§ 1с. Основная формула для цены хеджирования. II. Неполные рынки.

C(/jv;P) = BqE^- , .(1)

Bn

где Е - усреднение по (единственной) мартингальной мере Р, относительно

- S

которой — является мартингалом.

Аналогичный вопрос о стоимости хеджирования возникает, разумеется, и для неполных рынков.

Напомним, что капитал X* самофинансируемой стратегии тг = (/?, 7) для полных рынков мог быть, в сущности, определен двумя способами: или как

XZ=pnBn + lnSn, (2)

или же как

п

XI + (0кЬВк + 7fc Д5*), (з)

fc=i

см., подробнее, § 1а.

В определенном отношении представление капитала в виде (3) более предпочтительно, поскольку оно наглядно иллюстрирует динамику образования капитала: есть вклад начального капитала в X*, а приращение капитала -

AXZ = (3nABn+4nASn. (4)

Л ля рассматриваемых сейчас вопросов хеджирования на неполных рынках целесообразно наряду с портфелем ж — (/3,7) ввести также процесс потребления С = (Сп)п^0, являющийся неотрицательным неубывающим процессом с ^-измеримыми компонентами Сп и Со — 0.

Этот случай, в сущности, уже рассматривался в § 1а, гл. V, нод названием случай с "потреблением" при этом предполагалось, что вместо уравнения (4) динамика прироста капитала Хж,с, соответствующего портфелю ж и потреблению С, описывается соотношениями

AXZ\'° = 0пАВп + 7„AS„ - АСп, (5)

где АВп + 7„ ASn есть вклад, определяемый значениями портфеля и "ры-ночными" изменениями А0п и ASn, а АСп характеризует "отток" кали- тала на потребление (включая, например, и расходы, связанные с самим фактом изменения портфеля).

Таким образом, будем сейчас предполагать, что капитал стратегии (ж, С) определяется (по аналогии с (3)) формулами

п

х*,с = х*,с + J2(0kABk + 7kASk) -Сп, 1, (6)

Л=1

которые равносильны тому, что

Замечание 1.

taXJfc

п

Х1\'с = Х%<° + + lkASk).

fc=i

Эта формула весьма схожа с (3). Однако, если в (3) (Зк - <^ік_і-измери- мы, то 0\'к являются ^-измеримыми.

Замечание 2. На неполных рынках совершенное хеджирование, т.е. такое, что при некотором ж = (/3,7) капитал XJj = /jv (Р-н. н.), вообще го-воря, невозможно. В то же самое время это не исключает того, что при расширении класса допустимых стратегий можно добиться того, чтобы терминальный капитал воспроизводил (Р-п.н.) платежное поручение /дг • Как

станет ясно из доказательства приводимой ниже теоремы введение "по-

р

требления" позволяет найти стратегию (ж, С), для которой XN\' = /jy (Р-п.н.). Это есть одна из "технических" причин введения наряду с портфелем ж также и потребления С. Но с другой стороны, введение класса стратегий с "потреблениями" на которые накладываются, к тому же, ограничения типа АСп > с > О, имеет ясный экономический подтекст.

2. Определение. Будем называть верхней ценой хеджирования Европейского типа -измеримого платежного поручения /дг) величину

C*(/jv; Р) = inf {ж: 3 (ж, С) сХ?\'° =хиХ?° > fN (Р-п.н.)}. (7)

Замечание 3. Наряду с верхней пеной хеджирования можно ввести также и нижнюю цену хеджирования (см. определение в §1Ь). В дальнейшем будет рассматриваться лишь только верхняя пена, которая часто будет просто называться ценой.

Пусть 3і(Р) - совокупность всех мартингальных мер Р, эквивалентных мере Р. Предполагается, что 5*(P) ф 0.

Центральный результат теории расчетов и&неполныхбезарбитра жных рынках дается в следующем предположении, обобщающем формулу (1).

Теорема 1 ("основная формула для цены хеджирования Европейского типа на неполных рынках"). Пусть /дг - неотрицательная ограниченная -измеримая функция. На неполных безарбитражных рынках верхняя цена С*(//у;Р) определяется формулой

llL BN

(8)

So Ер

C*(/jv;P)= sup РЄ9»(Р)

где Ер - усреднение по мере Р.

С частным случаем этого результата мы уже сталкивались выше (теорема 1 в § 1с, гл.

Ключевым моментом в доказательстве формулы (8) является так на-зываемое "опциональное разложение" (см. далее § 2d), доказательство

которого в техническом отношении довольно сложно. Первыми работами, в которых было доказано "опциональное разложение" и получена формула (8), являются работы Н. Эль Каруи и М. Кинез (N. El Karoui, М. Quenez, [136]) и Д. О. Крамкова [281]; по поводу обобщений и различных доказательств см. также [99], [163], [164].

3. Доказательство теоремы. Пусть (ж, С) является (х, /дг)-хеджем, т. е. Х?\'с = «if ^ /лг (Р-п.н.).

