§ 4с. Диффузионные модели временной структуры стоимостей семейства облигаций

Там же были введены некоторые характеристики облигаций, такие, как начальная цена Р(0,Т), номинальная стоимость Р(Т,Т) (предполагае-мая, для определенности равная единице), текущая процентная ставка, доходность до момента погашения и др.

Одна из трудностей состоит здесь в том, что если при данном Т на функ-цию P(t, Т) смотреть как на случайный процесс для 0 ^ t ^ Т, то следует прежде всего отметить, что этот процесс должен быть условным, посколь- куР(Т,Т) = 1.

Типичным примером такого процесса является рассмотренный в § За броуновский мост X = (Xt)t^Ti подчиняющийся уравнению

dXt = dt + dWt

С Хо =«и имеющий ТО СВОЙСТВО, ЧТО Xt —>• 1 при t t Т.

Подобно тому, как Л. Башелье использовал линейное броуновское движение (см. (1) в § 4Ь) для моделирования стоимости акций, так и в случае облигаций процесс X = (Xt)t^x можно было бы считать некоторой возможной моделью, описывающей эволюцию цен P(t, T),t Т.

Возникающие здесь трудности те же, что и в случае акций - величины Xt, t > 0, принимают любые, вообще говоря, значения из К, а по самому смыслу цен облигаций должно быть выполнено условие 0 < Р(t, Т) ^ 1.

Другая трудность при построении моделей стоимостей облигаций связана с тем, что обычно на финансовых рынках облигаций присутствуют облигации с разными временами исполнения Т, и портфели покупателей могут включать в себя разные облигации. Поэтому разумные модели эволюции стоимостей о б лиг алий должны строиться не для фиксированного Т, а сразу для некоторого подмножества Т С включающего в себя все возможные значения времен исполнения \'облигаций, присутствующих на рынке.

2. Припостроениимоделей временной структуры стоимостей P{t,T), t ^ Т, облигаций с временами исполнения Т (будем их называть Т-обли- гациями или Т-бонами) предположим, что Т = Ш+. Иначе говоря, будем считать, что имеется целое (континуальное) семейство облигаций со стоимостями {Р(t,T), 0 < t < Т, Т Є №+}.

При этом будем также считать, что у всех облигаций отсутствуют про-межуточные (купонные) выплаты, т. е. будем рассматривать только облигации с нулевыми купонами (zero-coupon bonds).

Замечание 1. В англоязычной финансовой литературе вся проблематика построения моделей, описывающих временную структуру стоимостей акций, носит (ставшее популярным) название " The term structure of interest rates".

3. При оперировании с одной Т-облиг алией или семейством Т-обли-гаций, Т > О, вводится ряд их характеристик, постоянно используемых при построении различных моделей и их анализе.

С этой целью представим стоимость Р(t, Т) в следующем виде:

Р(t,T) = е-г^тНт~*\\ t^T, (1)

P(t,T) = e~^f^ds, t^T, (2)

с некоторыми неотрицательными функциями г (f, Т) иf(t,s),0 ^ t ^ s ^ Т.

Ясно, что

r(t,T) = , tи (в предположении дифференцируемости P(t,T) по Т > t)

f{t,T) = --^\\nP{t,T), tДля случая одной Т-облиг алии с нулевыми купонными выплатами мы вводили (см. (6) в § 1а, гл. I) для t ^ Т ее доходность, или доход р(Т — t, Т) до момента погашения, посредством формулы

P(t,T) = e-{T-t)Mi+P{T-t,t)) (5)

Сопоставляя эту формулу с (1), видим, что

r(t,T)=ln(l + p(T-t,t)). (6)

Эту величину также принято называть доходностью (yield) Т-облига- ции за оставшееся время T — t, а функцию t r(t,T) называют (для t Т) кривой доходности Т-облигации.

Величины r(t, Т) полезны и тогда, когда рассматриваются разные Т-об-лигации с разными временами исполнения Т > t.

Чтобы не различать далее случаи одной облигации или семейства облигаций, мы будем рассматривать функцию r(t, Т) как функцию двух переменных tnT, считая 0 < t ^ ТиТ > 0, и называть ее также доходностью.

Величины f(t,T) обычно называют форвардными процентными став-ками для контракта, заключаемого в момент времени t.

Во всем дальнейшем анализе ключевую роль играет процентная ставка (spot rate) r(t) в момент t, определяемая посредством форвардной про-центной ставки:

r(t) = /(«,«). (7)

Из этого определения ясно, что процентная ставка r(t), отнесенная к моменту времени t, характеризует скорость изменения стоимости облигации в инфинитезимальном интервале (t,t + dt).

