§ 5а. Семимартингалы и стохастические интегралы

Во многих отношениях таким классом является класс семимартинга- лов, т.е.

Xt=X0+At + Mt, (1)

где А = {At,&t)tpо ~ процесс ограниченной вариации {А Є "У), а М = (Mt,^t)t>o ~ локальный мартингал (М Є М\\0<2), определенные на некотором фильтрованном вероятностном пространстве, называемом также стохастическим базисом,

удовлетворяющим обычным условиям, т. е. свойству непрерывности справа <т-алгебр , t 0, и требованию, чтобы сг-алгебры 3t,t > 0, содержали все множества из & нулевой Р-вероятности (ср. с п. З в § ЗЬ).

Предполагается, что X - (Xt)t^о является согласованным (адопти-рованным) процессом с о и имеет непрерывные справа траектории t Xt (ш), ш Є Г2, у которых при каждом t > О существуют пределы слева. (Во французском языке такие процессы называют cadlag от Continu А ?>roite avec des Lirnites A Gauche).

2. Обращение к семимартингалам объясняется несколькими причинами. Во-первых, этот класс весьма широк - включает в себя процессы с дискретным временем X = (Хп)п>0 (в том смысле, что они находятся во взаимно однозначном соответствии с процессами X* = (X*)t^o, где XI = -Хдо, которые, очевидно, принадлежат классу У), диффузионные процессы, диффузионные процессы со скачками, точечные процессы, процессы с независимыми приращениями (за некоторым исключением; см. [250; гл. II, §4с]) и многие другие.

Класс семимартингалов устойчив относительно многих преобразований - абсолютно непрерывной замены меры, замены времени, процедуры локализации, замены фильтраций и др.

Во-вторых, для семимартингалов существует хорошо развитый аппарат стохастического исчисления, основанный и оперирующий с такими понятиями, как марковские моменти, мартингалы, супермартингалы и субмартингалы, локальные мартингалы, опциональные и предсказуемые о-алгебры и процессы,....

В определенном смысле, успех стохастического исчисления для семимартингалов определяется тем, что по ним можно определить стохасти-ческий интеграл и для них имеет место формула Ито (§5с).

Замечание 1. В работе [139; Appendix] П.-А. Мейер, один из создателей современного стохастического исчисления, дал сжатое и увлекательно написанное изложение основных понятий и идей стохастического анализа семимартингалов и стохастических интегралов по ним.

Важным ингредиентом стохастических базисов (Г2,Р), на которых предполагаются заданными семимартингалы, является понятие потока ст-алгебр (^t)t>o- Как уже отмечалось в § 2а, гл. I, для теории финансов это понятие также играет ключевую роль, будучи тем потоком "информации" который имеется на финансовом рынке и основываясь на котором инвесторы, трейдеры принимают свои решения.

Надо, конечно, отметить, что при построении "естественных" (с точки зрения теории финансов) моделей приходится обращаться и к процессам, которые не являются семимартингалами. Типичными в этом отношении является рассмотренное выше (§ 2с) фрактальное броуновское движение ВШ = (BF)T^о с любым параметром Харста 0 < Н < 1, за исключением лишь случал Н = 1/2, соответствующего (обычному) броуновскому движению.

3. О братимся сейчас к понятию стохастического интеграла по семимар- тингалам, которое как нельзя лучше подходит для описания эволюции капитала самофинансируемых стратегий.

Пусть X = {Xt)t^0 - некоторый семимартингал на стохастическом базисе (П, (^t)t^Oj Р) и (о - класс простих функций вида

f(t,w) = Y0(u)I{0}(t) + ? ^(^..ilW- (2)

і

являющихся линейной комбинацией конечного числа элементарных функций

fi(t,w)=Yi(u;)Iir.ia.](t) (3)

с &-Ti -измеримыми случайными величинами УІ (и>); ср.

Как и в случае винеровсного процесса (броуновского движения), "естественным" определением стохастического интеграла It (/) от простых функций / вида (2) по семимартингалу X, обозначаемого (/ • X)t, Jo f (s, ui) dXs и tj/(5>dXs, является значение

W) = E - ХГід(], (4)

і

где о A b = min(o, b).