Тогда (ср. с (2) в § lb)

и, значит, для любой меры Р Є ??(Р)

(10)

fN

jv Ґ \\

поскольку Ер 7fc Д ( -5- I = 0, что следует из леммы в § 1с, гл. II, и вытекающего из (9) неравенства 7fe ?4 ) ^

fc=i v-ofc/ -do

Отсюда

(И)

sup В0Ер^<С*(/^;Р). BN

РЄ9»(Р)

Для доказательства противоположного неравенства положим

(?14

(12)

F„ = ess sup Ер і РЄ5»(Р)

где существенный супремум Yn есть, по определению, ^„-измеримая случайная величина, которая, с одной стороны, удовлетворяет для любой меры Р Є 3і(Р) неравенству

(13)

У» ^ Е;

(Р-п.н.)

и, с другой стороны, обладает тем свойством ("минимальности"), что если есть другая величина У„, также мажорирующая; правую часть в (13), то Уп ^ У« (Р-п.н.).

Как показывается в § 2Ь, последовательность У = (У„, являет

ся супермартингалом относительно любой (!) меры Q Є 3і (Р), т. е.

EQ(yn+1|Jf„)^y„ (Q-п.н.). (14)

Напомним, что из классического разложения Луба (§1Ь, гл. II) следует, что для каждой конкретной меры Q можно найти мартингал MQ = MQ = 0, и предсказуемый неубывающий

процесс AQ = &n-i,Q)i<^nУ„ = У0 + - А%. (15)

. Весьма замечательным является тот факт, что если У = (Yn, есть супермартингал относительно любой меры Q из семейства ^(Р), то для У имеет место универсальное (т.

Yn = Y0 + Mn-Cn, (16)

где М = (Мп,Зп) есть мартингал относительно любой меры Q є ^(Р), а С = (С„, ) - некоторый неубывающий процесс с Со =0.

Подчеркнем, что если в разложении Луба (15) процесс был пред-сказуемым (т.е. - -измеримы), то в (16) процесс С = (С„,^„) является только лишь опциональным (т. е. Сп ~ -измеримы).

Именно с этим обстоятельством и связано то, что разложение (16) называется опциональным разложением.

Применительно к супермартингалу У = (Уп, ), определенному в (12), можно конкретизировать структуру мартингала М = (Мп, Зп):

где 7 = (7„, - некоторый предсказуемый процесс. (Подчеркнем, что

этот факт является далеко не тривиальным и доказывается в ходе доказательства опционального разложения; см. § 2d-)

По процессам 7, С и Уо, определяемым в (16) и (17), построим теперь портфель 7г = (/3,7) и процесс потребления С с такими свойствами, что

для них соответствующий капитал Xимеет XQ\'^ = BQ sup ЕР-~-

РЄ9»(Р) N

j Л

и XN\' ^ /jv- Отсюда, конечно, будет следовать, что

С*(/лг;Р) ^Х*\'д = В0 sup Ер^-,

Ре Э»(Р) N

и вместе с (11) это приведет к равенству (8).

Требуемый портфель тг = (/3,7) и процесс потребления С" определим следующим образом:

7п — 7я > (18)

n

= (19)

fc=i

где 7 и С берутся из опционального разложения супермартингала У. Л ля так определенных тг и С начальный капитал

Х*\'д = РоВо + 7о$о = Y0B0.

В случае схемы с "потреблением" мы считаем (см. п. 4 в § 1а, гл. V), что приращение капитала осуществляется по формуле

АХІ\'6 = Дг ЛВ„ + 7» ASn - ДС„, (20)

из которой, как уже отмечалось, следует (ср. также с (27) в § 1а, гл. V), что

В силу (16)—(19)

/ vtc,C\\

AUrJ=Ay-\' (22)

X

и, поскольку —— = Уо, то

\'о

xn ^ v _ fn

BN BN

7Г С

Таким образом, Х^ = /Л (ж, С) с начальным капиталом

7Г О

Таким образом, Х^ = /jv, и, следовательно, построенная стратегия

Х*\'д = B0Y0 = В0 sup Ер^ Ре 3»(Р) ^

позволяет в точности осуществить совершенное хеджирование-.

XNC — fN-

Отсюда следует, что

sup Ер-^.

Вместе с (И) это доказывает (в предположении наличия "опционального разложения") требуемую формулу (8).

Теорема 1 доказана, и в ходе ее доказательства установлено также сле-дующее предложение (ср. с теоремой 2 в § lb).

Теорема 2 ("основные формулы для совершенного хеджа, его капитала и потребления"). На безарбитражных рынках существуют самофинансируемый хедж ж* = (/3*,7*) и потребление С* такие, что соответ-ствующий капитал Х? — f}*Bn + inSn эволюционирует в соответствии с "балансовым" условием АХ* = (]*АВп + 7* ASn — АС*, при этом

Xf = С* (/дг; Р) U sup Во

\\ РеЭ»(Р) Nj/

и

Вп ess sup Ер РЄ9»(Р)

(&і4

компоненты 7* = (7*) и С* = (С*) - из опционального разложения esssupE = sup

реза(р) \\BN ) реза(р) BN \\BkJ 1

а компоненты /3* = (/3*) - «з условия X?* = /3*2?„ + j*Sn.

XN=!N (Р-п-н.). Динамика капитала Х? определяется формулами