§ За. Броуновское движение и его роль как базисного процесса
5
hn = In " (от, скажем, акции, стоимость которой в момент времени
>Ьп-1
п есть Sn), обычно предполагается, как в линейных, так и в нелинейных моделях, что имеется некоторая базисная последовательность є = (єп), являющаяся "носителем" случайности и порождающая последовательность h = (hn)¦ Как правило, эта последовательность є = (єп) считается белим (гауссовским) шумом.
Выбор такой последовательности є = (єп) в качестве базисной отвечает естественному желанию строить "сложные" объекты (какими являются, вообще говоря, величины hn), исходя из "просто" устроенных.
При этом последовательность є = (єп) действительно может считаться "простой", Поскольку она состоит из независимых одинаково распределенных случайных величин с классическим нормальным (гауссовским) распределением J{(0,1).
р
Согласно определению 2 в § lb, стандартное броуновское движение В — (Bt)t^Q является непрерывным гауссовским случайным процессом с однородными независимыми приращениями с BQ = О, ЕBt = О, ЕВ2 - t.
Ковариационная функция такого процесса - EBsBt = min(s, t).Выше уже не раз отмечалось свойство автомодельности броуновского движения: для всякого а > О
Law(Baf,t ^ 0) = Law(o1/2Bt;t ^ 0).
Из этого свойства вытекает, что процесс также является
броуновским движением. Наряду с этим свойством отметим ряд других преобразований, при которых получающиеся новые процессы, і -- 1,2,3,4, также являются брюуновскими движениями: В^ — Bt; В\\ = tB1/t для t > 0 и В(2) = 0; Bt(3) = Bt+S •- Bs для s > 0;
Bt(4) = Вт - Bf-t для0 ^ t ^ ТиТ > 0.
Многомерный процесс В — (В1,... ,Bd), состоящий из d независимых между собой стандартных броуновских движений В% = (-BJ)t^0, і — 1,..., d, называют d-мерным стандартным броуновским движением.
Обладая "богатой" структурой, броуновское движение дает возможность использовать его для построения разных классов случайных процессов.
Так, броуновское движение выступает в роли "базисного" в конструк-ции диффузионных марковских процессов X = (Xt)t^о как решений стохастических дифференциальных уравнений
dXt = a{t, Xt) dt + a(t, Xt)dBt, (1)
интерпретируемых в том (интегральном) смысле, что для всех t > 0
Xt=X о+ Ґ a(s,Xs)ds + f* a(s,Xs)dBs. (2)
Jo Jo
Участвующий в этом выражении интеграл
It= Ґ a(s,Xs)dBs (3)
Jo
понимается как стохастический интеграл Ито по броуновскому движению.
(Вопросы, относящиеся к стохастическому интегрированию и стохас-тическим дифференциальным уравнениям, рассматриваются далее в § Зс.)В финансовой математике важную роль играет геометрическое броуновское движение S = (St)t^О) подчиняющееся стохастическому дифференциальному уравнению
dSt = St(adt + a dBt) (4)
с коэффициентами а Є М, а > 0.
Это уравнение с начальным условием So, не зависящим от броуновского движения В = (Bt)t^o, имеет явное решение
Ь=5оеа*е°в*-?*, (5)
из которого видно, что в записи
St = S0eHt (ср. с формулой (1) в § 1а, гл. II)
Ht = (a-?pJt + aBt. (6)
Процесс Н = (Ht)t>Q называют броуновским движением с локальным сносом (а — СГ2/2) и диффузией ег2. Из (6) следует, что локальный снос характеризует среднюю скорость измененияН = (Ht)t^o\\ диффузию сг2 часто называют дифференциальной дисперсией, а в финансовой литературе - волатилъностыо.
Видимо, П. Самуэльсон ([420]; 1965 г.) был первый, кто осознал важность геометрического броуновского движения при описании эволюции пен, называя его также экономическим броуновским движением.
Другими известными примерами процессов, которые можно получить как решения стохастических дифференциальных уравнений (1) при подходящем выборе коэффициентов a[t, х) и a(t, х), являются следующие.