Замечание 2. С точки зрения теории финансов, стохастический интеграл

It{fi) = Уі(ш)[Ха.ЛІ - ХГіМ]

имеет совершенно прозрачную интерпретацию: если X = (Xt)t^о есть, скажем, цена акции, и в момент Г І ВЫ покупаете их в "количестве УЇ(Ш)" по цене ХГ{, то Yi(u))[XSi — XrJ есть в точности величина Вашего выигрыша (может быть, и отрицательного) от продажи этих акций в момент времени Si, когда их цена становится равной X3i.

Следует подчеркнуть, что при данном определении стохастических интегралов 1(f) = (It(f))t^o от простых функций вовсе нет никакой необ-ходимости предполагать, что X - это семимартингал, поскольку выражение (4) имеет смысл для любого процесса X = (Xt)t^о-

Однако предположение семимартингальности становится решающим, когда требуется распространить понятие интеграла (с сохранением его "естественных" свойств) с класса простых функций на более широкие классы функций / = f(t, ui).

В случае, когда процесс X = (Xt)t^o есть броуновское движение, стохастический интеграл /((/), согласно §3с, можно определить для всякой (измеримой) функции/ - (f(s,uj))s^t, лишь бы только/(s, а;) были ^-из-меримыми и

Г f2(s,u})ds <00 (Р-п.н.). (5)

J о

При этом ключевым явилось то обстоятельство, что такие функции можно аппроксимировать простыми (/„, п ^ 1), для которых соот-ветствующие интегралы (It(fn)-, п ^ 1) сходятся, по крайней мере, по вероятности. Соответствующее предельное значение обозначалось It(f) и называлось стохастическим интегралом от / по броуновскому движению (на интервале (0, і]).

В случае, когда вместо броуновского движения рассматривается про-извольный семимартингал, конструкция стохастического интеграла It (/) также основана наидее аппроксимации/простыми функциями (/„, п ^ 1), для которых интегралы It{fn) определены, с последующим предельным переходом при п —> оо.

Однако, здесь проблема аппроксимации становится более сложной, и на функции / приходится накладывать некоторые ограничения, "согласованные" со свойствами семимартингал а X.

4. Для иллюстрации сказанного приведем относящиеся сюда результаты для того случая, когда X = М, где М = (Mt, о является квадратично интегрируемым мартингалом класса Ж2 (М Є Ж2), т.е.

sup ЕМ2 < оо. (6)

t^o

Пусть (М) = ((M)t, 3-t)t~?0 ~ квадратическая характеристика мартингала М Є Ж2 (или М Є Ж2ос), являющаяся, по определению, предсказуемым (см. ниже определение 2) неубывающим процессом, таким, что процесс М2 — (М) = (М2 - (M)t,&t)t^о есть мартингал (см. §5Ьиср. с § lb, гл. II).

Известно (см., например, [303; гл. 5]), что:

А) Если процесс (М) является абсолютно непрерывным (Р-п.н.) по t, то множество § простых функций плотно в пространстве L2 измеримых функций / = /(?, ш), для которых

¦Г

Jo

(7)

f2{t,uj)d(M)t <ос.

Иначе говоря, найдется последовательность простых функций /п = (fn(t,u)))t^0,uj 1, таких, что

г оо

Е/ lf(t,u)-fn(t,cj)\\2d(M)t -К). (8)

J о

Заметим, что для стандартного броуновского движения В = (BT)T^о его квадратическая характеристика (B)t = t,t^ 0.

Если процесс (М) является непрерывным (Р-п.н.), то множество § простых функций плотно в пространстве состоящим из тех измеримых функций / = (f(t, U)))t^0, для которых выполнено (7) и для каждого (конечного) марковского момента т = т(ш) величины /(т(ш), ш) - ^-измери-мы.

В общем случае, когда на (М) не накладываются дополнительные условия гладкости траекторий, множество § простых функций плотно в пространстве L% измеримых функций / = (f(t, ш), о> для которых вьшолнено условие (7) и которые являются предсказуемыми в следующем смысле.

