§4Ь. Стандартная диффузионная модель стоимости акций(геометрическое броуновское движение) и ее обобщения

St = So + lit + aWt, (1)

где W = (Wt)t^o - стандартное броуновское движение (винеровскийпро-цесс).

Хотя с принципиальной точки зрения это был решительный шаг в при-менении к анализу финансового рынка концепций теории вероятностей, с самого начала было ясно, что модель (1) страдает многими недостатками и, прежде всего, тем, что величины St (по смыслу являющиеся стоимос-тями акций) принимают отрицательные значения.

В этом отношении важен был следующий шаг, сделанный П.

St^Soe^e*™*-3^*. (2)

Иначе говоря, П. Самуэльсон предлагал считать, что не стоимости St, а логарифмы этих стоимостей подчиняются линейной модели типа (1):

(^~Y)t + г

Из формулы Ито (§ 3d) сразу следует, что

dSt = St(pdt + odWt). (4)

Тем самым, если переписать это выражение в (несколько вольной) форме

Ф- = pdt + odWt, (5)

то становится понятным, что дискретное (по времени, с шагом А) приближение может быть записано в виде (ASt = St — St- д)

ASt -pA + oAWt,

St—A

весьма напоминающем выражение

AS,

Рп (6)

Sn~ 1

с .^„-измеримыми рп, которое выше использовалось (см., например, п. 6 в § 2а, гл. П) при описании эволюции акций (точнее, их стоимостей) в случае дискретного времени.

Представление (5) интересно также сравнить с выражением для (сопут-ствующего) банковского счета В = (Bt)t>о> подчиняющегося уравнению

dBt = г Btdt (7)

с (постоянной) процентной ставкой г > 0.

Если рассматриваемый финансовый рынок состоит из банковского счета В = (Bt)t>о и акции S = (St)t>Q, подчиняющихся уравнениям (7) и (4), соответственно, то будем говорить, что мы имеем дело со стандартной диффузионной (В, 3)-моделью (Блэка-Мертона-Шоулса) или стандартным диффузионным (В, 3)-рынком.

Эта стандартная диффузионная модель была в 1973 году рассмотрена при расчетах стоимостей опционов Ф.

Довольно-таки очевидно, что стандартная модель основана на не слишком реалистических предположениях. В самом деле, в ней предполагается, что процентная ставка г банковского счета является постоянной (на самом

деле, она флуктуирует), коэффициенты изменчивости (волатильности) а и роста /х постоянны (в действительности, они меняются со временем). При выводе формулы Блэка и Шоулса предполагается также (см. далее § § lb, с в гл. VIII), что (В, 5)-рынок является рынком "без трения" (отсутствуют операционные издержки, нет выплаты дивидендов, нет запаздывания в получении данных и принятии решений и т. п.), имеется возможность как брать с банковского счета, так и на него помещать любую сумму, а также покупать и продавать акции в любом количестве.

Все это говорит о том, что стандартная диффузионная модель (В, S)-рынка сильно упрощает действительность, оставаясь, однако, одной из самых популярных моделей.

В этой связи небезынтересно следующее высказывание Ф. Блэка ([41], 1988 г.) по поводу "простоты" рассматриваемой модели:

"В простоте есть и своя сила. Люди принимают эту простую модель, поскольку они могут легко понять заложенные в ней предположения. Эта модель хороша как первое приближение, и если Вы видите \'дыры\' в сделанных допущениях, то Вы можете эту модель усовершенствовать, заменяя ее более изощренной"

2. Одно из таких a priori напрашивающихся усовершенствований состоит в рассмотрении моделей, в которых постоянные г, /х и а заменяются на детерминированные или случайные (согласованные с о) функции

(8) 0)

dBt = r{t)Bt dt,

dSt = St (м(і) dt + a(t) dWt) ¦

Конечно, при рассмотрении более сложных моделей нужно, прежде всего, исходить из тех экспериментально обнаруживаемых фактов, которые не объясняются, не "ухватываются" стандартной (В, S)-моделью.

