§ 1е. Форвардные и фьючерсные контракты

В соответствии с определениями, данными в § 1с, гл.

Между форвардами и фьючерсами есть существенная разница, хотя и тот, и другой являются сделками о купле-продаже.

Форварды представляют, в сущности, просто некоторую договоренность о купле-продаже между двумя заинтересованными сторонами, без каких- либо посредников.

Фьючерсы также являются сделкой о купле-продаже, но они заключаются на бирже при посредничестве клиринговой палаты, которая производит взаиморасчеты между договаривающимися сторонами и является гарантом выполнения сторонами условий сделки.

Предположим, что рыночная цена актива, о купле-продаже которого идет речь, описывается стохастической последовательностью S = (Sk)k^Ni где N - момент закрытия контракта, который отождествляется с моментом поставки.

Понятно, что если сделка совершается в момент времени ЛГ, когда ры-ночная цена актива есть 5дг, то при любом разумном определении "форвардных" и "фьючерсных" цен их значение должно быть равно 5дг • Иное дело, конечно, если контракт заключается в момент времени п < N, и кардинальный вопрос здесь состоит в том, что (на безарбитражном рынке) по-нимать под справедливой договорной ценой.

С целью формализации будем считать, что рассматривается описанная в § 1а, гл. V, схема (В, 5)-рынка, где В = (Вп) - банковский счет и S = (5„) -интересующий договаривающиеся стороны актив. (Если считать, что рассматриваемый актив является одной из компонент (і-мерного вектора рисковых активов, то в предположениях безарбитражности это ничего не изменит в поел еду ющих выводах.)

Обратимся теперь к описанному в п.

Х-п — РпВп + 7„ Д?>„, (1)

а его изменение - формулой

Д^=/3„ДВп+7„А?>„, (2)

где 7П - "число" единиц покупаемого актива S,n D = (Dn, ~ про

цесс суммарных дивидендов (со знаком), Do = 0, связанных с активом S.

Опишем структуру дивидендов в рассматриваемых случаях форвардных и фьючерсных контрактов и получим "справедливые" цены для них.

3. Пусть форвардный контракт заключается в момент времени п, и обе договаривающиеся стороны согласились, основываясь на "информации" в том, что цена поставки (иначе, форвардная цена) равна F„ (N). Тогда, по самому механизму действия форвардного контракта, процесс суммарных дивидендов (со знаком) имеет следующую структуру:

Dk= 0, п^к< N, (3)

и

Dn = SN-?n{N). (4)

Из (1) и (2) следует (см. также (24) в § 1а, гл. V), что

откуда

XJL - К ± ST AD

ІГ-ІГ+ 22 nЯсно, что для форвардного контракта, заключаемого в момент n,7fe = О, к ^ п, и 7fc = 7„+i для всех к ^ п + 1, где можно трактовать как "число" единиц покупаемого актива S. Из (6)

BN (7)

и сразу можно сделать следующий вывод.

Пусть рассматриваемый (В, 5)-рынок является безарбитражным и полным. Обозначим через Р ту единственную мартингальную меру,

относительно которой ( -g— ] образует мартингал.

і Sn\\ Вп)пs

Предположим теперь, что ^„-измеримые цены F„ (N) таковы, что \'SN-?n(N)

= О,

n^N,

Bn

т. е. пусть

(9)

UN) =

Тогда из (7) видим, что

уп vn

(10)

р АЛГ _ р Лп

^BN СРД„\'

и, значит, форвардный контракт, заключаемый в момент времени п по пене Fn(iV), определяемой формулой (9), является безарбитражным (т.е. если XI = 0 и > 0) = 1, то Р(Х% = 0) = 1, см. определение 2 в § 2а,

гл. V), и, в этом смысле, значение F„ (JV), называемое форвардной ценой, естественно должно рассматриваться как справедливая пена форвардного контракта.

Заметим, что предположение безарбитражности (В, й^-рынкаприводит к тому, что

Sn

Bn

4.

Если в момент п +1 окажется, что рыночная фьючерная цена стала равной Ф„+і (N), причем Ф„+і(ЛГ) < Фга(ЛГ), то покупатель вносит на счет

Тем самым, из (9) находим, что безарбитражные форвардные цены F„ (ЛГ) определяются формулами:

продавца сумму Ф„(ЛГ) - Ф„+1(ЛГ). Если же Ф„+і(ЛГ) > Ф„(ЛГ), то, наоборот, продавец вносит на счет покупателя сумму Ф„+і (N) — Фп (ЛГ). Будем обозначать <$о = Фо(Лг) и

8n=*n(N)-*n-i(N), 1.

Пусть также

Dn =60 + 61 + --- + 6п, (12)

так что ADn = 6п,п^ 1.

Из (6) находим (ср. с (7)), что

к=п+1

Отсюда, как и в случае форвардных контрактов, заключаем, что если Р - единственная мартингальная мера для (В: .9)-рынка, то условие

(Н,

на цены Фо (N),..., Ф„+і (ЛГ) будет заведомо гарантировать отсутствие арбитража у фьючерсного контракта, заключаемого в момент времени п.

Потребуем, чтобы по мере Р последовательность D = (Dn)обра-зовывала мартингал. В этом случае для любого п ^ 0 будет выполнено условие (14). На самом деле, из положительности предсказуемых величин Вк следует и обратное.

Мартингальность последовательностиD = (?>п)„<лг означает, что

Ep(DN\\9n) = Dn. (15)

Но?>„ = <$оН Н„ = Ф„(ЛГ)иГ>лг = Флг(ЛГ) = S/f. Тем самым, из (15)

находим, что выбор "фьючерсных" пен в виде

Фп(Л0 = Ep(S/v | n^N (16)

обеспечивает безарбитражность соответствующих фьючерсных контрактов.

Замечание. Пусть В = {Вп)п<^н является детерминированной последовательностью. Тогда, очевидно,

и, сопоставляя с (11), получаем хорошо известный факт о том, что в случае детерминированных В = (Вп) форвардные и фьючерсные цены совпа-дают.