§ 5с. Формула Ито для семимартингалов. Некоторые обобщения

X = (X\\...,Xd)

является d-мерным семимартингалом и F = F(xi,... ,Xd) - функция класса С2 на Rd.

Тогда процесс F(X) также является семимартингалом и

F(Xt) = F(Xо) + • Xі + і ? (DijFiX_)) • (Х*>С,Х^)

+ ]Г - F{XS-) - 5Z DiF{X.-) ДХ*], (1)

, „ ,, dF n „ d2F где DiF = —, DijF

dxt\' 13 dxidxj

Доказательство приводится во многих руководствах по стохастическому исчислению (см., например, [103], [248], [250]).

2.

Пример 1 (уравнениеи стохастическая экспонента Долеан). Пусть X = (Xt, ~ заданный семимартингал. Рассматривается вопрос об

отыскании в классе cadlag-nponeccoB (с непрерывными справа и имеющими пределы слева траекториями) решения Y = (Yt, )«>сь уравнения Долеан

Yt

= 1+ [*Ya-dXa, \' (2)

J о

или, в дифференциальной форме, уравнения

dY = Y_dX, Y0 = І- (3)

По формуле Ито, примененной к процессам

Xt — Xt — Хо — -{Xc,Xc)t,

X2t= П (1 + ДХ,)е-д^, Xq = 1, (4)

О и функции F(x 1,2:2) = в*1 \' x2i проверяется, что процесс §(X)t=F(X},X2), ОО,

т.е. процесс

8{X) = {8(X)t,9t)t>0 (5)

с

g(X)t = ext-x0-\\(x°,x°)t д (і + Дх3)е-ЛХ% (6)

0является

семимартингал ом;

удовлетворяет стохастическому уравнению Долеан (2);

более того, в классе процессов с cadlag-траекториями процесс §(X), назы-ваемый стохастической экспонентой (Долеан), является единственным (с точностью до стохастической неразличимости) решением уравнения (2). (Доказательство и обобщение на случай комплексно-значных семимартингалов см. в [250; гл. I, §4f].)

Пример 2 (теорема Леви; §3b). Пусть X = (Xt, является

непрерывным локальным мартингалом с (X)t = t. Тогда X - броуновское движение.

Для доказательства рассмотрим функцию F(x) = е,Ах и воспользуемся формулой Ито (применяемой отдельно для действительной и мнимой частей) .

еІА*< = 1 + ixf* eiXX" dXa - % Ґ eiA*\' ds. (7)

Jo 2 J0

Интеграл /q el^xs dxs является локальным мартингалом. Положим т„ = inf{i: |Xt| > n} и пусть E( •; А) обозначает усреднение по множеству А. Тогда если А Є 3"о, то из (7) находим, что

\\2 / rtATn \\

Е(єіах<Лт»;А) =1-уЕН eiXX\'ds-,A\\. (8)

Отсюда при п -у оо для /д (i) — E(elAJSCt; Л), t > 0, получаем соотношение 2

fA{t) = l~Yf fA(s)ds, <>0, (9)

причем ясно, что |/д(<)| < 1и/д(0) = Р(А).

Единственное решение уравнения (9), подчиняющееся сформулированным условиям, есть

/(А) = е~?*Р(А). (10)

Тем самым,

Аналогично показывается, что для любых s < t

). (11)

Следовательно, процесс X = (Xt, имеет независимые гауссов-

ские приращения, Е(Xt — X,,) — 0, Е(Х* — Xs)2 = t — s. Вместе с предположенной непрерывностью траекторий отсюда следует, что X (по опреде-лению; см. § lb) является броуновским движением.

3. Формула Ито, являющаяся важным инструментом стохастического анализа, обобщается в разных направлениях: на несемимартингалы (см., например, [299]), на случай негладких функций F = F(X\\,..., Хд) и т. д.

Приведем здесь, следуя [166], один результат в этом направлении для случая d = 1, когда X - стандартное броуновское движение В = (Bt)t^o- Пусть функция F = F(x) является абсолютно непрерывной:

F(x)=F(0)+ Г f(y)dy; (12)

J о

при этом будем предполагать, что (измеримая) функция / = / (у) принадлежит классу L2oc(M1), т. е.

[ f2(x)dx< оо (13)

ДЛЯ всякого К > 0.

Заметим, что и процесс f (В) = (f(Bt))t^o, и процесс F = (F(Bt))t^o не являются, вообще говоря, семимартингалами, и поэтому формула Ито в форме (1) не применима.

В [166] показывается, однако, что имеет место следующая формула:

F(Bt) = F(0) + J* f(Bs) dBs + \\[f(B),B]t, (14)

где [f(B), В] - квадратическая ковариация процессов f(B) и В, определяемая следующим образом:

[f(B),B}t = Р-Дт ^(/(Bt(„)(m+1)At) -f{BtM(m)M))

т

Х (BtM(m+l)At -Bt(»)(m)At)\' (15)

где Т(п} = (тп), тп ^ 1}, n ^ 1, - римановские последовательности (детерминированных) моментов t(n\\m), удовлетворяющих свойствам, приведенным в п.

Важно подчеркнуть, что поскольку процесс f(B) не является, вообще говоря, семимартингалом, то нетривиален факт существования в (15) предела (по вероятности Р). Один из результатов работы [166] состоит именно в доказательстве существования этого предела.

Следствие 1. Пусть функция F(x) Є С2. Тогда

[f(B),B]t = Г г (В a)ds Jo

и формула (14) переходит в формулу Ито.

Следствие 2. Пусть функция F(x) = |ж|. Тогда [f(B), B]t = 2Lt(0), где

Lt(0) = lim І- /" I(\\BS (16)

є4-0 2.Є Jo

- локальное время, которое броуновское движение проводит в нуле на интервале [0, t]. Тем самым, из (14) получаем формулу Танака:

\\Bt\\= FsgnB.dBs+LtiO) (17)

Jo

(ср. с примером в § lb, гл. II и § Зе).

Заметим, что процесс |i?| = (\\Bt\\,^t)t^o является субмартингалом, стохастический интеграл есть мартингал и ?(0) = (?t(0), 9-t) является непрерывным (а, значит, и предсказуемым) неубывающим процессом.

Следовательно, формулу (17) можно рассматривать как явную форму разложения Дуба-Мейера субмартингала \\В\\.