В этом отношении следует отметить так называемый смайл-эффект (smile effect), который является как раз тем фактом, который не объясня-ется стандартной (В, 5)-моделью, что привело к разнообразным ее обобщениям и усовершенствованиям.

Суть смайл-эффекта состоит в следующем.

r(t),}i{t)K<7(t):

Пусть цена акции управляется уравнением (4) с So = 1 (для простоты) и С = С(сг, Т, К) - рациональная стоимость стандартного опциона-колл Европейского типа с функцией выплаты fa = maх(5т — К, 0).

Формула Блэка и Шоулса для С (см. (9) в § lb, гл. I, и, более подробно, в § § lb, с в гл. VIII) дает явную зависимость этой стоимости от значения волатильности <т, момента исполнения Т и цены исполнения К.

Можно, однако, обратиться к реально существующим на финансовых рынках стоимостям этих опционов с заданными Т и К и сравнить их с теоретическими значениями С-

Пусть эта (реальная) стоимость на финансовых рынках есть С(Т, К).

Найдем а = ст(Т, К) как решение уравнения

С(а,Т,К) =С(Т,К),

где С (а, Т, К) определяется формулой Блэка и Шоулса.

Величинаа(Т, К), называемая предполагаемой (implied) волатильнос- тью, оказалась той характеристикой, которая позволяет выявить неко-торые "дыры" (по выражению Ф. Блэка) в исходной стандартной модели. В самом деле, экспериментально устанавливается, что

при фиксированном К величина а(Т, К) меняется с изменением Т;

при фиксированном Т величина а(Т, К) также меняется с изменением К, будучи функцией выпуклой вниз (это и объясняет название "смайл-эффект").

Для учета наблюдаемого эффекта (а) Р. Мергон предложил ([346], 1973 г.) в стандартной модели считать /х и а функциями времени {р. = p(t), а = a(t)), и такого рода схемы действительно используются на финансовых рынках, особенно при расчетах с опционами Американского типа.

Смайл-эффект (Ь) оказывается более деликатным, и для его объяснения вводятся самые разнообразные усложнения стандартной модели (в том числе модели типа "диффузии со скачками" "стохастической волатильности" и др.).

В этом отношении наиболее прозрачной является модель, предложенная В. Дюпири (В.

dSt = St (p{t) dt + a(St, t) dWt), (10)

где a = В упомянутых работах [121] и [122] Б. Дюпирипоказал также, что идеи "безарбитражности и полноты" рынка позволяют оценить неизвестную волатильность, пользуясь знанием реально наблюдаемых (в момент времени t < Т в состояниях St = s) цен С s,t(K, Т) стандартных ошшонов-колл Европейского типа с моментом исполнения Т и ценой исполнения К.

3. Усложнение стандартной диффузионной (B,S)-модели (4) и (7) в идейном плане весьма схоже с тем, как усложнялись простейшие модели в случае дискретного времени.

Имея это в виду, надомним (см. § Id, гл. II), что в случае дискретного времени мы исходили из представления

Sn = SoeH" (И)

сНп =ЛіЧ Ь/і„и/і„ =4-<т„є„, где/х„ и <т„-неслучайные величины

иє„ ~ JV{0,1).

Если в (9) коэффициенты fi(t) и a(t) являются неслучайными, то St мо-жет быть записало в виде

St=S0eHt, (12)

где t 2 t

Ht = Jo ~ + Jo a{s) dWs\' (13)

Понятно, что в этом случае Ht имеет гауссовское распределение и (12) является непрерывным аналогом представления (11).

Далее, в § Id, гл. II, были рассмотрены модели AR, MA, ARMA, в которых волатильность ег„ считалась постоянной (<тп = а = Const), а цп определялись "прошлыми" Значениями hn — l ? fan — 2i ... и Єп — \\і ?п — 2,....

Наконец, в моделях ARCH и GARCH предполагалось, что hn = сгп?п, причем волатильность <тп считалась зависящей от "прошлого" (см., например, (19) в § Id, гл. II).

Подчеркнем, что во всех этих моделях был один источник случайности - белый (гауссовский) шуме = (єп).

