§ Зе. Стохастические дифференциальные уравнения
dXt = a(t,oj)dt + P(t,oj)dBt, (1)
важную роль играют те, для которых коэффициенты a(t, а>) и(3(t, ш) зависят от где а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на М+ х К. St=S0eateaBt-4-\\ (3) называемый геометрическим, или экономическим, броуновским движением (см. § За), имеет (согласно формуле Ито) стохастический дифференциал dSt = aSt dt + aSt dBt. (4) Процесс = f Jo 3-й du (5) имеет, как легко убедиться, опять-таки с помощью формулы Ито, дифференциал dYt = (1 + aYt) dt + oYt dBt. (6) (Процесс У = (Yt)t^o играет важную роль в задачах скорейшего обнаружения изменений в локальном сносе броуновского движения; см. [441].) Если Г , Г* du Г* dBu1 (7) zt = st Zq + (сі - ас2) / -Х- + С2 Jo Jo . с некоторыми константами с\\ и с2, то, опять-таки с помощью формулы Ито, проверяется, что dZt = (сі + aZt) dt + (c2 + aZt) dBt. (8) В приведенных примерах мы отправлялись от "явного" вида процессов S = (St), У = (УІ), Z = (Zt) и с помощью формулы Ито получали их стохастические дифференциалы (4), (6) и (8). Можно, однако, изменить точку зрения, а именно, рассматривать (4), (6) и (8) как стохастические дифференциальные уравнения относительно неизвестных процессов S = (St),Y = (Yt), Z = (Zt) и попытаться установить, что найденные их решения (3), (5) и (7) являются (в определенном смысле) единственными решениями этих уравнений. Естественно, надо придать точный смысл самому понятию "стохастическое дифференциальное уравнение" определить, что есть его "решение" в каком смысле следует понимать "единственность" решения. При определении всех этих понятий, рассматриваемых далее, ключевую роль играет введенное выше понятие стохастического интеграла. 2. Пусть а = a(t, х) и b = b(t, х) - измеримые функции на К+ х М. Определение 1. Говорят, что стохастическое дифференциальное уравнение dXt = a(t, Xt)dt + b(t,Xt) dBt (9) с ^-измеримым начальным условием Хо имеет непрерывное сильное решение (или просто решение) X = (Xt)t^o, если при каждом t > О Xt - ^-измеримы, P(^J* \\a(s,Xa)\\ds (12) Xt=Xo+ Ґ a(s,Xa) ds + Ґ b{s,Xa)dBa. Jo Jo Определение 2. Два непрерывных случайных процесса X = (Xt)t^o и У = (Yt)t^0 называются стохастически неразличимыми, если для любого t > О p(sup|Xs -Ys\\ >0) =0. (13) Va Определение 3. Будем говорить, что измеримая функция / ¦ f(t, х), определенная на R+ х К, удовлетворяет (по фазовой переменной х) локальному условию Липшица, если для всякого п ^ 1 найдется константа К(п) такая, что для всех t > 0 и |х| < п, |у| < п \\a(t,x)-a(t,y)\\ + \\b(t,x)-b(t,y)\\ < К{п)\\х-у\\. (14) Теорема 1 (К. Ито [242], [243]; см. также, например, [123; гл. 9], [288; гл. V], [303; гл. 4]). Пусть коэффициенты a(t,x) ub(t,x) удовлетворяют локальному условию Липшица и условию линейного роста: la{t,x)\\ + \\b(t,x)\\ Тогда стохастическое дифференциальное уравнение (9) имеет, и притом единственное (с точностью до стохастической неразличимости), непрерывное решение X = (Xt,&t), являющееся марковским процессом. Существуют обобщения этого результата в разных направлениях: ослабляется локальное условие Липшица, допускается зависимость (но спе-циального характера) коэффициентов от и>, рассматриваются случаи за-висимости коэффициентов а — a(t,Xt) и b = b(t,Xt) от "прошлого" (в несколько вольной записи: а = a(t; Xs, s < t), b = b(t; Xs, s < t)). Имеются также обобщения на многомерный случай, когда X = (X1,...,Xd) - векторный процесс, а = a(t,x) - вектор, b = b(t,x) - матрица и В = (В1,... ,Bd) - d-мерное броуновское движение. Приведем из различного рода обобщений лишь один, несколько неожиданный, результат А. К. Звонкина, [485], утверждающий, что для сущест-вования сильного решения стохастического дифференциального уравнения dXt = a(t, Xt)dt + dBt (15) вовсе нет надобности требовать выполнения локального условия Липшица, а достаточна лишь измеримость по (?, х) и равномерная ограниченность коэффициента a(t,x). (Многомерное обобщение этого результата получено А. Ю. Веретенниковым, [471].) Тем самым, например, стохастическое дифференциальное уравнение dXt = a(Xt) dt + dBt, X0 = 0, (16) с "плохим" коэффициентом Г 1, х > О, I. —1, х < О, имеет, и притом единственное, сильное решение. Отметим, однако, что если вместо уравнения (16) рассмотреть уравнение dXt=a(Xt)dBt, Хо = 0, (18) с той же самой функцией сг(х), ситуация резко меняется, поскольку, во-первых, существуют вероятностные пространства, на которых у этого уравнения заведомо есть, по крайней мере, два сильных решения, и, во-вторых, на некоторых вероятностных пространствах у этого уравнения может вовсе и не быть сильного решения. Чтобы показать справедливость первого утверждения, рассмотрим на пространстве непрерывных функций и> = (u>t)t>о с винеровской мерой координатно заданный винеровский процесс W = (Wt)t^Oi т. е. такой, что Wt(w)=wt,t>0. Тогда, по теореме Леви (см. п. 3 в §ЗЬ), пропесс В = (Bt)t^о при Bt= С o{Ws)dWa Jo также будет винеровским процессом (броуновским движением). И легко видеть, что [ o{Wa)dBa = [ o2{Wa)dWa=Wt, Jo Jo поскольку cr2(x) = 1. Тем самым, процесс W =¦ (Wt)t^o является (на рассматриваемом вероятностном пространстве) решением уравнения (18) со специальным образом подобранным броуновским движением В¦ Но, поскольку сг(—х) = —сг(х),то [ o{Wa)dBa = -Wt, Jo Г o(-Wa) dBa = - Jo т.е. наряду с W = (Wt)t^о процесс -W = (—Wt)t>о также есть решение уравнения (18). Что же касается второго утверждения, то предположим, что у уравнения 1 Xt= [ o{Xa)dBs Jo существует сильное решение (относительно потока а-алгебр (<^P)t^o> порожденных броуновским движением В). Из теоремы Леви следует, что тогда процесс X = (Xt, о является броуновским движением. По формуле Таиака (см. далее § 5с и ср. с примером в § lb, гл. II): \\Xt\\= Г a(Xa)dXa+Lt(0), Jo где t Lt(0) = limi- f I(\\Xa\\^e)da ej.0 AZ Jo - локальное время (Леви) броуновского движения X, которое оно проводит в нуле на интервале [0, ?]. Поэтому (Р-п.н.) Bt= Г o(Xa)dXa = \\Xt\\-Lt{0) Jo и, значит, С Сделанное выше предположение, что X является адаптированным относительно потока = (&t)t^o, лает включение С \