§2Ь. Полные и неполные рынки. I.Супермартингальная характеризапия цен хеджирования

Как было отмечено, доказательство этой формулы основывается на следующих двух фактах: супермартпингалъном свойстве последовательности У = (У„)„^лг относительно любой меры из семейства 5а(Р) и на возможности получения опционального разложения для У = (Уп)п^дг.

В настоящем параграфе рассматривается вопрос о супермартингальном свойстве не только последовательности У = (Уп)п^лг, определенной формулами (12) в § 1с, но и для более общей последовательности, задаваемой приводимой ниже формулой (1), что позволяет исследовать вопросы, свя-занные с хеджированием Американского типа (см.

Вопрос о справедливости опционального разложения для У = (Уп)п^лг рассматривается в § 2d.

Пусть (ft, 3-, , Р) _ исходное вероятностное пространство, (В, S) - рынок, состоящий из банковского счета В = (В n)n^iV, КОТОРЫЙ считаем таким, что Вп = 1, и «(-мерной акции S = (S1,...,Sd), Sг = (S\'Jn^N. Будем полагать 3-q = {0,ft}, =

Пусть 5®(Р) - непустое множество мартингальных мер, эквивалентных мере Р, и / = (/о, /і, - - -, IN) " последовательность ^„-измеримых не-отрицательных функций /„, п ^ ЛГ, таких, что Ер Д < оо, Р Є ?^(Р), О < к < N.

Определим

У„=_ esssup Ep(fT\\9n). (1)

Теорема. Относительно каждой меры из последователь

ность У = (Уп)п<„ является супермартингалом.

Доказательство в идейном отношении таково же, как и доказательство, проведенное в предшествующем параграфе, того, что последовательность 7 ¦ (7является супермартингалом.

Реализация же этого доказательства проходит следующим образом. Выберем в множестве некоторую ("базисную") меру. Чтобы не вводить новых обозначений, предположим, что ею является (мартингаль- ная, следовательно) мера Р, и будем проверять свойство супермартингаль- ности У относительно меры Р.

= * = тдерп = р\\9п, рп = р\\9п.

аР аР„

При п = 0 считаем Zq = 1. Определим

= (2) Zn-l

Поскольку Р ~ Р, то при любом п ^ N

Р(Zn-i > 0) = P(Z„_! > 0) = 1.

n

Если положить тп = рп — 1, Мп = ^ тк,Мо = 0, то получим, что

fc=1

AZn = Z„_i ДМ„. (3)

Из (3) можно заключить, что

п п

Zn = g(M)n = Д (1 + Д Мк) = Црк, (4)

к-1 А:=1

где і§(М) есть стохастическая экспонента (см. § 1а, гл. II).

Из всего сказанного следует, что взяв в качестве "базисной" меру Р, мы можем меру P и ее ограничения Р„, п ^ N, полностью характеризовать любой из последовательностей (Zn), (Мп) и {рп)-

По "формуле Байеса" ((4), § За, гл. V) для всякого момента остановки т (относительно (Зп)) и п ^.N

Ep(/r|^») = ^-Ep(/TZT|^„)

Zn

= Ep(Pn+l •••Рт/г l^n) = Ep(Pl • • • P„ ¦ P„+l ¦ ¦ ¦ Prfr I = EP(fTZr\\3n), (5)

где Pi = • ¦ • = Pn = 1, pk =pk,k>n,viZk = p1---pk. _

Интересно отметить, что если определить меру P соотношением dP = ZN dP, то найдем, что

V ; І Р(Л), А Є Зк, к > п.

Ясно, что мера P ~ Р.

С учетом введенных обозначений определение (1) может быть переписано в виде

Yn = ess sup ЕР (fTZT I Зп),

где ess sup берется по классу моментов остановки т таких, что

п ^ т ^ N, и по Р-мартингалам Z є 2fгде ~ класс тех положительных мартингалов Z = {Zk)k^.N, У которых Zо — ¦ ¦ • = Zn — 1, или, равносильно, ZQ — р^ — ¦ ¦ ¦ = р„ = 1.

Множества ЗГ^ с к < N удовлетворяют, очевидно, соотношениям

Ш» СЯЯ^, С

играющим существенную роль при установлении свойства супермартин- гальности последовательности У - (Yn,3n)n^.N-

Из определения ess sup по множествам , вытекает (см., например, [75; гл. 1]), что найдется такая последовательность моментов rW и мартингалов Z из этих множеств, что

esssup Е(fTZT I Зк) = limtE(/T(,)^) | Зк), (7)

где limt означает предел возрастающей последовательности.

Тогда, по теореме о монотонной сходимости,

Ер(Yk | - Ер ( esssup E(fTZT \\ &k) |

= EP(limtEP{fT(i)Z% \\&k) I І

^ esssup Ep(fTZT 19k-i) те

< esssup Ep(/rZT \\ 9k-\\) — Vfc-i, тет^ге^

что и устанавливает супермартингальное свойство (Ер (Yk | 9к-1) ^ Yk _ і). Теорема доказана.

Замечание. Результат теоремы 1 может быть распространен и на тот случай "управлений с остановкой" когда вместо /г рассматриваются функ-

т

ционалывида АК ?\\дк + /т, гдер = [до,9і, ¦ ¦ ¦ ,9N) ~ некоторая шслё- fc=i

довательность -измеримых функции дп,

а А — (ai,..., ajv) - "управление" принадлежащее достаточно "богатому" классу предсказуемых последовательностей. (В этой связи см. п. 2 в § 1а.)