§ 5b. Разложение Дуба—Мейера. Компенсаторы. Квалратическая вариация

Нп = Н0 + Ап + Мп (1)

где Л = (Ап, -предсказуемаяпоследовательность, аМ = (М„,

- мартингал (см.

Точно так же и в случае непрерывного времени соответствующую роль (для супермартингалов) играет разложение Дуба-Мейера, которое вместе с понятием стохастического интеграла лежит в основе стохастического исчисления для семимартингалов.

Пусть Н = {Ht,$t)t>o является субмартингалом, т.е. стохастичес-ким процессом с ^-измеримыми и интегрируемыми Ht, t ^ 0, имеющими cadlag траектории (непрерывные справа и с левосторонними пределами), и выполнено субмартингалъное свойство:

E(Ht\\&s)>Hs (Р-п.н.), (2)

Будем говорить, что произвольный случайный процесс У = (Yt)t^o принадлежит классу Дирихле (D), если

sup Е{|УТ|/(|УТ| ^ с)} ->¦ 0, с У со, (3)

т

где sup берется по всем конечным марковским моментам. Иначе говоря, семейство случайных величин

{ Yr: т - конечные марковские моменты }

является равномерно интегрируемым.

Теорема 1 (разложение Дуба-Мейера). Всякий субмартингал Н класса (D) допускает (и притом единственное) разложение

Ht=H0+At+Mt, (4)

где А — [At,&t) является предсказуемым возрастающим процессом с ЕAt < оо, t > 0, Ло — 0, а М = (Mt,&t) есть равномерно интегрируемый мартингал.

Из соотношения (4) видно, что всякий субмартингал класса (D) является семимартингал ом, к тому же с тем свойством, что процесс А, принадлежащий классу "V (см. п. 6 в §5а), оказывается предсказуемым.

Это обстоятельство послужило основанием к выделению в классе се- мимартингалов X — (Xt,&t)t^o подкласса специальных семимартинга- лов, для которых существует представление (4) с предсказуемым процессом Л = (At,9t).

В случае дискретного времени разложение Дуба обладало свойством единственности (см.

Полезно также заметить, что, на самом деле, всякий специальный семимартингал есть разность двух локальных субмартингалов (или, равносильно, локальных супермартингалов).

Замечание 1. Разложение Дуба-Мейера относится к числу трудных результатов "теории мартингалов" Не приводя здесь доказательства (см., например, [103], [248], [303]), остановимся на том, как можно было бы его получить, отправляясь от разложения Дуба для дискретного времени.

Пусть X = (Xu9t)t>0-субмартингал и Х<л> = (Х4(Л), -его

дискретная Д-аппроксимация с

4А) = -Х"[«/Д]Д. = ^4/Д]Д-

Согласно разложению Дуба для дискретного времени,

где

[t/Д]

л(*> _ ЛД) _ V Ffr(&) - XI \\

Л[г/А\\А - 2-4 СИ-ІД (і—1)Д І (і—1)Д/

І=1

1 r[t/A]A

д Е(Х[з/д]д+д - X[S/A]A І ^/д]д) ds.

Поэтому естественно ожидать, что участвующий в разложении Дуба- Мейера неубывающий предсказуемый процесс А = (At, о можно искать в виде ^

At = lim -J- [ E(Xa+A - Xs 19,) ds, Д40 Д J0

и, если такой процесс определен, то все, что остается сделать, так это до-казать, что скомпенсированный процесс X — А — (Xt — At,&t)t^o есть равномерно интегрируемый мартингал.

Из сказанного становится понятным, почему в разложении Дуба-Мейера процесс А = (At, 9t)t^о называют компенсатором субмартингала X.

Из разложения Дуба-Мейера вытекает несколько полезных следствий (см. [250; гл. I, §ЗЬ]), из которых отметим следующие.

Следствие 1. Каждый предсказуемый локальный мартингал X = (Xt,^t)t^o с Xq - 0, имеющий ограниченную вариацию, стохастически неотличим от нуля.

Следствие 2. Пусть А = {At,&t)t^o принадлежит классу Мое, т. е. является локально интегрируемым процессом. Тогда существует, и притом единственный (с точностью до стохастической неразличимости), предсказуемый процесс А = (At,&t)t^сь называемый компенсатором процесса А, такой, что А — А является локальным мартингалом.

