§ lb. Основная формула для цены хеджирования. I. Полные рынки

Определение. Ценой совершенного хеджирования Европейского типа (.^-измеримого платежного поручения /jy) называется величина (ср. с § lb, гл. V)

С(/дг;Р) =inf{x:37rcXJ = ж и^ = fN (Р-п.н.)}. (1)

Поскольку, по предположению, рассматриваемый рынок является безарбитражным и полным, то

существует мартингальная мера Р, эквивалентная мере Р и такая,

(SA

что последовательность I —— I является мартингалом ( тіер-

\\ п/n^N вая фундаментальная теорема")

и

эта мера является единственной, и всякое платежное поручение /JV воспроизводимо, т.е. найдется ("совершенный") хедж ж, такой, что XJf = /jv ("вторая фундаментальная теорема").

Отсюда следует, что если ж является совершенным (х, /дг)-хеджем, т. е. Х5 = хкХ% = /jv (Р-п.н.), то (см. (18) в § 1а, гл. V)

(2)

Вы BN BQ \\BkJ

и, значит,

g/iv = Bn ВО \'

то есть,

х = В0 (3)

Заметим, что правая часть в (3) не зависит от структуры рассматриваемого (х, /дг)-хеджа 7г. Иначе говоря, если ж\' - другой хедж, то начальные пеных их\' совпадают.

Следовательно, имеет место

(4)

c(/jv; р) = во

Bn

Теорема 1 ("основная формула для цены совершенного хеджирования Европейского типа на полных рынках"). На безарбитражных полных рынках цена C(/JV; Р) совершенного хеджирования определяется формулой

2.

Стандартный прием отыскания такого портфеля состоит здесь в следующем (ср. с §4а, гл. V).

Образуем мартингал М = (М„,^П,Р)П<^ с Мп = Е (-j^-

Поскольку рассматриваемый рынок является полным, то, в силу второй фундаментальной теоремы (или в силу леммы из § 4Ь, гл. V), для М имеет

место "--представление" В

с .3k -1 -измеримыми 7fc.

7 S

Положим 7г* — (/3*,7*) с 7* = 7из (5) и/3* = Мп Нетрудно

Вп

проверить, что этот портфель является самофинансируемым (см., впрочем, доказательство леммы в §4Ь, гл. V). Далее, по построению,

уп*

и

Следовательно, при всех 0 ^ п ^ N

(7)

мп

и, в частности,

xjr = in (р- и Р-п.н.).

g

Итак, построенный с помощью "--представления\'\' портфель тг* является

В

совершенным хеджем (для /jv).

Резюмируем полученные результаты в виде следующего предложения.

Теорема 2 ("основные формулы для совершенного хеджа и его капитала"). На безарбитражных полных рынках существует самофинансируемый совершенный хедж ж* = (/3*,7*) с начальным капиталом

xf = C(fN-,P) (=B0E^j,

осуществляющий совершенное воспроизведение //у:

XN=/N (Р-П.Н.). Динамика капитала Х^ определяется формулами

компоненты 7* = (7*) - из "--представления"

В

1 < п < N,

а компоненты /3* = (/3*) - из условия

XI\' =0*nBn+riSn.

3. Рассмотрим вопрос о цене хеджирования в несколько более общей схеме, предполагая, что задана не одна платежная функция /jy, а пелая последовательность платежных функций /о, Д,..., //у , где /і являются ^-измеримыми для 0 < і < N.

Пусть т = т(w) - некоторый фиксированный марковский момент со зна-чениями в {0,1,..., N} и /т - терминальная (конечная) платежная функция, построенная по г и /о, /і, • • ¦, IN-

Теорема 3. Если безарбитражный (В,3)-рынок является N-пол-ным, то он будет и т-полным, т.

Доказательство этого утверждения просто: образуем новое платеж-ное поручение /дг = /tAJV; совершенный хедж 7Г* для платежной функции /дг будет совершенным хеджем и для исходной платежной функции /т. При этом соответствующая пена хеджирования

С(/т; Р) = min{x: 37гс Х? =хиХ? =fT (Р-п.н.)}

определяется формулой

С(/Т;Р)=В0Ё^. (8)

4. В связи с "основной формулой" (4) возникает такой вопрос. Пусть рассматривается полный безарбитражный (В, S)-рынок и мера

Р является мартингальной мерой для нормированных цен —. Полезно сейчас это свойство переформулировать следующим эквивалентным образом:

(В S1 Sd\\ / S1 Sd\\

векторный процесс —, ..., -==- , т. е. процесс І 1, -з=-,..., -яг- 1,

\\В В В J \\ В В J

является Р-мартингалом.

Теперь предположим, что нашлись другой (положительный) дисконтирующий процесс В = (Вп)п<^ jv и мера Р, эквивалентная исходной мере Р, такие, что нормированный процесс

(В ?Р\\

\\В\' в\'\'"\'в)

является Р-мартингалом.

Естественно, конечно, ожидать, что значение цены С(/#; Р), определенной в (1), не зависит от выбора соответствующих цар (В, Р) и (В, Р).

