§ 3f. Прямые и обратные уравнения Колмогорова. Вероятностное представление решений

П.

"Во всей теории вероятностей XX столетия трудно указать другое исследование, которое оказалось бы столь основополага-ющим для дальнейшего развития науки ... ."

В работе [280] А. Н. Колмогоров не оперирует непосредственно с траекториями, скажем, X = (Xt)t^o, марковских процессов, а изучает свойства переходных вероятностей

P(s,x;*,A) = P(Xt Є A\\XS = x), x Є К, А є ЩШ)

того, что в момент времени t траектория процесса X окажетеяв множестве А в предположении, что Х3 = х в момент времени S.

Исходным для всякого анализа является уравнение (0 ^ s < и < t)

(1)

выражающее марковское свойство. (Уравнение (1) принято называть уравнением Колмогорова- Чэпмена.)

В предположении существования плотностей

F{s,x\\t,y) = P{s,x;t, (-oo,y]),

где

(2)

и существования пределов

1 Г00

•OO

Д4.0 д

lim—/ (y-x)f{s,x-,s + A,y)dy, (3)

OO

1 f00

•OO

lim-r-/ (y-x)2f(s,x-,s + A,y)dy, (4)

OO

а также некоторых предположений гладкости рассматриваемых функций и предположения (5 > 0)

lim І f \\у - x\\2+sf(s, х; s + A,y)dy = 0, (5)

ліо Д JM

из уравнения (1) А.Н. Колмогоров выводит (см., подробнее, [280] или, например, [170], [182]) для таких процессов, называемых диффузионными, об-ратные параболические дифференциальные уравнения (поя Є MHS < t):

+ <6>

и прямые параболические дифференциальные уравнения (по у Є К и t > з):

а также рассматривает вопросы существования решений этих уравнений, единственности, гладкости и др.

2. Следующий важный шаг в развитии теории и методов марковских случайных процессов был сделан в сороковых-пятидесятых годах К. Ито, [242]-[244], который задался целью "явного" конструктивного построения диффузионных (а также диффузионно-скачкообразных) процессов с ло-кальными характеристиками а(з,х) иЬ2(з,х), определяемыми в (3) и (4).

Этот замысел был реализован им конструированием соответствующих процессов как решений стохастических дифференциальных уравнений

dXt = a(t, Xt)dt + b(t, Xt) dBt, (8)

строящихся по некоторому "базисному" броуновскому движению В = (Bt)tz о-

В соответствии с [242]-[244] (см. также §3е), уравнение (8) с Х0 = Const, коэффициенты которого удовлетворяют по фазовой переменной локальному условию Липшица и линейному ограничению на их рост, имеет, и притом единственное, сильное решение. Если, к тому же, от коэффициентов a(t,x) и b(t,x) потребовать непрерывности по (t, х), то процесс X будет диффузионным марковским процессом с выполнением, в частности, свойств (3)-(5) и, значит, при дополнительных условиях на гладкость переходных

плотностей и коэффициентов a(t, х) и b(t, х) (подробнее см., например, § 14 в [182]) будут выполнены прямые и обратные уравнения Колмогорова.

Аналогичным образом рассматривается и случай tZ-мерных процессов X=(X\\...,Xd):

d

dX\\ =ai(t,Xt)dt + Y, bij (t, Xt) dB{. (9)

Если положить

d

<Т4> = Y^ bikb>k (10)

fc=i

и (ср. с (27) в § 3d)

4s,x)f = ±а^х)%-1+\\± ^(S,X) JZL-, (11)

i=l i,j"=l d , d

=(12)

і—1 itj — 1 обратные и прямые параболические уравнения Колмогорова будут иметь следующий вид:

~^ = L(s,x)f (13)

и

%= L*(t,y)f. (14)

Отметим особо тот случай, когда коэффициенты а1 и Ь,} не зависят от временного параметра:

а* = а*(х), bij = bij(x).

В этом случае для 0 < s < t

f(s,x;t,y) = f(0,x;t - s,y).

Если ввести функцию д = g(x,t\\у), полагая, по определению,

g(x,t;y) = f(0,x;t,y),

то из (13) найдем, что эта функция по (?, х) удовлетворяет параболическому уравнению

%=L(x)g, (15)

d2g

d da 1 d

vneL(x)g= X>l(x)^ + - ?

i=i dxi 2 dxidXj

3.

А. Задача Копта. В области [0, оо) х Md требуется найти непрерывную функцию и = u(t,x) такую, что

(16)

u(0,x) = (р(х)

для заданной функции ip = tp(x), удовлетворяющую одному из ниже приводимых параболических уравнений (ср. с (15)).

А1. Уравнение теплопроводности

(17)

(17\')

і Q2

где Д - оператор Лапласа, Д = 22

является решением, называемым вероятностным решением, задачи Коши для уравнения (17). (В (17\') Ех - усреднение по мере Рх, отвечающей броуновскому движению, начинающемуся в точке х, т.е.

