§ lb- Понятие о "хеджировании\'.\' Верхние и нижние цены. Полные и неполные рынки

Пусть /дг - /лг(^) - некоторая ("целевая") неотрицательная .^/-измеримая функция, имеющая смысл "платежного обязательства" "терминальной" выплаты,....

Определение 1.

< /лг (Р-п.н.)).

Говорят, ЧТО (х, /дг)-ХЄДЖ 7Г является совершенным, если Xq = X, Х^0,ИХ% =FN (Р-п.н.).

Понятие "хеджа" (hedge - забор) играет в финансовой математике и фи-нансовой практике исключительно важную роль некоторого защитного инструмента, позволяющего до бивать ся гарантированного капитала и преследующего пель страхования сделок на рынке ценных бумаг.

Вводимое ниже определение поможет в дальнейшем формализовать на-ши действия, с помощью которых можно добиться получения гарантированного капитала.

Обозначим

Я*(*,/дг;Р) - {п:Х% > /дг (Р-п.н.)}

класс верхних (ж, /дг)-хеджей и

/лг; Р) = = /дг (Р-п.н.)}

класс нижних (х, /дг)-хеджей.

Определение 2. Пусть /дг есть платежное обязательство. Величина

С*(/лг; Р) = inf{^ > 0: Я* (ж, /лг; Р) ^ 0}

называется верхней ценой (хеджированияплатежного обязательства /дг). Величина

С.(/лг; Р) = sup{a: > 0: H*{x,fN-Р) ф 0} называется нижней ценой (хеджирования платежного обязательства /дг).

Замечание 1. Как обычно, мы доопределяем С*(/лг; Р) = оо, если H*(X,/N;P) = 0 при всех ж ^ 0. Множество Я*(0, /дг;Р) Ф 0 (достаточно взять /3„ = 0, 7„ = 0). Если Я» (ж, /лг; Р) ^ 0 при всех х > 0, то С.(/лг;Р) =оо.

Замечание 2. В данных выше определениях не оговаривались "балансовые" или другие ограничения на портфель ценных бумаг. Одним из обычных ограничений такого типа является, например, условие "самофинан- сируемости" (см.

Замечание 3. Может, конечно, оказаться, что (по крайней мере, для некоторых х) классы H*(x,fn\\P) или Н*(х, /дг; Р) являются пустыми. В этом случае целесообразно сравнивать качество разных портфелей, например, с точки зрения среднеквадратического отклонения

Е [X^-In]2.

(См. далее § Id в гл. VI.)

3. Остановимся на содержательной стороне введенных понятий "верхняя цена" и "нижняя пена"

Если Вы продаете контракт (с функцией выплаты /#), то, естественно, Вы хотели бы его продать подороже. Однако Вы должны учитывать и интересы покупателя, желающего купить надежный контракт по низкой цене. С учетом противоположности этих интересов Вы, как продавец, должны определить для себя ту минимально допустимую цену продажи, при которой, с одной стороны, Вы будете в состоянии выполнить условия контракта (т. е. выплатить JN в момент N) и, с другой стороны, не будете иметь арбитражной возможности, т. е. безрискового дохода (или, как еще говорят, не будете иметь free lunch - "бесплатного ленча"), поскольку у покупателя нет, вообще говоря, никаких причин на это соглашаться.

Если же Вы покупаете контракт, то Вы, конечно, хотели бы его купить по малой цене, но все же такой, что она не создает для Вас арбитражной возможности, т. е. получения Вами безрискового дохода, поскольку и у про-давца нет никаких причин на это соглашаться.

Покажем теперь, что введенные выше "верхние" и "нижние" цены С* = С* (fpj; Р) и С» = С» (fNР) обладают тем свойством, что интервалы [0,С») и (С*,оо) являются теми (максимальными) множествами цен, которые приводят к арбитражным возможностям для покупателя и для продавца соответственно.