В модели же "стохастической волатильности" (см. п. 7 в § Id, гл. II) предполагалось, что имеются два источника случайности - независимые белые (гауссовские) шумы є ~ (єп) и 5 = (6п). При этом П>п — (7n?fi) где

1д

<7„ = є 2 с

Р

Дп = Q!o + ^ ] &і Дп—і "Ь сЗп (14)

г=і

(см.

Точно так же и в случае непрерывного времени рассматриваются раз-личные аналоги моделей типа ARCH-GARCH и моделей типа стохастической волатильности.

Ко второму типу относятся, например, модели вида (ср. с (37) и (38) в § За, гл. II)

dSt = St (fi(t, St,ot)dt + at dWt?), (15)

dAt=a(t,At)dt + b(t,At)dW?, (16)

где At = In of и W? — {Wt)t^ 0i W6 = (W/)t>o ~ два независимых ви- неровских процесса. (Подобного рода модели рассматриваются в рабо-тах [235], [364], [432], [477].)

При оперировании с моделями типа (15) и (16), когда наблюдается только процесс S = (St)t^о (и не наблюдается процесс волатильности а = {at)tpо), мы сталкивается с "проблемой неполноты" рынка, приводящей к тому, что на таком рынке не определено однозначно, например, такое важное понятие, как рациональная стоимость опционов, и приходится прибегать к более сложному анализу верхних и нижних цен. См. § lb, гл. V.

В этом отношении диффузионные модели типа 11AR СН- GARCH" в случае непрерывного времени, имеют ту привлекательность, что они позволяют в расчетах финансовых активов использовать хорошо развитую технику "безарбитражности и полноты"

Примером такой модели марковского типа является рассмотренная выше модель Б. Дюпири (10).

Следуя идее "зависимости от прошлого" в моделях "ARCH-GARCH" естественно привлечь к рассмотрению, например, те представления

St=S0eHt, (17)

в которых диффузионный процесс Н = (Ht)t^o есть компонента много-мерного диффузионного процесса {Ht,H},..., порожденного одним винеровским процессом.

Соответствующим примером может служить гаус сов скии стационарный процесс с рациональной спектральной плотностью, который можно рассматривать как компоненту многомерного марковского процесса, удовлетворяющего линейной системе стохастических дифференциальных уравнений. (См., подробнее, теорему 15.4 и систему уравнений (15.64) в [303].)

4. Мы продолжим рассмотрение введенных выше диффузионных моделей, описывающих динамику стоимостей акций, в гл.

В первой главе отмечалось, что концепция отсутствия арбитража является именно той экономической концепцией рационально устроенного рынка, которой мы придерживаемся в нашем изложении. В случае дискретного времени "Первая фундаментальная теорема расчета финансовых активов" (см. §2Ь, гл. V) дает мартингальный критерий отсутствия арбитражных возможностей на (В, 5)-рынке, что накладывает определенные ограничения и на банковский счет В = (В„)„^0іинаакции5г= (5„)„^о-

Точно так же, и в случае непрерывного времени естественно придерживаться концепции безарбитражности (В, 5)-рынка, что накладывает определенные ограничения и на динамику цен акции, и на динамику банковского счета (см. гл. VII).

Надо отметить, что случай непрерывного времени является (по сравнению с дискретным временем) более деликатным, что во многом связано как с техническими сложностями соответствующего аппарата стохастического исчисления, так и с принципиальными различиями в возможностях непрерывного и дискретного трейдинга.

Другой важный вопрос, относящийся к конкретизации структуры {В, 5)-рынка, связан с полнотой этого рынка, т.е. возможностью построения портфеля, капитал которого в нужный момент будет воспро-изводить "платежное обязательство" (см., подробнее, §1Ь, гл. V).

Вообще говоря, это желательное свойство является скорее исключением, нежели правилом. Весьма, однако, замечательно, что в случае диффузионных (В, 5)-рынкав при довольно-таки общих условиях полнота будет иметь место (см. § 4а в гл. Vn).