§ ЗЬ. Конструкция мартингальных мер в диффузионных моделях. Теорема Гирсанова

Один из весьма распространенных методов построения мартингальных мер основан на теореме Гирсанова и ее разнообразных обобщениях.

Формулировка теоремы Гирсанова, данная им в его известной работе [183], была приведена в § Зе, гл. III. В настоящем параграфе будет приведено ее доказательство, рассмотрены некоторые обобщения и даны критерии абсолютной непрерывности и эквивалентности вероятностных мер, отвечающих диффузионным процессам и процессам Ито.

(1)

dXt = at(uj)dt + dBt, x0 = 0,

где а = (at(w), о ~ некоторый процесс, удовлетворяющий условию

и В = {Bt,&t)t^o ~ стандартное броуновское движение.

Допустим теперь, что а = (at (ш), о _ другой процесс, причин

(3)

Р^У (as(tj) — as(u>))2ds < oo^j = 1, t^ 0.

В этом предположении определен процесс Z = (ср. с (21) в § 3d,

гл. III) с

Zt = exp j J (as - as) dBs - і J (as - as)2 ds j, (4)

являющийся неотрицательным локальным мартингалом ^с локализующими моментами т*; - inf|i: Jq (as — as)2 ds Js к ^ 1, например^.

Из леммы Фату следует, что этот процесс является (неотрицательным) супермартингалом, и, значит, по теореме Дуба о сходимости (см.

гл. III), с вероятностью единица существует и конечен lim Zt (— Z^).

t—>00

Пусть

ЕЯоо = 1. (5)

(Это равносильно предположению о равномерной интегрируемости семейства {Zt, t ^ 0}.) Тогда на (fi, можно определить новую вероятностную меру Р, полагая

dP = Zoo dP. (6)

Теорема 1 (И. В. Гирсанов, [183]). Процесс В = {Bt,&t)t^o с

Bt = Bt

/ (as-as)ds (7)

Jo

относительно меры Р является стандартным броуновским движе-нием и

dXt — at (oj) dt -f- dBt ¦ (8)

Доказательство приводится в п. 3. Сейчас же остановимся на некоторых следствиях и замечаниях.

Следствие 1. Пусть

Xt=Bt-\\ f* as ds, (9)

Jo

где ХЕШ, и

Ztx = exp ^А jf\' as dBs~YfQ «s ds^j. (10)

Предположим, что EZ^ = 1, и положим dPx \' Z^dP. Тогда относительно меры PA процесс X = (Xt)t^0 является стандартным броуновским движением.

Если ЕZj. = 1 для некоторого конечного Т, то относительно меры Ру с dPj. — dPx, где Рт = Р | процесс X = (Xt)t^0 будет стандартным броуновским движением на временном интервале [0,Т].

Следствие 2. Пусть т — т(ш) - конечный марковский момент и

Еехр(лВг-ут) =1. (И)

Положим dPx = Zx dP, где Zx = exp ^ABr - "у• Тогда относи-тельно меры РА процесс X — (Xt)t^0 с

Xt = Bt - А • (t Л т)

является стандартным броуновским движением.

Замечание 1. Формулировка теоремы Гирсанова, приведенная в §3е, гл. III, давалась в предположении, что 0 ^ t ^ Ти EZT = 1. Этот случай вкладывается в рассматриваемый сейчас случай 0 < t < оо, если at — 0 и at = 0 для t > Т.

Замечание 2. Известными достаточными условиями для выполнения свойства (11) являются (см., например, [288], [303], [402]):

Ее?г < оо ("условие Новикова") (12)

и

sup EeBrAt < оо ("условиеКазамаки"). (13)

t> о

Поскольку sup ЕеВтЛ4 < (Ее?1*)2, то условие (13) слабее условия (12). t^o

Если, например, определить т ~ inf{t: Bt = 1}, то будем иметь Еу/т = оо и, тем более, Ее 2Г = оо. Таким образом, условие (12) здесь не выполняется.

:ехр^Бг - |т) = 1.

В том случае, когда рассматриваемые моменты остановки т являются марковскими относительно потока (^f)t^о, порожденного броуновским движением, условия (12) и (13) можно ослабить.

