§ ЗЬ. Броуновское движение:сводка классических результатов

Это движение получило название броуновского движения, вызванного, как позже стало ясно, ударами молекул жидкости на помещенные в нее частицы.

В гл. I (§ lb) отмечалось, что у JI. Башелье броуновское движение возни-кало, в сущности, как (формальный) предел простейших случайных блужданий.

Именно, пусть (?fc)fc>і ~ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения, ±1, с вероятностями | ("схема Бернулли"). Возьмем полупрямую = [0,оо)

и для каждого А > 0 образуем процесс S^ — (S^)t^o с кусочно-постоянными траекториями

[і/Д]

= а)

k=l

По процессам можно образовать также случайные процессы

= с непрерывными траекториями, полагая

^ + (2)

Из многомерной центральной предельной теоремы (см., например, [51; гл. 8], [439; гл. VII, §8]) можно заключить, что для любых ti,...,tk, А; > 1, конечномерные распределения Law(5^,..., S^) и

Law(S^\\.. •, сходятся (слабо) к конечномерным распределениям

Law(??tj,..., Btk), где В = (Bt)t^Q - стандартное броуновское движение. На самом деле, можно утверждать больше:

Law(st(A), t ^ о) Law(Bt,* > 0)

и

Law(s^A), t ^ о) Law(Sf,t ^ 0)

в смысле слабой сходимости законов распределения в пространствах D (функций, непрерывных справа и имеющих пределы слева) и С (непрерывных функций); см., подробнее, например, [39], [250].

2.

Обозначим = а (В S,s ^ t) ег- алгебру событий, порожденную значениями Bs, s ^t, и пусть

= П ^ (3)

s>t

- ег-алгебра событий, наблюдаемых не только на интервале [0, t], но и в "ин- финитезимальном будущем" после момента t.

Отметим, что, в отличие от (3°)t^o, семейство {3+)t^Q обладает важным свойством непрерывности справа:

= (4)

s>t

На самом же деле между ег-алгебрами и нет существенной разницы в следующем смысле. Пусть Jf = {А Є P(j4) = 0} - совокупность событий из 3-, имеющих нулевую вероятность. Тогда ег-алгебра U Jf), порожденная событиями из и Jf, совпадает с сг-алгеброй o-(3t° U Jf), порожденной событиями из З-® и Jf\\

аU Jf) = U Jf). (5)

Это оправдывает введение нового семейства сг-алгебр (^t)t^o с = о(3-t U Jf) = U Jf), обладающего, очевидно, свойством

иополненности каждой сг- алгебры 3\'t множествами нулевой вероятности и свойством непрерывности справа, 3\'t — П (О соответствующем

s>t

стохастическом базисе (ft, 3, (3t)t^o, Р) говорят, что он удовлетворяет обычным условиям; см. далее п. 3.)

ПустьТ > ОиВ(Т) = (Bt (Т; ui))t^o- процесс, получаемый из броуновского движения В = (Bt(u)))t^о по формуле

Bt(T;u) = Ві+тН - Вт(ш).

В п. 2, §3а, уже отмечалось, что 1) процесс В(Т) также является броуновским движением, и нетрудно показать, что 2) ег-алгебры 3&т = a[Ba, s ^ Т). и = a(Bs(T), s > 0) независимы. (Как

обычно, сначала устанавливается независимость событий из алгебр соот-ветствующих цилиндрических множеств с последующим использованием метода "монотонных" классов; см., например, [439; гл. И, §2].)

(6)

Е(ДЯт-и) I 3%) = Е(f(BT+t) I tr(BT)).

Часто именно эти два факта называют марковским свойством броу-новского движения (см., скажем, [288; гл. II]), из которого затем выводят иные формы, например, следующее традиционное марковское свойство не-зависимости "будущего" и "прошлого" при фиксированном "настоящем": если f -- /(х) - ограниченная борелевская функция и сг(Вт) ~ сг-алгебра, порожденная процессом Вт, то для всякого t > 0 (Р-п.н.)

Эта аналитическая форма марковского свойства допускает разнообразные обобщения.

Следующее обобщение, приводящее к строго марковскому свойству, относится к распространению изложенных выше марковских свойств на тот случай, когда вместо (детерминированных) моментов Т рассматриваются случайные марковские моменты т = т(ш).

С этой целью предположим, что т = т(ш) является конечным марковским моментом (относительно потока (^t)t^o)-

По аналогии с процессом В(Т) введем процесс В(т) = (Bt (т(ш); полагая

ВДт(ш); и) = Ві+тМ{ш) - BT(ta;) (ш). (7)

Согласно простейшей версии строго марковского свойства, процесс В (г) также является броуновским движением, и ег-алгебры (см. определение 2, § If, гл. II) и = и независимы; см., например, [123], [126], [288].