Броуновский мост X = (Xt)0^t^T с Хо = а, X? = /3 есть процесс, подчиняющийся уравнению
dXt = ~^dt + dBt, 0 Можно убедиться, например, с помощью формулы И то (см. далее § 3d), что процесс X = (8) где интеграл понимается как стохастический интеграл по броуновскому движению, является решением уравнения (2). Поскольку это уравнение имеет единственное решение (см. §3е), то броуновский мост, выходящий в момент времени t = 0 из точки а и приходящий в момент времени t — Т в точку /3, может быть определен формулой (8). Для стандартного броуновского движения его автоковариационная функция p(s,t) = min(s, t). st соответствующая автоковариационная функция p(s,t) = min(s,?) — —. Среднее значение EXt = — ^ -I- /3^. Нетрудно проверить, что для всякого стандартного броуновского движения W = (Wt)t^о процесс W° = (W?)o = Wt-\\Wt, (9) st имеет ковариационную функщпо p(s,?), равную min(s, t) — —. Отсюда следует, что наряду с процессом X = (Xt)o^t имеет те же самые конечномерные распределения (Law(It 11 ^ T) — Law (Xt,t ^ Xі)) и, тем самым, может рассматриваться как одна из версий броуновского моста. Процесс Орнштейна-Уленбека ([466]; 1930 г.) есть решение (ли-нейного) стохастического дифференциального уравнения dXt = -aXt dt + cr dBt, a > 0. (11) Опять же, используя формулу Ито, можно убедиться в том, что процесс х = (xt)t^о с Xt = Х0е~аі + tr f dBs (12) Jo является (ипритом единственным; см. §3е) решением уравнения (11). Если начальное значение Хо не зависит от броуновского движения В = (-Bt)t^ ои имеет конечный второй момент, то EXt = e~atEXo, (із) DXt = ?+(DXo-?)S~K (14) <т2 Cov(Xs,Xt) DX0+^-(e2amia(°V - I) 2a4 \' В том случае, когда Хо имеет нормальное (гауссовское) распределение с ЕХо = 0 и DXo = a-2/(2a), процесс X = (Xt)t^o будет стационарным гауссовским процессом с нулевым средним и ковариационной функцией p(s\'t) = ^e"Q|<-< (16) В связи с уравнением Орнштейна-Уленбека (11) полезно отметить, что оно является корректной формой уравнение Ланжевена ([295]; 1908 г.) (14 описывающего поведение скорости Vt частицы с массой т, находящейся в жидкости и двигающейся под воздействием молекулярного бомбар-дирования, описываемого броуновским движением, при наличии сил трения (—/3Vt). В форме (17) уравнение не имеет, вообще говоря, смысла в обычном понимании понятия производной, поскольку для (почти всех реализаций) броуновского движения производная dBt /dt не существует (см. Однако этому уравнению можно придать точный смысл, если его понимать как уравнение Орнштейна-Уленбека dVt = ~—Vt dt+— dBt, (18) m m решение которого при Vo = 0 задается, согласно (12), формулой -Л m J о Процесс Бесселя порядка а > 1, по определению, есть процесс X = {Xt)t>0, управляемый (нелинейным) стохастическим дифференциальным уравнением dXt = ^p-^+dBt (20) A At с начальным значением Хо = х ^ Ои броуновским движением В = (Bt)t^0- (Это уравнение имеет, и притом единственное, сильное решение; см. далее § Зе.) В случае а = d, где d= 2,3,..., процесс X может быть реализован [402] как радиальная часть R = (Rt)t^o d-мерного броуновского движения В(*> = (х! +Bl,...,xd + Bf)t> о, + • • • + х\\ = х2: Rt = 0x1 + Bt1)2 + ---+(xd + Btd)2 (21) с независимыми между собой стандартными броуновскими движениями В= (Bi)t^o- Ряд других интересных процессов, управляемых стохастическими дифференциальными уравнениями, приводится в разделе 4 в связи с построением моделей для описания динамики рыночной цены P(f, Т) облигаций (см. § lb, гл. I).