Алгоритм расчета

Теперь мы должны определить среднее арифметическое, которое будем ис-пользовать в качестве вводного данного. Мы определим его эмпирически из 232 сделок, в нашем случае оно равно 330,13 доллара. Далее мы найдем стандартное отклонение, которое также определим эмпирически из 232 сделок, оно будет равно 1743,23 доллара. Теперь рассчитаем столбец ассоциированных Р&Ь, то есть определим Р&Ь для каждого стандартного значения. Но до того как определять столбец ассоциированных Р&Ь, мы должны задать значения для растяжения и сжатия. Так как сейчас мы не собираемся рассматривать сценарии «что если», то возьмем единицу как для растяжения, так и для сжатия.

Среднее арифметическое = 330,13 Стандартное отклонение = 1743,23 Растяжение = 1

Сжатие = 1

С помощью уравнения (3.28) можно рассчитать столбец ассоциированных P&L.

(3.29) D = (U * Сжатие) + (S * E * Растяжение),

где D = значение цены, соответствующее значению стандартной единицы; Е = значение стандартной единицы; S = стандартное отклонение; и=среднее арифметическое. При стандартном значении -3 ассоциированное P&L составляет:

D = (U * Сжатие) + (S * E * Растяжение) = (330,129 * 1) + (1743,232 * (-3) * 1) = 330,129 + (-5229,696) = 330,129 - 5229,696 = -4899,567

Таким образом, ассоциированное P&L при стандартном значении -3 равно - 4899,567. Теперь нам надо определить ассоциированное P&L для следующего стандартного значения, которое составляет -2,9, для чего решим то же уравнение (3.29), только на этот раз возьмем Е = -2,9. Теперь определим столбец ассоции-рованной вероятности. Ее можно рассчитать, используя стандартное значение в качестве вводного данного для Z в уравнении (3.21) без оговорки «если Z < О, тогда N(Z) = 1 - N(Z)». При стандартном значении -3 (Z = -3) получаем:

N(Z) = N\'(Z) * ((1,330274429 * YA 5) - (1,821255978 * YA 4) + + (1,781477937 * Y A 3) - (0,356563782 * YA 2 + (0,31938153 * Y))) Если Z < 0, тогда

N(Z) = 1 - N(Z), где Y =1/(1+0,2316419 *ABS(Z));

ABS() = функция абсолютного значения;

V N\'(Z) = 0,398942 * EXP (- (ZA2/2));

ЕХР() = экспоненциальная функция. Таким образом:

N\'(-3) = 0,398942 * EXP (- ((-3)A2/2)) = 0,398942 * ЕХР(- (9/2)) = 0,398942 * EXP (-4,5) =0,398942*0,011109 =0,004431846678 Y = 1 / (1 + 0,2316419 * ABS(-3)) = 1/(1+0,2316419*3) =1/(1+ 0,6949257) =1/1,6949257 = 0,5899963639

N(-3) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,5899963639 A 5) -

(-1,821255978 * 0,5899963639A 4) + + (1,781477937 * 0,5899963639A3) -

(0,356563782 * 0,589996363A 2) + + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,07149022693) -

(1,821255978 * 0,1211706) + (1,781477937 * 0,2053752) -

(0,356563782 * 0,3480957094) + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * (0,09510162081- 0,2206826796+ 0,3658713876 -

-0,1241183226 + 0,1884339414) =0,004431846678*0,3046059476 =0,001349966857

Отметьте, если Z имеет отрицательное значение (Z = -3), нам не надо менять N(Z) на N(Z) = 1 - N(Z).

