§ 2а. Задачи об оптимальной остановке.Супермартингальная характеризация
Частным случаем таких задач является задача об оптимальной остановке некоторой стохастической последовательности / = (FN)N Интересующая нас задача состоит: 1) в отыскании функций (цен) VnN= sup Е/т, (1) где sup берется по классу всех моментов остановки г таких, что п ^ г ^ N, и 2) в отыскании оптимального момента остановки (таковой в данной ситуации существует). Рассматриваемая сейчас задача об оптимальной остановке сформулирована не в общем случае (см. далее п. 4), в котором допускается N — оо (тогда - это класс всех конечных моментов остановки г Js п), а лишь для случая конечного "горизонта" N. Основная причина состоит в том, что этот случай разбирается сравнительно элементарно и, в то же самое время, в этом случае "работает" метод индукции назад, являющийся одним из основных приемов отыскания и цен , и соответствующих опти-мальных моментов остановки. 3. Введем последовательность = (-fn)o^n^N следующим искусственным образом: 7n= in, . . 7^ = max(/n,E(7?+1|*,)). ^ ) Положим также для 0 ^ п ^ N т? = min{п -Гf }• Следующий результат является одним из центральных в теории задач об оптимальной остановке на конечном временном интервале 0 ^ n < iV; ср. [75; гл. 3], [441; гл. 2]. Теорема 1. Последовательность jN = (j^определенная рекуррентными соотношениями (2), и моменты , 0 ^ п ^ N, обладают следующими свойствами: т^бЯН?; E(/TN І &п) = 7^\