§ 3d. Процессы и формула Ито

b2(s,u)ds < ooj = 1, і > 0, (2)

такие, что

Xt=Xo+ I a(s,u>)ds+ I b(s,u>)dBs, Jo Jo

где В — (Bt, ~ броуновское движение и Хо - .^-измеримая случай

ная величина.

Для краткости вместо интегральной записи (3) часто используют (фор-мальную) дифференциальную:

(4)

dXt = a(t, ш) dt + b(t, ш) dBt,

говоря при этом, что процесс Ито X = (Xt )t^o имеет стохастический дифференциал (4).

2. Пусть теперь F(t,x) - заданная на х R непрерывная функция

, dF dF d2F

из класса С т.е. имеющая непрерывные производные ——, , ,

от ох ох*

иХ = (Xt)t^o _ процесс с дифференциалом (4).

Как установлено К. Ито, при этих предположениях процесс F = (F(t, Xt))t^0 также имеет стохастический дифференциал:

dF

dt+ —b(t,w)dBt. (5)

dF(t,Xt)

dF . dF 1 - ,d2F

Говоря более строго, при каждом t > 0 для F(t, Xt) справедлива следующая формула Ито (формула замены переменных)-.

dF . ,dF 1 2/ .d2F

ds

dBs. (6)

F(t,Xt) = F( 0,Хо)+ Г

+

Jo

(Доказательство можно найти во многих местах; см., например, [123], [250; гл.1,§4е], [303; гл. 4,§3].)

3. Приведем также многомерное обобщение формулы (6). Будем предполагать, что В — (В1,..., Bd) является cf-мерным броуновским движением с независимыми (одномерными) броуновскими компонентами В1 = (Bl)t^о, « = !,...,Говорят, что процесс X — (Xі,...

Р^*\\а*(а,ш)\\1и<оо^ =1, такие, что для i = l,...,d

d

dX\\ = ai (t, ш) dt + Y^ bij (t, ш) dB{, (7)

j=і

или, в векторной записи,

dXt = a(t,uj)dt + b(t,w)dBt,

где векторы a (t,u>) = (ax(t,w),... ,ad(t,w)), Bt = (Bj,..., Bd) рассматриваются как вектор-столбцы.

Пусть теперь F(t,xi,... ,Xd) ~ непрерывная функция с непрерывными

dF dF d2F . . производными —, — и Qx Q% t, J = 1, • • •, а.

Тогда имеет место следующий d-мерн ый вариант формулы Ито: F(t, X},..., Xd) = F(0, Х%,..., Xd)

(8)

Длянепрерывных процессов Xі \' о введем обозначение (Xі, XJ)

= ((Xi,X3)t)t>Q, полагая

d rt k=iJo

Тогда формуле (8) можно будет придать следующую компактную форму:

rt d ft яр

F(t,Xt)=F(0,X0) + Уо ^(s,Xs)ds + J^J^ s,Xs)dXi

і d rt а2п

которая в терминах дифференпиалов запишется в виде (F — F(t, Xt)):

^ = + + ^d{x\\X\'U. (10)

t=l »>J=1

Интересно отметить, что если формально написать, пользуясь формулой Тейлора:

1=1 *,J=1

то, при соглашении, что

(dB\\)2 = dt, (12)

dt = 0, (13)

dB\\dB{ = 0, іфі, (14)

из (11) приходим к представлению (10), поскольку

dXidXJt =d{Xi,Xj)t. (15)

Замечание. Формальным выражениям (15) и (14) можно придать вполне разумный смысл, если их понимать как условную запись предельных соотношений (2) и (3) из предыдущего параграфа § ЗЬ. Аналогично интерпретируется и выражение (13).

Доказательство формулы Ито в многомерном случае см., например, в монографии [250; гл. I, §4е]. По поводу обобщений этой формулы на функции F С1,2 см., например, [166], [402].

4. Приведем некоторые примеры, основанные на применении формулы Ито.

Пример 1. Пусть F(x) = х2 и Xt — Bt- Тогда, согласно (11), формально,

dB2 =2Bt dBt + idBt)2 и, с учетом (12), находим, что

(16)

dB2 = 2Bt dBt + dt,

или, в интегральном виде,

В2 = 2 f Ва dBs + t.