Стандартное Ассоциированные Р&Ь Ассоциированная Ассоциированное значение ИРЯ при

значение вероятность Г= 0,01\r\n-3,0 ($4899,57) 0,001350 0,9999864325\r\n-2,9 ($4725,24) 0,001866 0,9999819179\r\n-2,8 ($4550,92) 0,002555 0,9999761557\r\n-2,7 ($4376,60) 0,003467 0,9999688918\r\n-2,6 ($4202,27) 0,004661 0,9999598499\r\n-2,5 ($4027,95) 0,006210 0,9999487404\r\n-2,4 ($3853,63) 0,008198 0,9999352717\r\n-2,3 ($3679,30) 0,010724 0,9999191675\r\n-2,2 ($3504,98) 0,013903 0,9999001875\r\nПродолжение

Стандартное Ассоциированные Р&Ь Ассоциированная Ассоциированное значение ИРЯ при

значение вероятность Г= 0,01

-2,1 ($3330,66) 0,017864 0,9998781535\r\n-2,0 ($3156,33) 0,022750 0,9998529794\r\n-1,9 ($2982,01) 0,028716 0,9998247051\r\n-1,8 ($2807,69) 0,035930 0,9997935316\r\n-1,7 ($2633,37) 0,044565 0,9997598578\r\n-1,6 ($2459,04) 0,054799 0,9997243139\r\n-1,5 ($2284,72) 0,066807 0,9996877915\r\n-1,4 ($2110,40) 0,080757 0,9996514657\r\n-1,3 ($1936,07) 0,096800 0,9996168071\r\n-1,2 ($1761,75) 0,115070 0,9995855817\r\n-1,1 ($1587,43) 0,135666 0,999559835\r\n-1,0 ($1413,10) 0,158655 0,9995418607\r\n-0,9 ($1238,78) 0,184060 0,9995341524\r\n-0,8 ($1064,46) 0,211855 0,9995393392\r\n-0,7 ($890,13) 0,241963 0,999560108\r\n-0,6 ($715,81) 0,274253 0,9995991135\r\n-0,5 ($541,49) 0,308537 0,9996588827\r\n-0,4 ($367,16) 0,344578 0,9997417168\r\n-0,3 ($192,84) 0,382088 0,9998495968\r\n-0,2 ($18,52) 0,420740 0,9999840984\r\n-0,1 $155,81 0,460172 1,0001463216\r\n0,0 $330,13 0,500000 1,0003368389\r\n0,1 $504,45 0,460172 1,0004736542\r\n0,2 $678,78 0,420740 1,00058265\r\n0,3 $853,10 0,382088 1,0006649234\r\n \r\n

0,4 $1027,42 0,344578 1,0007220715

0,5 $1201,75 0,308537 1,0007561259

Продолжение

Стандартное Ассоциированные Р&Ь Ассоциированная Ассоциированное значение ИРЯ при

значение вероятность 1= 0,01 \r\n

\r\n$1376,07

0,6

0,274253

1,0007694689 \r\n$1,550,39 $1724,71 $1899,04 $2073,36 $2247,68 $2422,01 $2596,33 $2770,65 $2944,98 $3119,30 $3293,62 $3,467,95 $3642,27 $3816,59 $3990,92 $4165,24 $4339,56 $4513,89 $4688,21 $4862,53 $5036,86 $5211,18 $5385,50 $5559,83

0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

1,9 2,0 2,1 2,2

2,9 3,0

0,241963 0,211855 0,184060 0,158655 0,135666 0,115070 0,096800 0,080757 0,066807 0,054799 0,044565 0,035930 0,028716 0,022750 0,017864 0,013903 0,010724 0,008198 0,006210 0,004661 0,003467 0,002555 0,001866 0,001350

1,0007647383

1,0007447264

1,0007122776

1,0006701921

1,0006211392

1,0005675842

1,0005117319

1,0004554875

1,0004004351

1,0003478328

1,0002986228

1,0002534528

1,0002127072

1,0001765438

1,000144934

1,0001177033

1,0000945697

1,0000751794

1,0000591373

1,0000460328

1,0000354603

1,0000270338

1,0000203976

1,0000152327

\r\n

\r\nПобочные продукты при f= 0,01: TWR= 1,0053555695 Сумма вероятностей = 7,9791232176 Среднее геометрическое = 1,0006696309 GAT = $328,09 доллара.