Теорема 2 ([282]). Пусть tp = ip(t) - неотрицательная измеримая функция такая, что

Ш (Bt - t—yoo \'

и пусть т - марковский момент относительно потока (&f)t>o- Любое из условий

lim sup Еехр{І(т Л сг) — <р(т Л сг)1 < оо (15)

N —>оо 1-2 j

или

lim sup Еехр{^ВгЛ<т — <р(т Л ст)} < оо, (16)

12 J

где DKQ - класс марковских моментов о (относительно (^)t^o) таких, что Р(0 < о ^ N) = 1, является достаточным для выполнения равенства

Еехр{вт-|т} = 1. (17)

Замечание 3. В случае процесса Zx = (Z^)t^o, определенного в (10), соответствующие "условие Новикова" и "условие Казамаки" формулируются следующим образом:

Eexpjy^ a2dsJЕехр asПо поводу доказательств и обобщений на процессы Z = (Zt)t^o вида

Zt=exp{i«-|(L,i>«}, (20)

гдеЬ = (Lt)t^o является непрерывным локальным мартингалом ^каковым

является, например, процесс Lt = J^ as(w)dBs, t ^ 0^, см. [288], [303] и [402].

3. Доказательство теоремы Гирсанова. Как и в случае дискретного времени (см. § ЗЬ, гл. V), достаточно проверить, что (Р-п.н.) для 0 ^ s ^ t, в Є Ж,

Ер {^iBt-S.} | = е-?<*-»). (21)

— ft

С этой целью обозначим а, = as — as, Bt = Bt — I as ds,

J 0

Zt = exp ^J as dBs - і J a2 ds^j

(cm. (7) и (10)).

По "формуле Байеса" (§ За, гл. V)

= 1 Ep[ZteiO(Bt-B3) {22)

92 с

и надо показать, что правая частьв (22) равнае~~2~^"~5). Для простоты будем рассматривать случай s = 0. Пусть Ut = e%eBt. Тогда по формуле Ито (§ 5с, гл. III) находим, что

в2

d(ZtUt) = ZtUt(at + гв) dBt - ZtUt—dt,

то есть,

Г* в2 Г*

ZtUt = 1 + у ZsUs{as + гв) dBs - — J^ ZSUS dt.

Отсюда, рассуждениями, аналогичными тем, которые применялись при доказательстве теоремы Леви (§5а, гл.

ЕPZtUt = -C Г ЕрZsUsds,

из которого заключаем, что

= Е PZtUt =

Формула (21) проверяется аналогичным образом, что и доказывает, что процесс В = (Bf)t^o, определенный в (7), является стандартным броунов-ским движением. Соотношение (8) следует из (1) и (7).

Теорема доказана.

Итак, если по мере Р процесс X имел дифференциал dXt = at (w) dt + dBt, то по мере P, определенной в (6), этот процесс имеет дифференциал dXt = at(u>) dt + dBt, где В = (Bt)t^о является броуновским движением по мере Р.

Важно отметить, что если все рассмотрения проводятся лишь на временном интервале [О, Т], где Т может быть марковским моментом, то вместо условия EZqo = 1 надо требовать лишь выполнения условие EZt = 1.

Замечание 4. Пусть в теореме Гирсанова at - 0, т. е.

Bt = Bt + [ as ds Jo

и t t

¦

Zt - exp j- J as dBs j a2sds

Тогда, если EZT — 1, то по мере Pт с dPT = ZT dP процесс

Xt — Bt + as ds Jo

совпадает с Bt и. является броуновским движением (ср. с § ЗЬ, гл. V), а значит, и мартингалом. Это объясняет, почему меру Р принято называть в рассматриваемом случае "мартингальной" мерой.

Пусть X - процесс Ито с дифференциалом (1) и цх = Law(X | Р) - распределение вероятностей этого процесса в (фильтрованном) пространстве {С,^, о) непрерывных функций X = (Xt)t^о-

Теорема Гирсанова оказывается удобным средством исследования во-просов о том, когда сужения ц* = цх \\ c$t мер цх абсолютно непрерывны, эквивалентны или сингулярны мерам - цв | ^.