Обратимся к понятиям квадратической вариации и квадратической ковариации для семимартингалов, которые играют важную роль в стохас-тическом анализе. (Эти характеристики семимартингалов явно участву-ют, например, в приводимой ниже (§ 5с) формуле Ито.)

В случае дискретного времени квадратическая вариация мартингалов была введена в § lb, гл. II.

На случай непрерывного времени это определение обобщается следую-щим образом.

Определение 1. Квадратической ковариацией двух семимартингалов X и У называется процесс [X, У] = ([X, Y\\t, 3-t)t^>o, где

[X, Y]t =XtYt- Г X,- dYa - f* dXs_ - ХоУо. (5) Jo Jo

(Заметим, что участвующие в (5) стохастические интегралы определены, поскольку непрерывные слева процессы {Xt-) и (Yt_) являются локально ограниченными.)

Определение 2. Квадратической вариацией семимартингала X на-зывается процесс [Х,Х] = ([X,X]t,&t)t^о с

[X, X]t = Xf - 2 Г X,- dXs - Xl. (6)

Jo

Для [X, X] используется также обозначение [X]; ср. с (10) в § lb, гл. II.

Заметим, что из определений (5) и (6) непосредственно вытекает "поля-ризационное" соотношение:

[X, У] = і ([X + У, X + У] - [X - У, X - У]). (7)

Следующие рассуждения оправдывают данные наименования квадра- тической ковариации и квадратической вариации для [X, У] и [X, X].

Пусть , п ^ 1, являются римановскими последовательностями (см. п. 8 в § 5а) и

sln\\x,Y) = У1(Хт(,)(т+1)Л< - XT(,)fm)Af)(yT(,)(m+1)At -yT(,)(mUt).

тп

(8)

Тогда для каждого t > О

зир|5Іп)(Х,У)-[Х,У]„| Л 0, со, (9)

u^t

и, в частности,

sup|s?n)(X,X)-[X,X]„| Л 0, ті —у оо. (10)

u^t

Для доказательства (10) достаточно заметить, что (см. (6))

S<>>(X,X) = Xl - X* - 2Т<П>(Х_ • Х)„ (11)

и что, согласно свойству (19) из §5а,

Т<П>(Х_ -Х)„ (Х_ -Х)„ = Г Xs-dXs.

Jo

Утверждение (9) следует из (10) и "поляризационного" соотношения (7).

4. Из (10) видно, что процесс [X, X] является неубывающим.

Последний факт вместе с формулой (5) доказывает следующий результат: произведение двух семимартингалов также является семимар- тингалом.

Формулу (5), переписанную в форме

XtYt = Х0У0 + Г Х3_ dYa + Г Ув_ dXa + [X, Y]t (12)

Jo Jo

с процессом [X, У], определеннымв (7), можно рассматривать как формулу интегрирования по частям для семимартингалов, которая принимает наглядный вид, если ее записывать в дифференциальной форме:

d(XY) = Х_ dY + У_ dX + d[X, У]. (13)

Понятно, что эту формулу можно рассматривать как семимартингаль- ное обобщение классического соотношения

Д (ХПУ„) = Х„_! Д У„ + Уп_1 ДХ„ + ДХ„ Д Уп (14)

для последовательностей X = (Хп) и У = (Уп).

Сводку свойств квадратической ковариации и квадратической вариации при различных предположениях относительно Хи У можно найти, например, в книге [250; гл. I, §4е].

Отметим лишь некоторые из них, предполагая, что У Є У:

если один из семимартингалов X или У является непрерывным, то

[X,Y] = 0;

если X - семимартингал и У является предсказуемым процессом ограниченной вариации, то

[Х,У] = ДУ-Х и XY = Y-Х + Х_-У;

если У - предсказуемый процесс и X - локальный мартингал, то [X, У] является локальным мартингалом;

Д[Х,У] = ДХДУ.

5. Помимо введенных процессов [X, У] и [X, X], часто образно называемых "квадратными скобками" важную роль в стохастическом анализе играют вводимые ниже процессы (X, У) и (Х,Х), называемые "угловыми скобками"

Пусть М = о является квадратично интегрируемым мартин

галом класса Ж2. Тогда, в силу неравенства Дуба (см., например, [303]; для случая броуновского движения см. также (36) в § ЗЬ),

Е sup М2 < 4 sup ЕМ2 < оо. (15)

t t

Отсюда вытекает, что процесс М2, являющийся субмартингалом (согласно неравенству Иенсена), принадлежит классу (D). Тогда из разложения Дуба-Мейера следует, что существует неубывающий предсказуемый интегрируемый пропесс, обозначаемый (М, М) или (М), такой, что разность М2 — (М, М) является равномерно интегрируемым мартингалом.