Оптимальное 1 надо искать следующим образом. Сначала вы должны определиться с методом поиска 1. Можно просто перебрать числа от 0 до 1 с определенным шагом (например 0,01), используя итерационный метод, или применить метод \r\n

параболической интерполяции, описанный в книге «Формулы управления портфелем». Вам следует определить, какое значение { (между 0 и 1) позволит получить наибольшее среднее геометрическое. После того как вы определитесь с методом поиска, следует найти ассоциированное Р&Ь наихудшего случая. В нашем примере это значение Р&Ь, соответствующее -3 стандартным единицам, то есть -4899,57.

Для того чтобы найти средние геометрические для значений Г, которые вы будете перебирать в поиске оптимального, нужно преобразовать каждое значение ассоциированных Р&Ь и вероятность в НРК Уравнение (3.30) позволяет рассчитать НРЯ:

где Ь = ассоциированное значение Р&Ь;

W = ассоциированное значение Р&Ь наихудшего случая (это всегда отрицательное значение); {= тестируемое значение Г Р = ассоциированная вероятность.

Для Г=0,01 найдем ассоциированное НРЯ при стандартном значении-3. Ассоциированное Р&Ь наихудшего случая составляет -4899,57. Поэтому НРЯ равно:

НРЯ = (1 + (-4899,57 / (-4899,57 / (-0,01))))Л 0,001349966857 = (1 + (-

4899,57/489957))л 0,001349966857 = (1 + (-0,01))Л 0,00139966857 = 0,99Л

0,001349966857 = 0,9999864325

После того как мы найдем ассоциированные НРЯ для тестируемого { (0,01 в нашем примере), можно рассчитать TWR. TWR — это произведение всех НРЯ для данного значения Г

(3.31) Т\\?К=(ПНРК),

где N = общее число равноотстоящих точек данных;

НРЯ = НРЯ из уравнения (3.30), соответствующее точке данных 1.

Поэтому для нашего тестируемого значения /= 0,01 TWR равно:

TWR = 0,9999864325 * 0,9999819179 * ... * 1,0000152327 = 1,0053555695

Мы можем легко преобразовать TWR в среднее геометрическое, возведя TWR в степень, равную единице, поделенной на сумму всех ассоциированных вероятностей.

где N == число равноотстоящих точек данных; R = ассоциированная вероятность точки данных 1.

Если мы просуммируем значения столбца, который включает 61 ассоциированную вероятность, получим 7,979105. Поэтому среднее геометрическое при Г= 0,01 равно:

О = 1,0053555695 л (1/7,979105) = 1,00535555695 л 0,1253273393 = 1,00066963

Мы можем также рассчитать среднюю геометрическую сделку (GAT). Это сумма, которую вы бы заработали в среднем на контракт за сделку, если бы торговали при этом распределении результатов и при данном значении f.

где G(f) = среднее геометрическое для данного значения f; W = ассоциированное P&L наихудшего случая.

GAT = (1,00066963 - 1) * (-4899,57 / (-0,01)) = 0,00066963 * 489957 = 328,09

Таким образом, в среднем на контракт можно ожидать выигрыша в 328,09 доллара. Теперь перейдем к следующему значению f, которое должно тестироваться в соответствии с выбранной процедурой поиска оптимального f. В нашем случае мы проверяем значения f от 0 до 1 с шагом 0,01, так что следующим тестируемым значением f будет 0,02. Рассчитаем новый столбец ассоциированных HPR, а также найдем TWR и среднее геометрическое. Значение f, которое в результате даст наивысшее среднее геометрическое, является оптимальным (для вводных параметров, которые мы использовали). Если бы для данного примера мы продолжили поиск оптимального f, то получили бы f= 0,744 (при расчете оптимального f используется шаг 0,001). Среднее геометрическое в этом случае равно 1,0265. Соответствующая средняя геометрическая сделка составит 174,45 доллара.

