикупить акций в количестве, определяемом коэффициентом хеджирования, и так до следующей календарной Даты, предполагающей ревизию портфеля.

Изменения рыночной ценц базисной акции влияют на прогнозы предстоящих на дату истечения платежей, то есть на ожидаемые продавцом опциона риски покрытия обязательств. В связи с чем возникает по-требность в адаптации защитного портфеля (акции, банковский счет) к меняющейся конъюнктуре. Очевидно, что слишком часто пересматривать портфель, то есть подгонять его содержимое к текущей ситуации, не представляется возможным, хотя бы по причине трансакционных издержек.

В то же время при значимых изменениях курса вопросы перестройки теряющего защитные свойства портфеля требуют активного вмешатель- t* l на. Дли DutLidnuDJicnnM лсдлируїищьи ^ 11 ULUUH ОСТи МОЖНО БОСПОЛЬЗО-

ВаТЬОЯ формулой (2і) и с ее помощью рассчитать, как надо изменить портфель в ответ на сложившуюся на фонловом рынке обстановку а затем реализовать эти изменения на практике.

Пример В условиях предыдущего примера портфельный набор устанав-ливается с помошью расчетных значений N(di) = 0.4013 и N(do) = 03085 купить 0,4013 пкций по цене 36 допп и продать 0,3085 трехмесячны* обпитії ций (взять в долг) с номиналом 40 долл. Допустим, что на фоне вялотекущих ценовых изменений хеджер в течение первого месяца со дня продажи опциона предпочитал бездействовать Однако на конец месяца курс резко упал до 26 долл. и возникла необходимость в адаптации поотсЬелч.

Чтобы принять рациональные решения по улучшению портфеля рассчитаем характеристики синтетического опциона на текущую дату, то есть за два месяца до окончания. Для этого воспользуемся формулой Блэка-Шоулза с новыми значениями Т и S:

Т - — - - - 0,1(6), S = 26 долл. 12 6

С учетом этих изменений определим отвечающие им значения d| и d2:

ln ) + (0,05 + 0,5(0,5)2) х 0,1(6)

d, m 1,97,

0,5^/0,1(6)

а2 = . 1,97 _ 0,5^/0,1(6) - -2,147 и по таблице найдем, что: ад) = 1Ч(- 1,97) = 0,0242; М(а2)^= 2,147) = 0,0148.

Таким \\>бразом (по смыслу показателей М^) и Т^2)), для пережи-ваемой даты с курсом в 26 долл. защитный портфель должен состоять из 0,0242 акций и 0,0148 облигаций. Чтобы выйти на эти характеристики, следует продать 0,3771 акций (0,4013 - 0,0242) и на вырученные деньги выкупить 0,2937 облигаций (0,3085 - 0,0148), то есть сократить долг.

Очередную перестройку портфеля можно вновь приурочить к значимым отклонениям курса и т. д.

Читателя не должны смущать полученные при расчетах дробные числа: 0,4013; 0,3085; 0,0242 и 0,0148. В реальных задачах число проданных опционов или количество акций, на которое пишется опцион, достаточно для того, чтобы пересчитать дробные показатели в целые, то есть перейти к штукам. Так надписание 1000 колл-опционов в условиях нашего примера потребует одновременного приобретения 401 акции (0,4013 х 1000), а затем, в соответствии с задачей хеджирования, продажи 377 единиц (0,3771 х 1000).

CiaiHCili\'iecKue ицениваННс рИСКа аКЦИИ. Анализ формулы Блэка- Шоулза позволяет обнаружить направление зависимости цены Ск от ка-

у/ nnu ио ппти па по м рмм у • \'

М— 8!1!Г- i г"* ¦ ¦ ¦ ¦

рыночной стоимости акции S;

цены исполнения опциона К;

времени до даты истечения Т; * ставки без риска 6 и риска акции о.

Что произойдет с ценой опциона "колл" при изменении одной из переменных, когда остальные четыре сохраняют свои значения? А будет следующее.

Чем выше цена базисной акции S, тем больше стоимость опциона "колл".

Чем выше цена исполнения К, тем меньше стоимость опциона

"колл".

Чем больше времени до даты истечения Т, тем больше стоимость опциона "колл".

Чем выше ставка без риска 6, тем больше стоимость опциона "колл".

5 Чем больше риск обыкновенной акции, тем больше стоимость оп-циона "колл".

Отмеченные связи проявляются на рынке опционов и объясняются характером отношения его участников к риску и доходности. Скажем, по п. 2, рост цены К повышает вероятность держателя опциона на отказ и соответственно чистых потерь в пользу продавца. В связи с чем "осторожный инвестор" реагирует снижением спроса и, как следствие, опцион дешевеет. Таким образом, можно сказать, что ВЫВОДЫ 1 + 5, а следовательно и модель Блэка-Шоулза, соответствуют закономерностям, наблю-даемым на реальном рынке.

