§ 5с. Фундаментальное уравнение в частных производных временной структуры цен облигаций

Р (t,T)=F(t,r(t),T), (1)

где r(t) - некоторая "процентная ставка", принимающая, как правило, не-отрицательные значения.

В проблематике описания эволюции стоимостей облигаций опосредо-ванный подход (1) был одним из самых первых, уступив (особенно в тео-ретических работах) прямому подходу.

Следует сразу подчеркнуть, что этот метод "работает" лишь в предположении, что процесс процентной ставки г = (r(t))t^o является марковским процессом, удовлетворяющим некоторому стохастическому диф-ференциальному уравнению

drit) = a(t,r(tj) dt + b(t,r(t)) dWt (2)

или уравнению типа "диффузия со скачками" (см. уравнение (6) в § 4а, гл. III).

Будем предполагать, что при каждом Т > 0 функпия FT = F(t, г, Т) является (по tw.r) функцией класса С1,2. Тогда

т (dFT 3FT 1 од2FT\\ ,dFT „тт

dF = {-дГ+\'+ 2Ь dt + Ъ1Г dWt- (3)

Предполагая FT > 0, перепишем это уравнение в следующем виде (ср. с уравнением (8) в § 5а):

dFT = FT (Ат (t, r(t)) dt + Вт (t, r(i)) dWt), (4)

где

dF 162 Э2^7 AT(i,r) = ** +a Э^т+2 (5)

и

Чтобы найти дополнительные условия на функции FT (помимо очевидного условия FT(T, Г(Т)) = F(T,r(T),T) = Р(Т,Т) = 1) будем исходить из того, что искомый (В, V)-рынок должен быть безарбитражным. Тогда, сопоставляя (4) с (8) из § 5а и учитывая соотношение (25) из § 5а, видим, что для выполнения безарбитражности должна найтись функция ip(t), такая, что при всех t и Т, таких, что t ^ Т, выполнено соотношение

AT(t,r)-r BT(t,r) = {7)

(Согласно (21) из §5а, по функции ip — ip(t) строится "мартингальная" мера Р.)

С учетом (5) и (6) из (7) приходим к следующему заключению: если функции FT — F(t, г, Т), Т > 0, удовлетворяют фундаментальному уравнению

8F , J4 8F 1.

- + {a + ipb)- + -b2~=rF, t*T, (8)

с краевым условием F(T,r,T) — 1, T > 0, г > 0, mo {В,Т)-рынок с P(t,T) = F(t,r(t),T) является безарбитражным.

Уравнение (8) весьма схоже с фундаментальным уравнением для цены хеджирования в случае акций (см. (19) в §4с). Однако между этими уравнениями есть принципиальная разница, состоящая в том, что в (8) входит функция = tp(t), которая не определяется однозначно исходными предпосылками и должна назначаться a priori. Выше отмечалось, что по этой функции определяется мартингальная мера Р. Так что ее выбор равносилен, в сущности, выбору некоторой "риск-нейтральной" меры, которая по представлению инвесторов "действует" на рассматриваемом (В, V)-рынке.

3. Следуя обозначениям (11) из § 3f, гл. III, посвященного прямым и обратным уравнениям Колмогорова и вероятностному представлению реше-ний уравнений в частных производных, обозначим

д 1 д2 L{s,r) = (a(s,r) + ір(з)Ь(з, г)) — + -іЪ2(s, г) . (9)

Оператор L(s, г) является обратным оператором диффузионного мар-ковского процесса г = (r(?))t^o> удовлетворяющего стохастическому диф-ференциальному уравнению

dr(t) = (a(t,r{t)) + ip{t)b{t,r{t))) dt + b(t,r(t)) dWt. (10)

Переписывая уравнение (8) в виде dF

-—=L{s,r)F-rF, s^T, (11)

замечаем, что это уравнение относится (см. § 3f, гл. III) к классу уравнений Фейнмана-Каца (для диффузионного процесса г = (r(t))t^o).

Вероятностное решение этого уравнения с краевым условием F(T, г, Т) = 1 может быть представлено (ср. с (19\') в § 3f, гл. III, и см. детали, например, в [123], [170], [288])

F(s,r,T) = Es,r{exp(- J\\(u) du^, (12)

где ЕStr - математическое ожидание по распределению вероятностей про-цесса (r(u))s^u^x с условием r(s) — г.

Заметим, что формула (12), полученная из соображений отсутствия ар-битража, вполне согласуется с ранее найденным представлением (5) в § 5а, поскольку в марковском случае

Е (exp JJ r(u) du) I = E (exp (- ? r(u) du) | rs).

4. Полезно теперь отметить, что все рассмотренные в §4а, гл.

Разнообразие этих моделей вызвано, главным образом, стремлением их авторов получить модели, которые, с одной стороны, поддавались бы ана-литическому исследованию, и, с другой стороны, согласовывались с наблюдаемыми данными.

В § 4с, гл, ПІ, отмечалось, что важным и поддающимся аналитическому рассмотрению является тог подкласс (аффинных) моделей ([36], [38], [117], [119]), для которых справедливо представление

F(t,r(t),T) = exp{a(t,T) - r(t)/?(t,T)} (13)

с детерминированными функциями a( t, Т) и /3(t, Т).

Известным примером аффинной модели, приводимой в указанных работах, является модель, получаемая следующим образом. Предположим, что в (10)

a(t, г) + (p(t)b(t, г) = ax(t) + ra2{t)

и

b(t,r) - Vh(t) + rb2(t).

Тогда уравнение (8) примет следующий вид

dF dF 1 d2F

+ («і + ra2) — + -(h + rb2) t^T. (14)

Если искать решение этого уравнения в виде (13) с F(T,r, Т) = 1, то найдем, что a(t,T) и /3(і,Т) должны определяться по ai(i), a2(t), bi(t) и b2 (t) из следующих соотношений:

^ + а2/3 - 1-Ь2Цг = -1, Р(Т, Т) = 0 (15)

и

Л 1

¦ "(Т>Т) = °- (16)

Уравнение (15) есть уравнение Риккатпи. Найдя его решение /3(t,T), затем из (16) находим a(t, Т), что приводит к аффинной модели (13) с най-денными функциями a(t, Т) и /3(t, Т).

Пример. Рассмотрим модель Васичека (см. (8) в §4а, гл.

dr(t) = (а - &¦(<)) dt + cdWu

где а, Ь и с - константы.

Тогда из (15) и (16) находим, что

?L-bp = -1, /?(т,т) = о,

^ = а(Т,Т)=0.

Следовательно,

и

а(<\'Т) = т/ P2(s,T)ds-a? (3(s,T)ds.