Аналитическое свойство (6) допускает следующее, вполне естественное, обобщение:

E(/(BT(w)+tM) 19Т) = E(/(BrM+tM) I <т{Вг)) (Р-п.н.). (8)

(По поводу "функциональных" расширений этого свойства см., например, указанные выше книги [123], [126], [288].)

3. Броуновское движение и квадратично интегрируемые мартингалы.

Непосредственно из определения броуновского движения В = (Bt)t~2о следует выполнение следующих свойств: для t ^ 0

Bt - ^t-измеримы, (9)

E|Bt| < оо, (10)

E(Bt 1= Ba (Р-п.н.) для s^t. (11)

Эти три свойства в точности есть определение того, что процесс В = (Bt)t^o является мартингалом относительно потока ег-алгебр (&t) и вероятностной меры Р. (Ср. с определением 2 в § 1с, гл. II.) Далее, поскольку

Е(В2 -B2s\\&s)=t-s, (12)

то процесс (В2 — о также является мартингалом.

Предположим теперь, что В = (Bt)t^o есть некоторый процесс, удов-летворяющий свойствам (9)-(12). Весьма замечательно, что, в сущности, этими свойствами однозначно определяется вероятностная структура этого процесса.

Именно, будем предполагать, что (0,3-, (3t)t^o, Р) _ некоторое фильтрованное вероятностное пространство с потоком ег-алгебр (3t)t^o, удов-летворяющих обычным условиям [250; гл.

Всякий процесс В = {Bt)t^o, удовлетворяющий свойствам (9)—(11), называется мартингалом. Чтобы подчеркнуть свойство измеримости относительно потока (3t)t^o и меры Р, часто для В используют также запись В = (Bt, 3\'t) или В = (Bt,&t, Р). (Ср. с определениями в § 1с, гл. II, для случая дискретного времени.)

Теорема (Леви, [298]). Пусть В = (Bt,^t)t^о ~ непрерывный квад-ратично интегрируемый мартингал, заданный на некотором фильтрованном вероятностном пространстве (fi, 3і, (3t)t^o, Р)- Пусть выполнено свойство (12), т. е. (Bf —t, о также является мартингалом.

Тогда B=(Bt)t^о является стандартным броуновским движением.

Доказательство см. далее в § 5с.

4. Тождества Ва.льла. Теоремы о СХОДИМОСТИ И остановке для равномерно интегрируемых мартингалов. Для броуновского движения

Е Bt = 0, ЕВ? = t.

Во многих вопросах стохастического анализа возникает необходимость в отыскании ЕВТ и ЕВ2 для марковских моментов т (относительно потока (^t)t^o)-

Следующие соотношения являются расширенными версиями тождеств Вальда для В = (Bt, о:

Е -/г < оо ЕВТ = 0, Ет < оо ЕВ2 = Ет.

В том частном случае, когда т является ограниченным марковским мо-ментом (Р(т ^ с) = 1 для некоторой константы с > 0), равенства ЕВТ = 0 и ЕВ2 = Ег непосредственно вытекают из следующего результата.

Теорема (Дж. JI. Дуб, [109]). Пусть X = {Xt,&t)t^о - равномерно интегрируемый мартингал (т. е. такой, что sup E(\\Xt\\I(\\Xt\\>N)) ->0, JV-> оо). Тогда 4

существует такая интегрируемая случайная величина Х^, что при t —> оо

Xt-yX оо (Р-п.н.),

E|Jft-JfooHO

и для всех t ^ О

E(X00\\&t) = Xt (Р-п.н.);

для любых марковских моментов а и т

ХтЛ(Г =Е{Х„\\&Т) (Р-п.н.),

где т Л а = min(r, а).

(Ср. с теоремами Дуба о сходимости и остановке для случая дискретно-го времени в § За, гл.

5. Стохастическая экспонента. В § 1а, гл. II, было дажмшределение стохастической экспоненты S(H)t для процессов Н = (Ht)t^o, явля-ющихся семимартингалами.

Применительно к случаю Ht = XBt стохастическая экспонента <§(\\B)t определяется равенством

S(XB)t = еАВ\'~1Г4. (13)

Из формулы Ито (§ 3d) непосредственно следует, что Xt = S(XB)t удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

dXt = XXt dBt (14)

с начальным условием Хо = 1.

Если f имеет распределение «yV(0,1), то

Из этого свойства и автомодельности броуновского движения (Law(ABt) = Law(Av^Bi)) вытекает, что

Еехр|лBt - yt} = Еехр{лВ* -

= Еехр{(Ал/Т)Ях-М?}=1.

Аналогичным образом показывается, что для всех s sj t

E(S(XB)t I 9,) = S(XB)s (Р-п.н.). (15)

Иначе говоря, стохастическая экспонента &(ХВ) = (§(XB)t)t^о является мартингалом.