Отметим также, что г (t, Т) и f(t, Т) связаны между собой соотношением

f(t,T)=r(t,T) + (T-t)^p-, (8)

непосредственно следующим из (4) и (1). „ , .

Тем самым, скажем, в предположении конечности производной — \' при Т = t, находим, что

r(t) = /(t,t) = r(t,t) (=Ит r{t,T)). (9)

4. Обратимся теперь к вопросу о том, как описывать динамику стоимостей Р(t, Т) облигаций. Здесь есть два основных подхода - опосредованный и прямой. (Ср. со с. 15.)

В первом из них стоимости Р (t, Т) представляют в виде

Р (t,T)=F(t,r(t);T), (10)

где г = (r(t))< j»o ~ некоторая "процентная ставка"

В таких моделях вся структура стоимостей определяется единственным фактором, г - (r(t))tj»o, что объясняет, почему такие модели называют однофакторными.

(И)

F(t,r(t);T) = e^,T)-r(tmt,T)

Важный, и аналитически поддающийся исследованию, подкласс таких моделей описывается функциями F(t, r(t);T) вида

Такие модели называют аффинными или, иногда, экспоненциально-аф-финными, [117], [119], поскольку InF(t,x\\T) есть линейная по х функция a(t,T) - xfi(t,T) с некоторыми a(t,T) и/3(і,Т).

Другой, широко известный подход был использован в работе [219], по имени авторов которой (D.

Суть предложенного в [219] подхода состоит в том, чтобы искать стоимости P(t,T) как решения стохастических дифференциальных уравнении (ср. с (4) в §4Ь)

dP(t,T) = P{t,T)(A(t,T) dt + B(t,T) dWt), /(12)

с A(T, T) = B(T, T) - 0 и P(T, T) = 1 или уравнений

df{t,T) = a(t,T)dt + b{t,T)dWt (13)

для форвардных процентных ставок f(t, Т).

Сейчас уместно будет напомнить, что всюду здесь и далее предполагается заданным некоторое фильтрованное вероятностное пространство (сто-хастический базис)

Предполагается, что все рассматриваемые функции (P(t,T), f(t,T), A(t,T), ...) являются ^-измеримыми для t < Т. Как обычно, W = (Wt,&t)t^o ~ стандартный винеровский процесс, и предполагается, что выполнены необходимые условия интегрируемости, обеспечивающие существование стохастических интегралов в (12) и (13) и существование решения уравнений (12).

Из соотношения (2) между стоимостями P(t, Т) и форвардными процентными ставками f(t,T) можно найти, пользуясь формулой Ито и стохас-тической теоремой Фубини (см. лемму 12.5 в [303] или [395]), следующие формулы связи между коэффициентами (A(t, Т), B(t, Т)) и (a(t, Т), b{t, Т)) в уравнениях (12) и (13), приведенные в [219]:

(16) (17)

A(t,T)=r(t)~ J\\(t,s)ds + ^J bit, s) ds^j , B(t,T) = -J b(t, s) ds.

(15)

Из (13) находим также, что

dr{t) = (^{t, t) + a(t, t)j dt + b(t, t) dWt. (18)

Замечание 2. В ряде работ (см., например, [38], [359], [421]) вместо форвардной процентной ставки f(t, Т) используется некоторая ее модификация r(t, х), где

r(t,x) = f(t,t + x),

предпочтительность использования которой оправдывается рядом анали-тических упрощений. При такой репараметризации, например, формула (2) выглядит несколько проще:

P(t,T) = expj-y r{t,x)dx j. (19)

5. Дальнейшая детализация структур стоимостей облит алий P(t,T), структур форвардных процентных ставок f(t,T) и процентных ставок r(t) с точки зрения "безарбитражности и полноты" соответствующего рынка Т-облигаций будет дала в гл. VII. Сейчас же лишь отметим, что, как и в случае (В, 5)-рынка (см. п. 4 в предшествующем §4Ь), принимаемая нами концепция безарбитражности рынка Т-облигаций автоматически на-кладывает определенные структурные ограничения и на коэффициенты в уравнениях (12) и (13), и на коэффициенты a(t, Т) и (3{t,T) и процентные ставки в аффинных моделях (11), выделяя, тем самым, естественные классы безарбитражных моделей рынка облигаций.