Взаимосвязь опционов "колл" и "пут"

ox- on = 0,75 - (-0,25) = 1,

К = 1 по

В „ - В к = 36, (36) - (-54, (54)) - - 90, (90).

SA+(l + r)BK =su - к

s А + (1 + г)Вк = о

То, что это совпадение неслучайно, легко убедиться, пе:рейдя к алгебре. В самом деле, аналитическое обобщение этих задач на любой набор выплат дает следующие пары условий воспроизводимости:

5Л+(1+г)Вп-0, Б А +(1 + г)Вп - К-в,.

Решая данные системы, например, по правилу Крамера, найдем параметры синтетического колл- и соответственно пут-опционов:

, Б,,-К п 8,(8и-К).

D "К

(1 + r)(Su -S,)\' \r\n

& - В SU(K-Sd)

йп ~ Su - Sd \' * (1 + r)(Su - Sd)\' для которых (что проверяется непосредственно)

5К-5П=1, Вп-Вк=^-. (16)

Опираясь на эти свойства, выясним, как связаны цены разнонаправленных однопериодНых опционов. Мы знаем, что цена опциона равна начальному капиталу 10, то есть

Ск = + в*, = + Вп. Откуда, с учетом (16),

Сп — С„ —s„ +

" 1 + г

и, следовательно, взаимосвязь "пут-колл" (put-call parity) имеет вид:

Se + Cn-CK-JjL. (17)

Это означает, что портфель, состоящий из акции, пут-опциона и короткой позиции по (проданному) колл-опциону, будет продаваться и покупаться по цене, равной цене исполнения, дисконтированной на безрисковый процент. Отсюда ясно, что специализированную по данному типу опциона систему уравнений можно использовать не только по пря-мому назначению, но также и для определения стратегии хеджирования по отношению к опциону противоположной направленности.

Заметим также, что если цена исполнения опционов совпадает с сегодняшней рыночной ценой актива (К - So), то, как видно из (17),

Ск-Сп - s„ -> о, к п " 1 + г

то есть опцион на покупку дороже опциона на продажу.

Ц Пример. Воспользуемся формулой (17) и нойдем цену пут-опциона из 1 предыдущего примеро с условиями So - К - 100, Ск - 20,(46). Вычисляя, noil лучим то же значение:

СП-20,(46)-100 + ^.]1,37,

которое было рассчитано в предыдущем примере без использования соотношения дополнительности (17).

Установленные выше взаимосвязи между однопериодными опционами "колл" и "пут" носят общий характер и присутствуют также в более сложных случаях многошаговой и непрерывной эволюции цен. В связи с \r\nэтим приемы пуI-опциинни! и хеджиривания аналогичны тому, что делается при рассмотрении колл-опционов.

7,7, О хеджировании с учетом непрерывной эволюции иен

г, =

До сих пор кардинальные вопросы теории опционов: определение рациональной премии за опцион и определение хеджирующей стратегии эмитента - решались исходя из дискретных представлений эффективности оезрисковых и рисковых ц^ижсппи ни ианковскому счету и для акции

В1 р> _ ^ "А (18)

Здесь г, = г - неменяющаяся во времени безрисковая ставка процентов, а последовательность р|, р2, ... - независимые (в вероятностном смысле) случайные величины с двумя возможными значениями с! и п.

Чтобы получить ответы на те же вопросы применительно к непрерывному времени, следует перейти от характеристик динамических рядов (18) к их дифференциальным аналогам, измеряющим темпы прироста на непрерывных траекториях.