§ Id. О расчетах цены хеджированияпри среднеквадратичном критерии

В случае же неполных (безарбитражных или арбитражных) рынков ситуация резко усложняется и надеяться на точное воспроизведение /jv уже не приходится.

В § 1с был рассмотрен вопрос о том, как рассчитывать цену хеджирования С* (/jv ; Р) на неполных рынках в предположении, что хеджирующая стратегия (ТГ, С) - это та стратегия, для которой ^ /jv (Р-п.н.).

В настоящем параграфе оптимальное хеджирование будет пониматься в ином смысле, а именно - как возможность с "наибольшей точностью" воспроизвести /jv (без обращения к "потреблению" С).

Вопрос о выборе меры точности воспроизведения является в определенном отношении довольно-таки условным и определяется "целевыми установками" возможностью получения точного решения соответствующей оптимизационной задачи и т.

Далее качество воспроизведения измеряется среднеквадратическим от-клонением

= (1)

что позволяет в ряде случаев найти те "оптимальные" х * и ж*, на которых достигается минимум (х) — /jv] :

INF Rn(tt-,x) = RN(-k*;x*). (2)

(я-,ж)

Пусть тг = (71,...,7\'\'),где7і =

хі (х)=х+ы, &sk)=х+? (хіі д^)

fc=l fc=l t—X \'

- капитал стратегии 7Г с предсказуемыми 7% і — 1,..., d.

Поскольку последовательность (X?(x))n^jy является мартингалом, то

(4)

= х.

Если положить ? = XJf(x) — /jv, то, в силу очевидного равенства Е?2 = (Е?)2 + Е(4 - Е?)2, находим, что

Rn(TT-,X) - [Е(/дг - *)]*+ -Х) - (FN - ЕFN)]2. (5)

Ниже будет показано, что для каждой пары (тг, х) с Е(Х]^(а;))2 < оо найдетсяпара (тг* ,х) такал, что г; х) ^ RN(TT*\\X), причем тг* обладает тем свойством, что Хдг (х) — х не зависит от х.

(7)

"У*1 = In

и образуем мартингал L* = (?*)„^лг с

N

(8)

Sn

X.

L*= Е

fc=1

Ясно, что для /jv имеет место разложение

N

(9)

fN =x+22bk^sk) + L*N.

fc=i

Используя определение (7), можно непосредственно убедиться в том,

что

Заметим, что это свойство равносильно тому, что два квадратично интегрируемых мартингала (L* )„4=1 /n^JV

нальными" в том смысле, что их произведение также является мартингалом. В этой связи полезно отметить, что в "обшей теории мартингалов" разложение (9) называют "разложением Кунита-Ватанабе" Из (9) и (10) находим, что для любой пары (тг, х)

RN(K;X) = Е fN - Ix + ^2(-yk,ASk)j ^ к=і \'

Г N

= Е ?(7*-7k,ASk)+L*N

fc=i г N

+ N

Lfc=і * 12

J^hk -lk,ASk)

ASk)

fN

-f* + X> fc,

^ fc=l

(И)

= Rn(Rn(K*-,X*),

причем здесь первое неравенство превращается в равенство при 7 = 7*. Итак, доказана следующая

Теорема. Пусть исходная мера Р является мартингальной. Тогда в задаче (2) оптимальный (по среднеквадратичному критерию) хедж. 7г* — (7*1,... ,7*d) задается формулами (7), х* = E/jv и

(12)

Rn(TT*;X*) = Е

л* - ( + Е(Хл*<Д5|0)

4 fc=l чі=1 \'J

Замечание. В том случае, когда мера Р не является мартингальной (для цен S), вопросы существования оптимальной пары (ж*, л*) иметоды ее отыскания становятся довольно-таки непростыми. По этому поводу, см., например, работы Г. Фёльмера, М. Швайцера, Л. Зондермана, [167], [168], [430], а также работы [194] и [195].

Отметим также, что понятие минимальной мартингальной меры, о ко-торой вскользь было упомянуто в конце § 3d, гл. V, возникло именно в связи с рассматриваемой проблемой хеджирования при среднеквадратичном критерии.