Именно с этим связан интересующий нас сейчас вопрос о том: почему действительно имеет место равенство

В0Ё^=В0Ё^- (9)

BN в N

и даже более общий факт - совпадение "процессов-цен"

№NL„ ¦ ИШЬ »°>

С этой целью предположим, что Е =Д- = 1 (это не ограничивает общ-

Bn ^

пости рассмотрений). Тогда можно ввести новую меру Р (на .^дг), полагая

dP = ZN dP,

где = Z„f=-, Z„ = Р„ = (Р 19П) и Р„ = (Р n ^ N. Bn dPn

Мера Р является вероятностной, и по "формуле Байеса" (лемма в § За, гл. V)

\\BN J Zn \\BN I J

zn &L \\BN BN I J

Sn ~

ZJV

zn§* \\bn J BN

поскольку EI =—

является мартингалом

с

не только по мере Р, но и по мере Р. \\ВПУ „^N

7 dPn

2п~Ж

Но если рассматриваемый рынок является полным, то мартингальная мера должна быть единственной и, значит, Р = Р, т.е.

n^N, (11)

З,

/ЛГ

Bn

Тем самым, формулы (9) и (10) доказаны, и, следовательно, значение пены C(/jv; Р) на полных рынках действительно не зависит от выбора дис-контирующих процессов (В, В,...). В § lb, гл. VII, процедура дисконтирования будет рассмотрена (и более подробно) для случая непрерывного времени. Сейчас же только отметим, что во многих случаях правильный выбор дисконтирующего процесса может значительным образом редуцировать аналитические трудности при отыскании иен C(/jv ; Р) и соответствующих совершенных хеджей. См., например, по этому поводу расчеты, относящиеся к "Русскому опциону" в § 5(1 и § 2с, гл. VIII.

из которых вытекает, что

Итак, на полных безарбитражных рынках вопрос о значении цены совершенного хеджирования полностью решается формулой (4), если в качестве дисконтирующего процесса выбран процесс В. При этом, если Р

( S \\

есть соответствующая мартингальная мера ^т. е. — - мартингал J, то переход к новому дисконтирующему процессу В меняет и мартингальную меру: ею станет мера Р, которая, в соответствии с (11), определяется формулой

= dP. (12)

bn

В случае же неполных рынков, когда существует несколько мартингальных мер, вопрос о том, что называть пеной хеджирования, уже не является столь же простым, поскольку для двух разных мартингальных мер Pi и Рг, а, следовательно, и разных состояний безарбитражности, выражения

BQ Epi —— и BQ Ер2 ~—, вообще говоря, не совпадают (см. далее § 1с).

fN Б с fN —— и В о Е=

BN P*BN

В качестве иллюстрации проведенных выше рассмотрений, связан-ных с разными дисконтирующими процессами и пересчетами условных ма-тематических ожиданий относительно разных мер, рассмотрим следующий пример.

Пусть fN - цена платежного поручения в долларах (USD). Если рассматривается полный безарбитражный (долларовый) рынок, то соответствующая пена совершенного хеджа будет равна BQ Е——, где В = (?„)„<; jv - долларовый банковский счет. ^N

Рассмотрим теперь рынок, на котором пены определяются в немецких марках (DEM).

- величина обменного курса в момент времени N.

Если В = {BN)NR ^SNfN

0 ^Г\'

что, в пересчете в доллары, составит

1-ій CZSNfN

Sq BQ Е-

Bn

Выясним, при каких условиях должно выполняться естественно ожидаемое совпадение долларовой пены с ценой Во или, в более общем

Bn

виде, равенство

(13)

(гЧ*)=Г\'

K&N J Bn

Обменный курс S — (Sn)n^.N, где Sn — ^ ygp ^ , рассматриваемый на DEM-рынке, предполагаемом безарбитражным, должен быть таким,

что

является Р-мартингалом. Поэтому ЕІ jgjv _ \\BN

dPn

и если выполнено Zn = ~ , то, по "формуле Байеса" dPn

(14)

(Р-п.н.).

Отсюда следует, что

(15)

является

VB„ ; \\BN BN J

Bn BN

Если и USD-рынок является безарбитражным, то (-А- ] Р-мартингалом, и, значит, \\Вп/

n / nS, В,

(16)

>» \\Bjv У

Из (15) и (16) и предположения полноты USD-рынка, а значит, и единственности меры Р, следует, что

(17)

(18)

BN dP = Влг dP

(ср. с (12)) и что для всех п^ N

Вп dP,

= 1.

Так как Z = (Zn,3n, P)n_ dPn

влечет за собой то, что пропесс { ] также должен быть Р-мар-

тингалом. Это свойство мартингальности, гарантирующее совпадение цен платежного поручения /м (в долларах) на USD- и DEM-рынках, можно было бы предвидеть и без проведенных вычислений, если В = {Bn)n^N понимать как одну из основных пенных бумаг на долларовом рынке с банковским счетом В = (Вп)п^N-