Мера рв есть не что иное, как винеровская мера (§ За, гл. III), и, сле-довательно, речь идет о свойствах меры рх процесса X по отношению к винеровской мере рв. В том случае, когда pf рв или pf pf, представляется интересным дать и "явные" выражения для производных

_ тт dp? dpf Радона-Никодима —W и , V .

dpf dpf

Эти вопросы достаточно подробно изучены в случае процесса Ито в монографии [303; гл. 7] и в случае семимартингалов - в [250; гл.

Будем рассматривать временной интервал [0, Т].

Предположим, что

Р (/Т а2Н ds < оо^ = 1. (23)

Тогда определен процесс Z — (Zt)t^T с

Zt = ехр(- J аа(ш) dBs-ll а2а(ш) ds^j. (24)

Теорема 3. Если ЕZT = 1, то

р$ ~ р% (25)

dp? dpx

(X(u)) = E(exp[-j\\s(u>)dXs + ±j\\2s(u)ds (26)

где = а(ш: Ха(ш), s < Т).

Доказательство. Определим меру Рт, полагая (ср. с (6)) dPy -- Zt dPT, где Рт = РI Относительно меры Рт процесс X — {Xt)t^T является, по теореме Гирсанова, броуновским движением, и, следовательно,

рВ(А) = РТ(Х Є А) = [ ZT(u) Р(dw)

І

E[ZT і ^т] (w) P(du>)

{ш: Х(ш)ЄА}

= Е(ІА(Х(и))-E[ZT\\ $$](*)). (27)

Пусть Ф;г(я) - ^т-измеримый функционал такой, что Е[ZT | =

Фу(Х(ш)). Тогдаиз (27) по формуле замены переменных под знаком интеграла Лебега (см., например, [439; гл. II, §6])

= [ Фт(Х(и>)) Р(<Ь>) = [ Фт(х) f4(dx),

J{U>:X(LJ)€A} JA

и, значит, Цт . При этом

duB

-Р^(х) = Фт(х) (28)

d[A*

и

^(X(U))=E[Zr\\^](u). (29)

Установим теперь, что . Для этого заметим, что поскольку

Pt(Zt(cj) > 0) = 1, то Рт «С Рт (ср. с § За, гл. V) и

= (30)

аРу

Поэтому

і4(А) = Рт{х(и) Є а) = цт{1А{х(и,))г?)

= Е?т [ІА (ВД) Epr (Zf11 и)

= $T(x)tf(dx), (31)

где Фу (ж) - \'й\'х\'-измеримый функционал такой, что Ер^ (Zy11 =

Фт(Л"(ы)).

Из (31) заключаем, что /х* /х® и

6. Обратимся к тому специальному случаю, когда процесс Ито X явля-ется процессом диффузионного типа, т.е. пустьв (1) а<(о>) = -Х"(а>)), где A(t, х) - неупреждаюпшй функционал (A(t, х) измерим по (t, х) и при каждом t функционал A(t, х) является ^-измеримым по х).

В этом случае, когда

(33)

dXt =A(t,X)dt + dBu

из теоремы 3 вытекает следующий результат. Теорема 4. Пусть

р| Г И2/

¦QT A2(t,X)dt< оо^=1 : ехр уТ A(t, X) dBt - і JT A2 (t, X) dtj = 1

или, равносильно,

Eexp jT A{t,X)dXt + ^ JT A2(t, X) dtj = 1.

dp j, dfj,j.

-(X) = exp^— Jj A(t,X)dXt+^jJ A2(t,X)dt

ш /J1 Ґр V

^L(X)=expЦ A{t,X)dXt-\\j^ A2(t,X)dtj.

Замечание 5. Если в теореме 3 отказаться от выполнения свойства ЕZT = 1, то можно доказать (см. [303; теорема 7.4]), что

гт

(39)

Р( I A2{t,X)dt < оо ) = 1 р4

X в

Цгр ~ fly.

P^J A2{t,X)dt< оо ) = 1 P^JT A2(t,B)dt7. Сопоставление теорем 3 и 4 показывает, что если в случае процессов диффузионного типа для производных Радона-Никодима имеются "явные" формулы (37) и (38), то для процессов Ито соответствующие формулы (см. (26)) предполагают вычисление условного математического ожидания Е( • | Следующий результат, имеющий и самостоятельный интерес,

оказывается полезным при получении "явных" формул для производных Радона-Никодима в случае процессов Ито, поскольку он позволяет "пере-нести" операцию взятия условного математического ожидания в (26) под знак интегрирования.