Пусть, сначала, X = {Хп, і ~ некоторая стохастическая последо

вательность, заданная на стохастическом базисе. В соответствии со стандартным определением (см. § lb, гл. II), предсказуемость последователь-ности X означает, что величины Хп являются _ і-измеримыми для всех п > 1.

В случае же непрерывного времени наиболее удачной формой понятия предсказуемости (на стохастическом базисе (fi, , о, Р)) оказалась

следующая.

Рассмотрим в пространстве ILj_ х fI минимальную ег-алгебру 5й, относительно которой измеримы все отображения (i,и>) Y(t, ui), порожденные 3\'T-измеримыми при каждом t > 0 (измеримыми) функциями Y = (Y(t,a;))t^o, шєп> имеющими непрерывные слева траектории (по t при каждому є f2).

Определение 1.

Определение 2. Случайный процесс X = {Xt{^))t^o, заданный на стохастическом базисе (^t)t>0i Р)> называется предсказуемым, ес

ли отображение (і,ш) *** X(t,w) (= Xt (и)) является ^-измеримым.

5. Приведенные результаты об аппроксимации функций /, позволяют по аналогии со случаем броуновского движения определить (по изометрии) стохастический интеграл

г оо

/<*>(/)=/ f(s,w)dMs (9)

Jo

для всякого М Є Ж2.

Интегралы It (/) для t > 0 тогда определяются с помощью формулы

ЛОО

/*(/)= / I(s ?t)f(s,u>)dMa. (10)

Jo

Важно подчеркнуть, что если на (М) не накладываются условия глад-кости (как в условиях А) и В)), то приведенные рассуждения показывают, что в случае М Є Ж2 стохастические интегралы 1(f) = (It(f))t>о определены для любой предсказуемой ограниченной функции /.

Следующий шаг в распространении понятия стохастических интегралов It(f), обозначаемых также (/ ¦ X)t, что подчеркивает и роль процесса X, по которому производится интегрирование, состоит в рас-смотрении предсказуемых локально ограниченных функций f и локально квадратично интегрируемых мартингалов М класса Ж2^. (Если Ж - некоторый класс процессов, то говорят, что пропесс Y = (У((ш))(^о принадлежит классу Ж\\ос, если найдется последовательность (тп)п^і марковских моментов таких, что тп t 00 и "остановленные" процессы YTn = (УглГп)г^о є при каждом п > 1; ср. с определением в § 1с, гл. II.)

Если (тп) - локализирующая последовательность (для локально ограниченной функции / и М Є ), то, согласно данной выше конструкции стохастических интегралов для ограниченных функций / и М Є Ж2, определены интегралы / ¦ МТп = ((/ ¦ MT")t)t^o- При этом, как нетрудно видеть, выполнено следующее свойство их согласованности для разных n > 1: (/ ¦ MT"+i)T" = / • Мт".

Отсюда вытекает, что существует, и притом единственный (с точнос-тью до стохастической неразличимости), пропесс, обозначаемый / • М = ((/ • M)t)t^о, для которого

(/ ¦ М)Тп = f ¦ МТп

для всех п > 1.

Так определенный процесс / -М = (/ • M)t^o принадлежит классу Ж^с (см., подробнее, [250; гл. I, §4d]) и его называют стохастическим интегралом или стохастическим процесс-интегралом от / по М.

6. Заключительный шаг в конструкции стохастических интегралов / - X

от локально ограниченных предсказуемых функций / = f(t, ш) по семимар-

тингалам X — (Xt, о основан на следующем замечании о структуре

семимартингалов.

По определению, семимартингал X есть пропесс, представимый в

виде (1), где А = (At,&t)t^o ~ процесс ограниченной вариации, т.е. /•t

/ |eL4.s(w)| < оо, t > 0, ш Є Я,иМ = (Mt,&t) - локальный мартингал.

j о

Важный результат общей теории мартингалов состоит в том, что всякий локальный мартингал М допускает (вообще говоря, не единственное) разложение

Mt=M0+ M\'t +M\'t\