Следует отметить, что само по себе значение TWR не столь важно. Когда мы рассчитываем среднее геометрическое параметрически, как в этом примере, TWR просто является промежуточным шагом для получения этого среднего геометрического. Теперь мы можем рассчитать, каким было бы наше TWR после Х сделок, возведя среднее геометрическое в степень X. Поэтому если мы хотим рассчитать TWR для 232 сделок при среднем геометрическом 1,0265, то следует возвести 1,0265 в степень 232, что даст 431,79. В таком случае, при торговле с оптимальным f =0,744 можно ожидать прибыль 43079% ((431,79 - 1) * 100) после 232 сделок.

Порог геометрической торговли = 330,13/174,45 * -4899,57 / -0,744 = 12462,32 Отметьте, что значение средней арифметической сделки 330,13 доллара не является результатом, полученным с помощью этого метода, а используется как один из вводных параметров.

Мы можем преобразовать оптимальное f в количество контрактов для торговли с помощью уравнения:

K=E/Q,

где К = число контрактов для торговли; Е = текущий баланс счета.

Q=W/(-f),

где W = ассоциированное P&L наихудшего случая;

Отметьте, что переменная Q представляет собой число, на которое вы должны разделить баланс счета, чтобы узнать сколькими контрактами торговать, при этом баланс должен ежедневно корректироваться. Возвращаясь к нашему примеру: Q = -4899,57 / -0,744 = $6585,44

Следовательно, мы будем торговать 1 контрактом на каждые 6585,44 доллара на балансе счета. Для счета размером в 25 000 долларов это означает, что мы будем торговать:

К =25 000/6585,44 = 3,796253553

Так как мы не можем торговать дробными контрактами, то должны округлить это число 3,796253553 вниз до ближайшего целого числа. Поэтому для счета в 25 000 долларов мы будем торговать 3 контрактами. Причина, по которой мы всегда будем округлять вниз, а не вверх, состоит в том, что плата за нахождение ниже оптимального { меньше, чем плата за нахождение выше.

Отметьте, насколько чувствительна торговля оптимальным числом контрактов к наихудшему убытку. Наихудший убыток зависит только от того, на сколько стандартных отклонений вы отходите влево от среднего. Данный ограничительный параметр, интервал, выраженный в количестве стандартных отклонений, очень важен. В нашем расчете мы выбрали три сигма. Это означает, что мы допускаем проигрыш в три сигма. Однако проигрыш за пределами трех сигма может сильно нам повредить, если он выйдет слишком далеко за это значение. Поэтому вам следует быть очень осторожными с выбором этого ограничительного параметра. От величины интервала зависит очень многое. Заметьте, что для простоты изложения мы не учитывали комиссионные и проскальзывание. Если учитывать комиссионные и проскальзывание, то следует вычесть Х долларов комиссионных и проскальзывания из каждой сделки в самом начале. Затем следует рассчитать среднюю арифметическую сделку и стандартное отклонение на основе 232 измененных сделок и далее выполнить уже известную процедуру. Теперь рассмотрим сценарий «что если». Допустим, мы хотим посмотреть, что произойдет, если прибыль в средней сделке уменьшится вдвое (сжатие = 0,5). Далее предположим, что рынок становится очень волатильным и дисперсия увеличивается на 60% (растяжение = 1,6). Подставляя эти параметры в систему, мы можем посмотреть, как они влияют на оптимальное Г, и скорректировать нашу торговлю до того, как эти изменения произойдут на самом деле. Таким образом, оптимальное { будет равно 0,262, что соответствует торговле 1 контрактом на каждые 31 305,92 доллара на балансе счета (так как Р&Ь наихудшего случая сильно зависит от растяжения и сжатия). Среднее геометрическое упадет до 1,0027, средняя геометрическая сделка уменьшится до 83,02 доллара, а TWR за 232 сделки будет равно 1,869. Такие изменения вызваны уменьшением средней сделки на 50% и увеличением стандартного отклонения на 60%, что вполне может произойти на практике. Также возможно, что будущее будет более благоприятно, чем прошлое. Мы можем проанализировать другую ситуацию. Допустим, мы хотим посмотреть, что произойдет, если наша средняя прибыль увеличится на 10%. Для этого следует ввести значение сжатия 1,1. Параметры «что если», растяжение и сжатие, крайне важны в управлении капиталом.