Теорема 5. Пусть X - процесс Ито с дифференциалом (1), где

f

Jo

гТ

E|as(o>)| ds < оо. (41)

/о

Пусть A(t, х) - неупреждающий функционал такой, что

A{t,X И) = Е(а«|?*)М. (42)

Тогда процесс В = (Bt)t(43)

Bt=Xt- f* A(s,X{cj))ds Jo

является броуновским движением (относительно потока Если в дополнение к (41)

Р (/Т а2 (со) ds < оо^ = 1, (44)

(45)

то Цт ~ ,

exp^- J as dBs J al=

(46)

dpx dpB \'

(B)=EXP^ A(s,B)dBs-±Jo A2(s,B)cbj, ^(X) = exp A(s, X) dXs - ЦТ A2(S, X) dsj.

P^J A2(t,X)dt < ooj = 1, P^ A2(t, B) dt < oo^j = 1 (47)

JX(Bt-Bs)

Доказательство того, что процесс В — (Bt)t^T является броунов-ским движением (если9В = , t ^ 0, то тогда В называется обновляющим процессом для X), легко может быть получено из формулы Ито для семимартингалов (§3d, гл. III), примененной к e%x(Bt~Bs\\ t > s, А Є Ж. Действительно,

= l + i\\[ eiX^~B^dBu J s

-HA

Ґ ei4Bu-Bs) _ Х(а;))] du

J s

(50)

Поскольку

\\ 2 ft _ _ 2 Js

¦,(^j\\iX(Bu-Bs) dBu I JS* j = 0

и

E j\\ix(B"~B*\\au{u>) - A{u,X{u)))du I ^fj

= 0,

= Eу\\ІХ&"-в°ЇЕ(аи{и)-А{ч,Х{и)) I jf ) du | 9* то из (50) находим, что (Р-п.н.)

E(e,A(Bt-Bs) і pX} = 1 _ ^ J* ?(eiX(Bu-B3) \\g*)du,

откуда (Р-п.н.)

(51)

и, значит, В является процессом броуновского движения. (Непрерывность траекторий (Bt)t^T следует из (43).)

Чтобы доказать оставшиеся утверждения, надо лишь заметить, что

dp f _ В ~

d/ij. dp j. dpB dpB dp.% \' dp%

и воспользоваться утверждениями теорем 3 и 4.

8. Теоремы 1-5 допускают обобщение (см., подробнее, [303; гл. 7]) на многомерные процессы X, на тот случай, когда вместо единичного коэффи-циента диффузии в (1), (33) допускаются коэффициенты, зависящие от t и "прошлых значений" Xs,s < і.

Приведем в этом направлении следующий результат. Пусть X ~ (Xt)t4.T является процессом диффузионного типа с

dXt = a(t, X) dt + P(t, X) dBt, (52)

где a(t,x) и /3(t,x) - неупреждающие функционалы, причем/3(t,x) > 0, определен стохастический интеграл

Ґ 0(s,X)dBs, Jo

t^T,si fT\\a(s,X)\\ds < оо (Р-п.н.).

J о

~ fT ~ Пусть a(t,x) также неупреждающий функционал с / |a(s, Х)| ds < оо

jo

(Р-п.н.) итакой, что

(53)

< оо.

Уо {—PI J

Положим

(54)

Тогда, если EZT = 1, то относительно меры Рх cdPy = ZT дРт процесс X будет процессом диффузионного типа с дифференциалом

(55)

dXt — a(t, X) dt + /3(t, X) dBt,

где В - броуновское движение (по мере Ру). Пример. Пусть Xt = emt+(56)

dXt \' Xt

(m+ ^jdt + adBt

т.е. а

(t,X) = (m+Y jXt,P(t,X) = aXt. Положим a(t,X) = 0. Из (54)

„ ґ /т 1/m ст\\2 1

г* = ^{Ь+2)в<-2(* + 2)г\\> (57)

и относительно меры Рт с ёРт = Zt dP пропесс X = (Xt)t^T имеет сто-хастический дифференциал

dXt = oXtdBt.

Иначе говоря, относительно меры Рт процесс X = (Xt)t^T становится стандартным геометрическим броуновским движением (см. § За, гл. III):