Из перечисленных пяти переменных первые три \'(§, К и Т)\'определить легко. Для оценки четвертой переменной - безрисковой ставки 6 - можно использовать доходность к погашению государственных облига-ций-, дата погашения которых близка к дате исгечейМ1 опциона.

¦ Что касается риска о, то согласно принятым в\' формулах (22>, \'(23) обозначениям он измеряется среднеквадратическим отклонением силы роста курсовой стоимости. Отметим\'без доказательства, что-этот показатель доходности, как следует из уравнения (20), совпадает « натуральным логарифмом от величины (St/S,.)): • ¦< < • \'

где St и St.| - рыночная цена базисной акции соответственно в момент t и t - 1.

Отсюда ясно: чтобы определить переменную о2, следует получить выборку значений {г,} и, пользуясь этими данными, оценить дисперсию по известным из статистики формулам.

Например, набор рыночных цен {Б,} может состоять из цен закрытия в

конце каждой из 53 недель. Если цена в конце одной недели было ровно 105

долл., а цена в конце следующей недели составляла 107 долл., то доходность

за данную неделю будет равна 1,886% (1п(107/1051). ТОКИЛЛ образолл, мы

получим 52 значения недельной доходности.

Получив п значений доходности акции, определяем среднюю доходность:

Затем средняя доходность используется для оценки дисперсии за период. Она равна квадрату стандартного отклонения:

п -1

Эта величина зависит от продолжительности периода времени, за ко-торый определяется каждое значение доходности. В нашем примере рас-считывалась доходность за неделю, которая может быть использована для получения величины дисперсии за неделю. Соответственно, на основе дневной доходности будет определяться дисперсия в расчете на день, значение которой будет меньше дисперсии за неделю. Однако необходимо получить дисперсию не за неделю и не за день, а в расчете на год, как того требуют формулы (23), (24). Ее получают, умножив дисперсию за период на число таких периодов й году.

Возможность подобного перехода вытекает из свойств модели (20). Таким образом, недельная дисперсия умножается на 52 для получения годовой дисперсии о2.

Существуют и другие методы определения общего риска акции; но мы их рассматривать не будем и ограничимся изложенным выи!ё.

Паритет пут- и колл-опционов (общий случай)

Полученное на примере однопериодной модели свойство дополнительности (17) устанавливает связь и для всех прочих вариантов ценообт разования опционов как на основе многопериодных моделей, так и по формуле Блэка-Шоулза. Поэтому построение защитных портфелей для пут-опционов не отличается чем-то существенным1 и его можно выполнить, прибегая по необходимости к известному соотношению паритета для европейских опционов:

Сп=Ск+^-8. • (26)

Для доказательства покажем, что при нарушении (в ту или иную сторону) равенства (26) у участников рынка появляется возможность арбитража, то есть создаются условия получить безрисковый доход. А это противоречит одной из основных гипотез теории эффективного рынка о его справедливости, то есть об отсутствии на нем арбитражных возможностей.

Предположим сперва, что

С -С + ?? ^ — (27)

" * ем \'

В этом случае поступим так: продадим акцию, продадим пут-опцион и купим колл-опцион. От этой операции мы выручим сумму = С„ - Ск + Если цена акции в конце срока окажется больше К, то пут-опцион не исполняется, а колл-опцион выгодно исполнить, чтобы получить акцию по цене К < Б, так что расход составит К. В результате наращенная на начальный капитал сумма превысит затраты на величину:

А = (Сп - Ск + Б)е5Т - К > 0. (28)

Если же цена акции на дату истечения окажется меньше К, то колл- опционы исполнять невыгодно, зато против нас исполняется пут-опцион и мы обязаны купить акцию по контрактной цене К, так что в конце периода чистый доход окажется равным тон же величине (28). В результате наша прибыль гарантируется независимо от колебаний будущей цены акции. С учетом постулируемой безарбитражности рынка соотношение (27) между стоимостями опционов Сп и Ск выполняться не может.

Невозможность противоположного неравенства доказывается анало-гично. В этом случае, в чем нетрудно убедиться, арбитражная комбина-ция включает продажу опциона "колл" в сочетании с покупкой акций и пут-опциона. Таким образом, гарантированная прибыль невозможна только тогда, когда имеет место взаимосвязь (26),

В завершение еще раз подчеркнем значимость рассмотренного в по-следнем разделе теоретического направления, посвященного моделиро-ванию фондового рынка в непрерывном времени,, Определяющие резуль-таты в этой области были получены в работах Ф. Блэка и М. Шоулза "Расчеты опционов и обязательства корпораций" и Р. Мертона "Теория рациональных расчетов опционов", которые заложили принципиально новые основы для теории и практики расчетов опционов и других цен-ных бумаг.