6. Конструкции броуновского движения. Пусть ? = (efc)fc^o -гауссов- ский белый шум, т. е. последовательность независимых нормально распределенных, Sk(t)= Ґ Hk(s)ds Jo

- функции Шаудера. Положим

п fc=0

Из результатов П. Леви [298] и 3. Чисельского [76] следует, что (Р-п.н.) случайные функции сходятся (по t) равномерно и их непре

рывный предел является стандартным броуновским движением.

Более ранняя конструкция броуновского движения была дана в 1934 году Р. Пэлии Н. Винером [374] в виде (равномерно сходящегося) ряда

71=1 ^ \'

7. Локальные свойства траекторий. Следующие результаты хорошо известны, и их доказательство содержится во многих монографиях и учебных пособиях (см., например, [124], [245], [266], [470]). С вероятностью единица броуновские траектории

удовлетворяют условию Гёльдера

с любым7 <

не удовлетворяют условию Липшица и, следовательно, недиффе- ренцируемы в каждой точке t > 0;

имеют неограниченную вариацию на любом интервале (а, Ь): = оо.

Нули траекторий броуновского движения.

91(ш) = {0 < t < оо:Bt(w) = 0}

- множество нулей.

Имеют место следующие свойства ([124], [245], [266], [470]): Р-п.н.

мера Лебега A(9I(w)) = 0;

точка t = 0 является точкой сгущения нулей;

на (0, оо) нет изолированных нулей и, следовательно, множество 9l(u;) плотно в себе;

множество 91(а>) замкнуто и неограничено.

Поведение в нуле. Локальный закон повторного логарифма ут-верждает, что (Р-п.н.)

uo у/21ln|lni|

Из этого свойства применительно к броуновским движениям {Bt+h — Bt)h^o, вытекает, что (Р-п.н.) для любого t ^ 0

\\Bt+h-Bt\\

lim т= = оо,

Л40 y/h.

откуда, в частности, следует, что броуновские траектории не удовлетворяют, как уже было выше отмечено, условию Липшица.

Модуль непрерывности является наглядной мерой, позволяющей судить о характере осцилляции функций, траекторий,.... Известный результат П. Леви [298] относительно модуля непрерывности для траекторий броуновского движения утверждает, что, с вероятностью единица,

max I Bt - Bs І

г.— 0lim _______ = і.

Л40 y/2hhx(l/h)

Повеление при t —)¦ оо. С вероятностью единица

Bt

^ У 0, t —^ оо,

(усиленный закон больших чисел). Более того,

\' —У 0, f-yoo (Р-п.н.),

Vtfot

но

Ит = оо (Р-п.н.).

t-ЮО уД

Точный характер поведения траекторий броуновского движения при t —оо описывается законом повторного логарифма:

Пт . |jBt| : = 1 (Р-н.н.). (16)

V2t\\n\\nt

KBадратическаявариация. Хотя траектории броуновского движе-ния (Р-п.н.) имеют неограниченную вариацию, J^ ^И-бзІ = оо, однако,

в определенном смысле, можно утверждать, что / |dBa \\2 = Ь — а.

J(а,6)

Соответствующее утверждение, играющее ключевую роль во многих вопросах стохастического анализа (например, при доказательстве формулы Ито; § 3d), формулируется следующим образом.

Пусть = (tо"\\..., t^J) - разбиение отрезка [а, 6] такое, что

Пусть

||Т<">||= sup (17)

0^fcТогда

а) если ||Т(™> || -> 0 при п -> оо, то

J2 5(п) -В{п) А 6-а; (18)

fc=0

если 11^ II < 00, то в (18) сходимость имеет место с вероятнос-

П=1

тью единица;

если Ви i?(2) - два независимых броуновских движения и ||Т("> || -> 0 при n ->¦ оо, то

-в») до. (ад

fc=0 4 \'k+l гк \' 4 Г*+1 г/ь 7

В символической форме утверждения (18) и (19) часто записывают в следующем виде:

(dBtf = dt, dB{t1}dB(t2) = 0. (20)

13. Моменты достижения уровней, а) Пусть а > 0 и Т„ = inf{? ^ 0: Bt = а}. Очевидно, что

Р(Та < t) = p(supBs > а), (21)

и с помощью принципа отражения Д. Андрэ (D. Andre) находим, что

Р(Та < i) = 2P(Bt > а). (22)

(См., например, [124], [266], [439].) Поскольку

1 Г°° х2

P(Bt ^ а) = J є\' 21 dx, (23)

то

<24)

и, следовательно, ПЛОТНОСТЬ Ра (t) = определяется формулой

at

Отсюда вытекает, между прочим, что Р(Та < оо) = 1, ЕТа = оо и преобразование Лапласа

Ee~AT° = (26)

Полезно отметить, что процесс Т = (Ta)a^o является (в силу строго марковского свойства броуновского движения) процессом со стационарными независимыми приращениями. Более того, этот процесс является устойчивым с параметром а = Law(Ta) = Law(a2T1). Ср. с п. 4 в § 1с.