(18)

гдеф — 1p(t,x).

Вероятностным решением является функция

(18\')

v(t, х) = Ех (v{Bt) + у ф{і- a, Bt) ds

A3. Уравнение Фейнмала-Каца

du 1 л

+ (19)

где с = с(х).

Вероятностное решение есть функция

v(t,x) = Ex^(Bt)exp|^tC(Bs)dS|^. (19\')

А4. Уравнение Камерона-Мартина дп X

— = ~Аи + (о, Vii), (20)

Вероятностное решение есть функция

v(t,®) = в(В.) dB, - | J* \\a(Bs) I2 de}). (20\')

Замечание 1. Разумеется, для того, чтобы функции v(t, х) в формулах (17\')-(20\') были решениями, нужна, прежде всего, определенность ма-тематических ожидании в этих формулах. Для этого достаточно, например, потребовать ограниченности функций ср(х), ф(і,х), с(х), а(х). (Во многих задачах эти предположения оказываются слишком стесняющими, что требует более тщательного рассмотрения этих вопросов.)

Замечание 2. Когда говорят о "вероятностном решении" то имеют в виду не то, что это есть решение в каком-то специальном "вероятностном классе" а лишь только то, что оно определяется с помощью понятий теории вероятностей, таких, как, например, усреднение по винеровской мере.

В.

Аи = 0, х Є G, (21)

(т. е. гармоническая) и условию

и(я) = (р(х), xedG. (22)

Пусть

т = inf {?: Bt ? G}. Тогда вероятностное решение есть функция

v(x) = Е MB,). (23)

/

Замечание 3. Здесь также нужны некоторые предположения относительно области G для того, чтобы момент т был марковским, а также не-обходимы условия интегрируемости (р(Вт).

4. Остановимся на основных моментах доказательства того, что функция г>(х), определенная в (23), действительно является (при некоторых дополнительных предположениях) решением уравнения (21).

Будем предполагать, что открытое множество G в является ограни-ченным и — (р(х) - ограниченная функция. Предположим также, что функция и(х) = Ехір{Вт) принадлежит классу С2.

Тогда по формуле Ито находим, что для

v(Bt) = v(B0) + і ?(bv)(Ba) ds + J\\vv){Ba) dBa. (24)

Если функция v такова, что

то последний интеграл в (24) будет локальным мартингалом.

В силу марковского свойства броуновского движения, на множестве {ш: s < т} (Р-п.н.)

ЕхЫВг)\\Ра)=ь(Ва), (25)

т.е. (на этом множестве) v(Ba) является мартингалом.

Тем самым, из (24) следует, что процесс - интеграл ( / Дv(Ba) ds)

- является на множестве {s < т} локальным мартингалом, и, поскольку в то же самое время он является непрерывным процессом ограниченной вариации, он равен нулю. (Этот факт, являющийся следствием разложения Дуба-Мейера для субмартингалов, постоянно используется в вопросах проверки того, что вероятностные решения удовлетворяют тем или иным уравнениям; см. [250; § ЗЬ, гл. I] и далее §5Ь.)

Отсюда заключаем, что Av(x) = 0, х Є G, поскольку, если бы это было не так в некоторой точке хо Є С,тоизнепрерывности Ді;(х) следовало бы, что Av(x) ф Ов некоторой окрестности точки хо, и тогда с положительной вероятностью процесс ^ Av(Ba) ds j не был бы равным нулю.

Замечание 4.

5. В идейном плане весьма сходным образом рассматривается вопрос о вероятностных решениях и в задаче Коти.

Рассмотрим, например, уравнение теплопроводности (17) и покажем, что функция v(t,x) = Еj;ip(Bt) является решением этого уравнения (при некоторых дополнительных предположениях) с начальным условием ы(0,х) = <р(х).

В самом деле, в силу марковского свойства броуновского движения

Ex(/(Bt)|*e)=w(i-J,Be). (26)

Поскольку (Еx(f{Bt) | Jy)3Далее, в предположении v ЕС2, можно применить формулу Ито:

v(t - з, В.) = v(t, Во) + У + l^vj (t - r,Br) dr

+ Г Vv(t-r,Br)dBr. (27) Jo

Если при каждом t

(28)

то последний интеграл в (27) будет локальным мартингалом. Поэтому про-цесс

неотличим (Р-п.н.) от нулевого как являющийся и локальным мартингалом и непрерывным процессом ограниченной вариации.

Если, к тому же, функция = <р(х) непрерывна, тон (t,x) —> ip(x),t —> 0. Аналогичным образом, с помощью формулы Ито, устанавливается, что вероятностные решения задач (17)-(20) определяются формулами (17\')-(20\') соответственно.

Замечание 5. По поводу более детального рассмотрения сформулированных выше задач Коши и Дирихле для параболических уравнений, а также соответствующих задач для прямых и обратных уравнений Колмогорова, см., например, [123], [170], [182], [288].