§ Зс. Стохастический интегралпо броуновскому движению

It(f) = f(t)Bt- f* f\'(s)Bads, (2)

Jo

rt

где интеграл f\'(s)Ba ds понимается как потраекторный (т.е.

2. В 1944 году, [244], К. Ито сделал существенный шаг в расширении понятия "стохастический интеграл" заложив тем самым фундамент современного стохастического исчисления, являющегося одним из мощных и эффективных средств исследования случайных процессов. Конструкция К. Ито состоит в следующем.

Пусть (ft, , Р) - фильтрованное вероятностное пространство,

удовлетворяющее обычным условиям (см. п. 2 в §ЗЬ и, подробнее, например, [250]). Пусть В = (Bt, - стандартное броуновское движение и / = (f(t, ~ случайная функция, являющаяся измеримой по (t, ш) и неупреждающей (не зависящей от "будущего"), т. е. такой, что при каждом t ^ 0

f(t, и)- .^t-измерима.

Такие функции / = f(t, и>) называют также согласованными или адап-тированными (с семейством сг-алгебр (^t)t^о)-

Примером такой функции является элементарная функция

/((,И)=УЦ/{о}((), (3)

где Y(u>) - .^-измеримая случайная величина.

Другим примером может служить функция (также называемая элементарной)

f(t,Lj)=Y(uj)I(r,s](t), (4)

где 0 < г < s и случайная величина Y(CJ) - ^-измерима.

Для функций типа (3), "сидящих" (по времени) в точке t = 0, "естественно определенное" значение стохастического интеграла

ЫЛ= [ f(s,w)dBa

./(0,4]

есть ноль. Для функции же типа (4) "естественным" значением It(f) является значение Y(uj)[BaAt — BrAt]-

Если имеется простая функция / = f(t, и), являющаяся линейной комбинацией элементарных функций,

і

то положим, по определению,

/*(/)= fMdBa=Y,Yi(u){BeiM-Br.M). (6)

Замечание 1.

Условимся в дальнейшем под интегралами (обычными или стохастическими) fQ - ¦ ¦ понимать интегралы J^ • ¦ ¦ по множеству (0, <]. Поскольку Yi(u>) - &-Гі-измеримы, то

Е[У4Н(ВГ4Л* - Ва.ЛІ)] = ЕЕ[УІ(Ш)(ВГ.Л* - Ba.M)

= Е[ПНЕ((Вг.л(-ВвИ()|^)]=0

и, аналогично,

Е[У;Н(ВпЛ4 - BSiAt)]2 = EY?(n At - SI A t).

Отсюда следует, что если f = f(t,u>)~ простая функция, то

(7)

и

(Г)

3. Опишем теперь те классы функций / = f(t,w), на которые можно распространить понятие "стохастического интеграла" с сохранением "естественных" свойств, например, типа (7) и (8).

Будем предполагать, что все рассматриваемые функции / = f(t,u>) заданы на Mt х О, и являются неупреждаюпшми.

Если для каждого t > 0

то будем говорить, что / принадлежит классу J\\. Если, к тому же, для всех t > 0

(Ю)

то будем говорить, что / принадлежит классу J2.

Именно для этих классов функций К. Ито дал в [244] "естественное" определение стохастических интегралов It(f), основываясь на следующих соображениях.

Поскольку траектории броуновского движения (Р-п.н.) имеют неогра-

yt

ниченную вариацию (см. п. 7 в § ЗЬ), то интегралы It (/) = I f(s,u>) dBa

J о

нельзя понимать как потраекторные интегралы Лебега-Стилтьеса. Идея К. Ито заключалась в том, чтобы определить этот интеграл как предел (в подходящем вероятностном смысле) интегралов It (fn) от простых функ-ций /„, n ^ 1, аппроксимирующих исходные функции /.

Оказалось (см.

(П)

Тем самым, если / Є J2, то при m, п —)¦ оо

В силу (8), выполнено свойство изометрии

Е [Wn) - Wm)}2 = Е f\\fn(s^)-}m(sM}2ds, (13)

Jo

о

которое вместе с (12) показывает, что последовательность случайных величин {It (/n)}n>i является фундаментальной в смысле сходимости в среднем квадратическом (т. е. в L2).

Отсюда и из критерия Коши сходимости в L2 (см., например, [439; гл. II, §10]) вытекает, что существует случайная величина в L2, обозначаемая It(f), такая, что

/t(/)=l.i.m./*(/„),

то есть,

E[lt(f)-It(fn)]2^0, п-Уоо.

Для так полученного предела It(f), не зависящего, как легко показать,

от выбора аппроксимирующей последовательности (fn)n>ъ использует- i-t ^ ся также обозначение f(s,cj) dBs, которое называют стохастическим

интегралом от (неупреждаюшей) функции / - f(s,w) по броуновскому движению В = (Bs)s^о на временном интервале (0, t].

Остановимся на свойствах так определенных интегралов It(f), t > 0, для / є J2, отсылая за подробностями, например, к [123], [250], [288], [303].

Если f,g є то для констант а и b

It(af + b9)=aIt(f) + Mt(g).