Ь) Пусть а > 0 и Sa = inf{i > 0: \\Bt\\ — а}. Покажем, что ЕSa = а2 и преобразование Лапласа

Ee~xs* = . (27)

ch(a\\/2A) \'

В силу тождества Вальда, для всякого t > 0 ЕAt = E(Sa A t) и, значит, E(Sa At) < а2. Следовательно, по теореме о монотонной сходимости ESa = lim E(Sa At) ^ а2. (Отсюда, конечно, следует, что Sa < оо с веро-

t—юо

ятностью единица.) Но коль скоро ESa < оо, то снова, согласно тождеству Вальда, ЕВ$ = ESa. С учетом равенства = а отсюда находим, что

ESa = а2.

С целью доказательства (27) рассмотрим мартингал X^=(XtAsa,^t),

(28)

XtASa = ехр- у (t A Sa)|.

Поскольку |-BtA.sa I S; a, этот мартингал является равномерно интегри-руемым и, согласно теореме Дуба из п. 4,

EXtASa = 1. (29)

По теореме о мажорируемой сходимости в этом равенстве можно перейти к пределу по t —)¦ оо, что дает соотношение

EX5a = 1,

то есть,

EexpjAS5a-ySaJ=l. (30)

Поскольку P(Sa < оо) = 1 и, из соображений симметрии, P(Bsa = а) = P(i?sa = —a) = то из (30) следует требуемое равенство (27).

с) Пусть Та,ь = ini{t:Bt = а + bt}, а > 0. Если b < 0, то Р(Та,ь < оо) = 1, и из мартингальности процесса (евВі~^і)і>0 получаем, полагая 9 = Ь+ л/62 + 2А, что преобразование Лапласа

Ее-АТа,„ — ехр{—а[б + \\Jb2 + 2А]}. (31)

Из этой формулы или непосредственно из тождества Вальда 0 - ЕВта ь (= а + ЬЕТа<ь) находим, что

ЕГ., = -І.

(С помощью приема, изложенного после формулы (27), доказывается, что ЕГа,ь < оо.)

Если B > 0, то, рассматривая мартингал с 9 = 26, нахо

дим, что ^

exp j26Bt - < ехр|26(а + bt) - M^t j <

и, значит, этот мартингал является равномерно интегрируемым. Поэтому

1 = Еехр|вВгвіЬ - уГа>6 J

= Еехр|<ШТаЬ - уГа,6 |/(Га>6 < оо) = Р(Г«,ь < оо)е2а6,

и, тем самым, в случае а > 0, b > 0 (или а < 0, b < 0)

Р(Та,ь < оо) = е~2а6. (32)

14. Максимальные неравенства. Пусть В = (Bt)t^о ~ броуновское движение. Тогда для А > 0, р ^ 1 и конечного марковского момента Т

(33)

в случае р > 1

Е\\Вт\\Р < Emax|Btp> < (_2L_)PE|BT|p. (34)

В частности, при Р - 2

( \\ Е В2

(35)

ЕтшсБ2 < 4ЕБ^. (36)

Неравенства (33) и (35) носят название "неравенств Колмогорова и Дуба" неравенства (34), (36) - "неравенств Дуба" См., например, [109], [110], [124], [303], [304], [402]. Из (36) следует, что

Emax|i?t| < 2У/ЕЩ. . (37)

Если ЕГ < оо, то ЕВ%. = ЕТ и, следовательно,

Emax|i?t| < 2\\/ЁТ. (38)

t^T

Как показано в [116], неравенство (38) может быть уточнено: на самом деле

Emax|i?t| < у/2у/ЁТ, (39)

при этом константа \\/2 является оптимальной. Из (39) следует, что для Т = 1

Emax|Bt| ^ л/2. (40)

Интересно, конечно, найти точное значение Е max \\В* I. Следуюпше рассуждения показывают, что

Етах|В,| = У|. (41)

Из автомодельности броуновского движения (Si = inf{t ^ 0: |i?t| = 1}):

{sup \\Bt\\ = {sup -|Bt| < l} = {sup \\Bt/x2\\ ^ l\\ Ч^і J Чоx J Ч^і J

Тем самым, Law (sup \\Bt = Law .

Далее, поскольку из свойств нормального интеграла следует, что для всякого а > 0

то, беря а — -L-, находим из (27), что sJSx

id і с /2 Г п /2" А00 <&

= 2JlJo / TT^

что и доказывает требуемую формулу (41).