Тест Колмогорова-Смирнова (К-С)

Хи-квадрат тест, без сомнения, является наиболее популярным из всех методов сравнения двух распределений. Так как многие ориентированные на рынок приложения, помимо рассматриваемых в этой главе, часто используют хи-квадрат тест, то он описан в Приложении А.

Однако для наших целей наилучшим методом будет тест К-С. Этот очень эффективный тест применим к неячеистым распреде-лениям, которые являются функцией одной независимой переменной (в нашем случае, прибыль за одну сделку).

Все функции распределения вероятности имеют минимальное значение 0 и максимальное значение 1. То, как они ведут себя между ними, и отличает их. Тест К-С измеряет очень простую переменную D, которая определяется как максимальное абсолютное значение разности между двумя функциями распределения вероятности. Тест К-С достаточно прост. N объектов (в нашем случае сделок) нормируются (вычитается среднее значение, и полученная разность делится на стандартное отклонение) и сортируются в порядке возрастания. Когда мы проходим эти отсортированные и нормированные сделки, накопленная вероятность рассматриваемого количества сделок делится на N. Когда мы берем первую сделку в отсортированной последовательности с наименьшим стандартным значением, функция распределения вероятности (cumulative density function, далее — ФРВ) равна 1/N. Для каждого стандартного значения, которое мы проходим, приближаясь к наибольшему стандартному значению, к числителю прибавляется единица. В конце последовательности наша ФРВ будет равна N/N, или 1. Для каждого стандартного значения мы можем рассчитать теоретическое распределение. Таким образом, мы можем сравнить фактическую функцию распределения вероятности с любой теоретической функцией распределения вероятности. Переменная D, или статистика К-С (К-С statistic), равна наибольшему расстоянию между значением нашей фактической функции распределения вероятности и значением теоретического распределения ФРВ при этом же стандартном значении.

При сравнении фактической ФРВ для данного стандартного значения с теоретической ФРВ для этого же стандартного значения мы должны также сравнить теоретическую ФРВ предыдущего стандартного значения с фактической ФРВ текущего стандартного значения.

Для того чтобы прояснить эту ситуацию, посмотрим на рисунок 4-1. Отметьте. что в точке А фактическая кривая находится выше теоретической. Поэтому мы сравниваем текущее значение фактической ФРВ с текущим теоретическим значением для нахождения наибольшей разности. Однако в точке В фактическая кривая находится ниже теоретической. Поэтому мы сравниваем предыдущее фактическое значение с текущим теоретическим значением. Идея состоит в том, что в результате мы выберем наибольшую разность.

Для каждого стандартного значения нам надо взять абсолютное значение разности между текущим значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Нам также надо взять абсолютное значение разности между предыдущим \r\n

значением фактической ФРВ и текущим значением теоретической ФРВ. Повторив эту операцию для всех стандартных значений точек, где фактическая ФРВ делает скачок вверх на 1/К и взяв наибольшую разность, мы определим переменную Б. \r\nНакопленная вероятность

Рисунок 4-1 Тест К-С

Стандартное значение

\r\n

Чем ниже значение Б, тем больше похожи два распределения. Мы можем преобразовать значение Б в уровень значимости с помощью следующей формулы:

(4.01) 8Ю= X * 4-2 * ЕХР(-2 * І А 2 * (14 А (1/2) * Б) Л 2),

где БЮ = уровень значимости для данного Б и К; Б = статистика К-С;

N = количество сделок, по которым определена статистика К-С;

% = оператор, означающий остаток после деления. Здесь 1%2 дает остаток после деления I на 2;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Нет необходимости суммировать значения I от 1 до бесконечности.

Уравнение сходится (обычно очень быстро) к определенному значению. После того как предел достигнут (согласно допуску, установленному пользователем), нет необходимости продолжать суммирование значений.

Рассмотрим уравнение (4.01) на примере. Допустим, у нас есть 100 сделок, а значение статистики К-С равно 0,04:

11 = (1 % 2) * 4 - 2 * ЕХР(-2 * 1Л2 * (100л(1/2) * 0,04) л 2) =1*4-2* ЕХР(-2 * Л 2 * (10 * 0,04)л 2) = 2 * ЕХР(-2 * 1Л2 * 0,л 2) = 2*ЕХР(-2*1*0,16) = 2 * ЕХР(-0,32) = 2 * 0,726149 = 1,452298

Таким образом, нашим первым значением является 1,452298. Теперь прибавим следующее значение: \r\n

12 = (2 % 2) * 4 - 2 * ЕХР(-2 * 2Л 2 * (100л (1/2) * 0,04)л2) =0*4-2* ЕХР(-2 * 2Л 2 * (10 * 0,04)л 2) = -2 * ЕХР(-2 * 2л 2 * 0,4л 2) = -2*ЕХР(-2*4*0,16) = -2*ЕХР(-1,28) = -2 * 0,2780373 = -0,5560746

Прибавив -0,5560746 к нашей текущей сумме 1,452298, мы получим новую текущую сумму 0,8962234. Затем снова увеличим I на 1, теперь оно будет равно 3, и решим уравнение. Получившееся значение прибавим к текущей сумме 0,8962234. Следует поступать таким образом и дальше, пока текущая сумма в пределах допуска не перестанет изменяться. В нашем примере предельное значение будет равно 0,997. Этот ответ означает, что при 100 сделках и значении статистики К-С 0,04 мы можем быть уверены на 99,7%, что фактическое распределение генерировано функцией теоретического распределения. Другими словами, мы можем быть на 99,7% уверены, что функция теоретического распределения представляет фактическое распределение. В данном случае это очень хороший уровень значимости.

<< | >>

↑

Источник: РАЛЬФ ВИНС. Математика управления капиталом. 2006

Еще по теме Тест Колмогорова-Смирнова (К-С):

- Биржевая деятельность - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги, кредит, банки - Кредитование - Основы финансов - Финансовая математика - Финансовое право - Финансовый менеджмент - Финансы и кредит -