Согласованным образом можно выбрать такие версии случайных величин /<(/), t > 0, что процесс 1(f) - (It(f))v2 о с I0(f) = 0 будет непре-рывным случайным процессом (именно такая модификация всюду далее и рассматривается), при этом

Is(f) = It(fho,s]), s^t. (14)

Если г = т(ім) - марковский момент, такой, что т(ш) ^ Т, то

1т(Л = 1т(/1(0,т1), (15)

где, по определению, 2т(/) = 1т(ш)(/)-

Процесс 1(f) = (It(f))t^о является квадратично интегрируемым мартингалом, т. е.

It(f) ~ .^-измеримы, t > 0;

Elf if) < 00, t> 0;

E(/t(/) I =/.(/)-

При этом, если f,g Є J2, то

EIt(f)It(g) = Е Г f(3,u>)g(3, ш) ds. (16)

Jo

Замечание 2. По аналогии с обозначениями, уже нами использованными в случае дискретного времени (см.

Перейдем теперь к определению стохастических интегралов It(f) для функций из класса J\\, отсылая за деталями к [303; гл. 4, § 4].

Пусть / Є Ji, т.е. P^jT /2(s,w) ds < оо) = 1, t > 0. Тогда существует

последовательность функций Є J2, m ^ 1, таких, что для всякого t > 0

/

Jo

р

(символ "—означает сходимость по вероятности). Поскольку для ? > 0, S > 0

P{|/t(/(m))-Jt(/(n))l>*}

< і + Р do ^^ W) ~ /(">(5\'^ 2 d3>?

то, полагая сначала m, п —>¦ оо, а затем є 4- 0, находим, что для всякого S > 0

lim P{|Jt(/(m))-/t(/(n))|>Тем самым, последовательность It(f^m^), т ^ 1, является фундаментальной по вероятности, и, значит, согласно критерию Коши сходимости по вероятности [439; гл. II, § 10], существует случайная величина, обозначаемая It(f), такая, что

It(f(m)) А/*(/), m ->¦ оо. Величину Jt (/), обозначаемую также (/ • B)t, j f(s,w)dBs или

ft

/ f(s,w)dBa, называют стохастическим интегралом от функции / на

JQ

интервале (0, <].

Отметим ряд свойств стохастических интегралов It(f),t >0, для функций / Є J\\.

Показывается, что снова можно согласованным образом так определить при разных t > 0 стохастические интегралы /<(/), что процесс 1(f) = (It(f))t^o будет иметь (Р-п.н.) непрерывные траектории.

Отмеченные выше для функций / Є J2 свойства (а), (Ь), (с) также сохраняются и для функций / из класса J\\. Однако, свойство (d) уже не имеет места, вообще говоря, и заменяется здесь на следующее:

(d\') для / Є Ji процесс 1(f) — (It(f))t>0 является локальным мартингалом, т.е. существует последовательность (тп)п^1 моментов остановки таких, что т„ t оо, п —)¦ оо, и для каждого п ^ 1 "остановленные" процессы

являются мартингалами. (Ср. с определением 4 в § 1с, гл. II.)

4. Пусть В = (Bt)t>0 - броуновское движение, заданное на вероятностном пространстве (f2,З, Р), и (3t)t^Q - семейство (Т-алгебр, порожденных э тим процессом (см.

Следующая теорема, основанная на понятии стохастического интеграла, описывает структуру броуновских функционалов.

Теорема 1. Пусть X = Х(и>) является 3т-измеримой случайной величиной.

Если ЕХ2 < оо, то найдется случайный процесс f = (/tM,^P)t^T такой, что

гт

Е / /2Н dt < оо (17)

Jo

и (Р-п.н.)

X = EX+f ft(w)dBt. (18)

Jo

Если Е|Х| < оо, то представление (18) справедливо с некоторым процессом f = (ft(u>), таким, что

р(^Т/2НЛ<оо) =1. (19)

Пусть X = Х(и>) является положительной случайной величиной (Р(Х > 0) = 1) и ЕХ < оо. Тогда найдется процесс ip — ((pt(w), 3f)t^.T

(20)

X = ЕХ • expj^ Из этой теоремы выводится следующий результат о структуре бр оун ве-ских мартингалов.

с Рtp2(u})dt < оо^ = 1 такой, что (Р-п.н.)

Теорема 2. 1. Пусть М = (Mt,S^)t^.T ~ квадратично интегрируемый мартингал. Тогда найдется процесс f — (ft(u),^)t4.T, удовлетворяющий свойству (17), такой, что

Mt=M0+ Ґ fs(w)dBs. (21)

Jo

Пусть М = (Mt, является локальным мартингалом, тогда представление (21) имеет место с некоторым процессом f -

подчиняющимся условию (19).

Пусть М = (Mt, &f)tР ip2 (w) dt < оо) — 1 такой, что

Mt = М0 єхР|^ VsM dB*~\\ Jq dsj-

Доказательство этих теорем, принадлежащих, в основном, Дж. Кларку (J. М. С. Clark, [77]) и в различных вариантах данных К. Ито и Дж. Дубом ([109], [110]), приводится во многих монографиях. См., например, [266], [303], [402].