Пример 2. Пусть F(x) =еІи!( = Bt. Тогда

d(eB*) = eB* dBt + \\eB*{dBt)2,

т.е., с учетом (11),

d{eBt)=eBt(dBt+\\dt). Пусть F(t, x) = ex~ 2і и Xt = Bt- Тогда, формально,

dF(t,Bt) = ~F(t,Bt)dt + F(t,Bt)dBt + ^F(t,Bt)(dBt)2. С учетом соглашения (12) вид им, что

dF(t,Bt)=F(t,Bt)dBt.

Если обозначить

S(B)t = (19)

стохастическую экспоненту (см. формулу (13) в § 1а, гл. II), то видим, что она допускает стохастический дифференциал

dS(B)t=S(B)tdBt. (20)

Это соотношение можно рассматривать как стохастическое дифференци-альное уравнение (см. § За и, далее, § Зе), решение которого задается формулой (19).

\'Ъ:

Пример 3. Обобщая предшествующий пример, рассмотрим процесс

Zt = exp^J b{s,uj)dBa-^J b2(s,w)ds|, (21)

где b - (b(t, w))t^o является неупреждаюшимпроцессом с Р^У b2{s,w)ds < оо^ = 1, *>0.

Если положить

Xt= f b{s,u)dBa-\\ [*Ъ2(а,и)йа Jo Jo

и F(x) = ех, то, применяя формулу Ито (5), найдем, что процесс Z - [Zt)t^О) назьшаемый "гирсановской экспонентой", имеет стохасти-ческий дифференциал

dZt= Ztb(t,oj)dBt. (22)

Пример 4. Пусть Xt = Bt и Yt — t. Тогда d(Bt t) = tdBt + Bt dt, или, в интегральном виде,

Btt= f sdBs+ f Bsds. (23)

Jo Jo

rt

(Ср. с определением H. Винера стохастического интеграла / з dB3, приве-

j о

денным в п. 1 § Зс.)

Пример 5. Пусть F(xl,x2) = x^viX1 = {X\\)t^o, X2 = (Х?)г^о ~ два процесса, имеющие дифференциалы Ито. Тогда, формально,

d(X\\X2) = Х\\ dX2 + X2 dX\\ + dX\\ dX2t. . (24)

Если, в частности,

dXl = я® {t, и) dt + 6і (*, ш) dBl, i = l, 2,

TO

d{XlX2) = X\\ dXf + X\\ dX\\. (25)

Если же

dX\\ = a\\t, u) dt + bi(t,oj)dBt, і = 1,2,

то

d{X\\X2t) = X\\ dX? + X2 dX] +bx (t,uj)b2(t,uj) dt. (26)

Пример 6. Пусть X ~ (Xі,..., Xd) есть d-мерный процесс Ито, ком-поненты которого Xі имеют стохастические дифференциалы (7).

Пусть V = V(x)- действительная дважды непрерывно дифференцируемая фуНКЦИЯ X = (Х\\, . . . , Xrf) и

(LtV)(x,u) (27)

Тогда процесс (V(Xt ))t^o имеет стохастический дифференциал (в мат- рично-векторной записи):

dV

dV(Xt) = (LtV)(Xt,u>)dt + —(Xt)b(t,uJ)dBu (28)

где ^

^(Xt)b(t,oJ)dBt= fl ^{Xt)b^{t,u)dBi. (29)

i,i = 1

Пример 7. Пусть V — V(t, x) - действительная непрерывная на

л dV dV

[О, оо) х Ra функция, имеющая непрерывные производные , -—,

0Х ОХ і

d2v п

-—-—. Пусть, также,

OXiOXj

?>t= C{s,u)ds, Jo

где С = C(t, ui) - неупреждающая функция с

\\C{s,u)\\ds < = 1, t>0.

Тогда процесс (e"^4 Xt))t^0 является процессом Ито со стохастическим дифференциалом

dV

d(e~vtV(t,Xt)) = e~Vt

dt

^(t,Xt) + (LtV){Xt,u) - C(t,u)V{t,Xt)

dV

+ e-**^(t,Xt)Kt,u)dBt. (30)