Чем ближе ваше распределение торговых Р&Ь к нормальному, тем лучше будет работать метод. Проблема почти всех методов управления деньгами состоит в том, что следует учитывать определенный «коэффициент ухудшения». Здесь ухудшение — это разница между нормальным распределением и распределением, которое вы реально получаете. Разница между ними и есть коэффициент ухудшения, и чем больше этот коэффициент, тем менее эффективным становится метод.

С помощью вышеописанного метода мы определили, что торговля 1 контрактом на каждые 6585,44 доллара на балансе счета оптимальна. Однако если бы мы совершили эти сделки на практике и определили оптимальное Г эмпирически, то оптимальным был бы 1 контракт на каждые 7918,04 доллара на балансе счета. Как можно видеть, использование нормального распределения сместило нас слегка вправо вдоль кривой Г и привело к торговле несколько большим числом контрактов, чем предлагает эмпирический метод.

Однако, как мы увидим позже, многое говорит в пользу того, что будущее рас-пределение цен будет нормальным. Когда мы покупаем или продаем опцион, предположение, что будущее распределение изменений цены базового инструмента будет нормальным, уже заложено в цену опциона. Точно так же можно сказать, что трейдеры, не использующие механические системы, получат в будущем результаты, которые нормально распределены.

В методе, описанном в этой главе, используются неприведенные данные. При использовании приведенных данных метод будет выглядеть следующим образом:

До того как данные нормированы, их следует привести к текущим ценам путем преобразования всех торговых прибылей и убытков в процентные прибыли и убытки с помощью уравнений с (2.10а) по (2.10в). Затем эти процентные прибыли и убытки следует умножить на текущую цену

Когда вы перейдете к нормированию этих данных, нормируйте приведенные данные, используя среднее и стандартное отклонение приведенных данных.

Далее, определите оптимальное Г, среднее геометрическое и TWR. Средняя геометрическая сделка, средняя арифметическая сделка и порог геометрической торговли справедливы только для текущей цены базового инструмента. Когда цена базового инструмента изменяется, процедура должна быть проведена заново. Когда вы перейдете к повторному проведению процедуры с другой ценой базового инструмента, вы получите то же оптимальное Г, среднее геометрическое и TWR. Однако средняя арифметическая сделка, средняя геометрическая сделка и порог геометрической торговли будут другими в зависимости от новой цены базового инструмента.

Количество контрактов для торговли, рассчитываемое с помощью уравнения (3.34), соответствующим образом изменится. Р&Ь наихудшего случая, переменная W, используемая в уравнении (3.34), также изменится.

Из этой главы, мы узнали, как найти оптимальное { по распределению вероятности. Мы использовали нормальное распределение, так как оно описывает многие естественно происходящие процессы. Кроме того, с ним легче работать, чем со многими другими распределениями, так как можно рассчитать интеграл функции нормального распределения с помощью уравнения (3.21)\'. Однако нормальное распределение зачастую является неполной моделью для распределения торговых прибылей и убытков. Какая модель будет приемлемой для наших целей? В следующей главе мы ответим на этот вопрос и будем полагаться на методы из главы 3 при работе с любым видом распределения вероятности независимо от того, существует интеграл функции распределения или нет.