В том случае, когда М є Ж2ос, соответствующей локализацией убеждаемся в том, что также существует неубывающий предсказуемый процесс, снова обозначаемый (М,М) или (М), такой, что М2 — {М) является ло-кально квадратично интегрируемым мартингалом.

Если имеются два мартингала М и N из класса то их взаимная "угловая скобка" (М, N) определяется формулой

(М, N) = І ((М + N, М + N) - (М - N, М - N)).

Непосредственно видно, что (М, N) является предсказуемым процессом ограниченной вариации, причем MN — (М, N) есть локальный мартингал.

Из формулы (5) следует, что MN — [М, iV] также является локальным мартингалом. Следовательно, если мартингалы М и N принадлежат классу то [М, N] — (М, N) - локальный мартингал.

В соответствии со следствием 2 в п. 2 предсказуемый процесс (М, N) называют компенсатором процесса [М, iV]. При этом часто используется следующее обозначение:

(M,N) = [M~,N}. (17)

Замечание 2. В случае дискретного времени для квадратично интегрируемых мартингалов М = (Мп, и N = (Nn, 3-п) соответствующие последовательности [М, iV] и (М, N) определяются формулами

п

[M,iV]n = ?AMfeAiVfe (18)

fc=i

и

п

(М, N)n = ? ANk 1(19)

fe=i

где AMfe = Mfe - Mk-i, ANk =Nk- Nk-!. (Ср. с §1Ъ, гл. II.)

Формула (19) подсказывает, хотя и формальную, но, тем не менее, на-глядную запись для квадратической ковариации в случае непрерывного времени:

(М, N)t = [ B(dMa dNa \\9a). (20)

Jo

(Ср. с формулой для At в замечании 1 в конце п. 1.)

6. О становимся на вопросе определения "угловых скобок" для семимартингалов и их связи с "квадратными скобками"

Пусть X = (Xt о~ семимартингал с разложением X = Хо+М+А,

где М - локальный мартингал (М Є -Ж\\ос) и А - процесс ограниченной вариации (А ? У).

Наряду с уже использованным выше представлением локального мар-тингала М в виде М = Мо + М\' + М" с М" Є УП^юс, М\' Є Ж?сПЛ(іос (см. (11) в § 5а), каждый локальный мартингал М может быть представлен (и притом единственным образом) в виде

М = М0 + МС +Md, (21)

где Мс = (Mtc, о есть непрерывный локальный мартингал и Md = (Mf, о _ чисто разрывный локальный мартингал. (Локальный мартингал X называется чисто разрывным, если Хо = 0 и он ортогонален всем непрерывным мартингалам У, т. е. XY является локальным мартингалом; см., подробнее, [250; гл. I, §4Ь].)

Поэтому всякий семимартингал X может быть представлен в виде

X = Х0 + М°+ Md +А.

Весьма замечательно, что непрерывная мартингальная составляющая Мс для семимартингала X определяется однозначным образом (это - следствие разложения Дуба-Мейера; подробнее см.

Доказывается ([250; гл. 1,4.52]), что если X - семимартингал, то

[X, X]t = (Xе, X°)t + ]Г(ДХз)2 (22)

и если X и Y - семимартингалы, то (с (X, Y)t = (Xе, Yc)f)

[X, У], = (X, Y)t + J2 &Xa ДY.. (23)

Замечание 3. Для локальных мартингалов М при каждом t > 0

^(ДMs)2 < оо (Р-п.н.) (24)

и процесс

[М,М] Є Мое- (25)

(см., например, [250; гл. I, §4].

Поскольку для процессов А ограниченной вариации ? (ДА,,)2 < оо

(Р-п. н.), t > 0, то для всякого семимартингала X = Хо + М + А

]Г(ДЛ>)2 < оо (Р-п.н.), t > 0. (26)

Поэтому, с учетом (24),

^(ДХ3)2<оо (Р-п.н.), t> 0.

s^t

Следовательно, правые части в (22) и (23) определены и конечны (Р-п.н.).