Вывод, основанный на решении фундаментального уравнения

Естественно, конечно, что первый вопрос, который возникал перед этими авторами, это вопрос о том, что следует понимать под рациональной стоимостью.

Формально, это означает следующее.

Пусть рассматривается опционный контракт Европейского типа с моментом исполнения Ти платежной функцией /т-

Тогда под рациональной (справедливой) стоимостью Yt такого опционного контракта, заключаемого в момент 0 ^ t ^ Т, понимается (согласно определению Ф. Блэка, М. Шоулса и Р. Мертона) цена совершенного хеджирования Европейского типа

C[tiT] = inf {ж: ЗжсХ? = хиХ% = /т (Р-п.н.)}. (1)

(Ср. с соответствующими определениями в § lb, гл. VI и § 4Ь, гл. VII; величина С[о;т] ранее обозначалась также Ст-)

Вообще гворя, a priori не ясно, существуют ли совершенные хеджи.

Из результатов §§4а,Ь, гл. VII, следует, что в рассматриваемой модели (В, S)-puHKa такие хеджи действительно существуют и, более того,

(st \\

Yt — С[4іт] совпадает с величиной Bt Ер^ I J, где Рт - мартин

гальная мера, что и определило то, что данный в § lb вывод был назван "мартингальным"

В работах же [44], [346], предшествующих "мартингальному" подходу, метод расчета величин Yt = C[tiT] был иным и состоял в следующем.

В силу "марковского" характера и процесса 5 = (St)t^o, и платежной функции /т = (5т — естественно предположить, что ^-измеримая величина Yt зависит от "прошлого" лишь только через значение St:

Yt = Y(t,St).

В предположении, что определенная на [О, Т) х (0, оо) функция Y = Y(t,S) является к тому же достаточно гладкой (точнее, Y Є С1\'2), авторы работ [44] и [346] получили следующее фундаментальное уравнение

dY „ЗУ 1 2 ~d2Y

1n+rsds + R s lw=rY (2)

с краевым условием

Y(T, S) = (S — К)+. (3)

(Вывод уравнения (2) дан в § 4с, гл.

Следующий шаг на пути к формуле Блжа и Шоулса (т. е. к формуле для значения У (0, So)) состоит в том, чтобы найти решение задачи (2)-(3).

Уравнение (2) относится к уравнениям типа Фейнмана-Каца (см. (19) в § 3f, гл. III) и может быть решено стандартной техникой решения таких уравнений.

Введем новые переменные

9 = a2(T-t), (4)

Z = lnS+ (r-y)(T-<) (5)

и положим

V(9,Z) = er^T-^Y{t,S). (6)

В новых переменных задача (2)-(3) эквивалентна задаче

дв 2 dZ2 ~ [ \'

V(0,Z) = (ez -К)+. (8)

Уравнение (7) является уравнением теплопроводности, и, согласно формуле (17\') из § 3f, гл. ІП, решение задачи (7)-(8) определяется выражением

V(e,Z) = E(ew°+z -К) + , (9)

где W = (Wg) - стандартный винеровский процесс. Обозначим

a = ez+2, b = V9,

Тогда

- = Е(ег • e^i - If)\'

= Е(аеь«-^-Л:) + . (10)

Применяя формулу (16) из § lb, находим, что

Наконец, с учетом обозначений (4) и (5), из (6) и (11) приходим к формуле

V oy/T=t )

+ (12) \\ ay/T — t J

(Ср. с формулой (21) в § lb.)

Полагая здесь t = 0 и S — So, получаем искомую формулу Блэка и Шоулса (9). В § lb было показано, что портфель 7г = (/3t, 7t)t^r с dY

It — -^(t, St),PtBt — Y(t, St) — St-yt является хеджем, для которого капи- ЧР

тал ХТР в точности воспроизводит платежное поручение FX = (ST — К)+.

2. В заключение отметим следующие обстоятельства, касающиеся двух приведенных выводов формулы Блэка и Шоулса.

"Мартингальный" вывод, данный в § lb, был основан на том, что в рас-сматриваемой модели (В, 5)-рынка существовала, и притом единственная, мартингальная мера. Это определило безарбитражность рассматриваемой модели и дало возможность рассчитывать рациональную стоимость

/т

СТ по формуле СТ — Во Ек ——, которая (для /т = (ST — К) ) воплоти-

Т

лась в формулу Блэка и Шоулса.

Вывод, основанный на решении "фундаментального уравнения" приводит к той же самой формуле. Интересно поэтому подчеркнуть, что в этом

выводе идеи безарбитражности и совершенного хеджирования выразились в том, что в силу единственности задачи (2)-(3) найденная цена У (О, So) автоматически оказывается " безар битражной" "справедливой": если назначаемая цена опциона меньше У (О, So), то продавец опциона не сможет, вообще говоря, выполнить свои контрактные обязательства, а если больше У (0, So), то продавец заведомо будет иметь чистый доход ("free lunch"). См. подробнее § lb, гл. V.