Пусть контракт имеет стоимость ж > С* и нашелся покупатель, который его купил. Тогда продавец контракта может получить free lunch, поступив следующим образом.

Из полученной суммы х он изымает у такое, что С* < у < х и покупает на эту сумму ценные бумаги в соответствии с портфелем 7г*(у), у которого капитал Xq ^ = у и Х^ ^ > /лг в момент N.

В момент времени N получаемый от обладателя этим портфелем 7г* (у)

капитал равен Х^ и, следовательно, суммарный "доход-убыток" от этих двух операций (продажи контракта и покупки портфеля тг* (у)) равен

(х - /дг) + -у) = (х-у) + (X*r(y) -fN)>x-y> 0.

Здесь x+Xjj ^ - величина, которую продавец получает (в моменты п = 0 и N) от двух операций, а /дг + у - величина, которую он должен выплатить в момент п = N и затратить на приобретение портфеля ж* (у) в момент п = 0.

Итак, х—у образует чистый безрисковый (т. е. арбитражный) доходпро- давца контракта.

Обратимся теперь к арбитражной возможности для покупателя контракта.

Пусть покупатель купил контракт, обещающий ему платеж /дг по пене х < С». Для получения free lunch покупатель выбирает некоторое у таким, что х < у < С».

Согласно определению С», найдется портфель тг»(у), начальная стоимость которого (в момент п — 0) есть у и который (в момент п \' N) даст капитал Xjf^ ^ /дг. С учетом этого покупатель контракта, который уже заплатил х за получение в момент времени N обещанной (случайной) суммы /дг, поступает следующим образом.

Он инвестирует в момент п = 0 величину (—у) в соответствии с портфелем тг(-у) = -7Г,(у),ГДЄ7Г»(у) = (^,„(у),7*п(у))о^п^ЛГ-

Таким образом,

?г(-у) - (~Р*п(у), ~-У*п(у))Щп!,„

и, значит, распределение (—у) по облигациям и акциям осуществляется в соответствии с соотношением

-у = -0*о(у)Во ~ 7*0(y)So-

Портфель 7г(—у) даст в момент времени N капитал у-Щ — у) - v—КЛУ) _ у"¦*(!/)

и, следовательно, от произведенных двух операций (покупка контракта и инвестирование (—у)) суммарный "доход-убыток" равен

С/ЛГ -х) + - (-У)) = (fN - + (у-х)>у-х> 0,

что, как видим, является чистым (арбитражным) доходом покупателя контракта по цене х < С».

В проведенных рассмотрениях производилось инвестирование отрица-тельной (!) величины (—у). Каков реальный смысл этой операции?

На самом деле, с подобного рода операциями "короткой продажи" (short selling\'a) мы уже сталкивались, например, при рассмотрении опционов в п.

цен) может оказаться как больше у, так и меньше у.

Замечание. Проведенные рассуждения основывались (неявно) на допущении, что рынок является достаточно ликвидным в том смысле, что на нем есть целый "спектр" инвесторов, трейдеров, спекулянтов, ... с достаточно разнообразными интересами, взглядами и надеждами на повышение или понижение цен. Все это, между прочим, говорит о том, что в строго математических рассуждениях необходимо четко формулировать требования и ограничения на возможные операции на финансовых рынках. Вводимые далее условия допустимости на классы используемых стратегий (см., например, § 1а в гл. VII) являются примером ограничений подобного типа, препятствующих, в частности, появлению на рынке арбитражных возможностей.

Таким образом, мы имеем два интервала цен, [0, С») и (С*, оо), которые являются интервалами цен, приводящих к арбитражным возможностям.

Однако, если назначаемая цена х є [С*, С*], то здесь уже нет арбитражной возможности ни для продавца, ни для покупателя.

Эти обстоятельства оправдывают для интервала цен [С*, С*] название интервала приемлемых, взаимоприемлемых цен.

Еще раз подчеркнем, что выбор взаимоприемлемой цены х Є [С», С*] приводит к тому, что ни покупатель, ни продавец не имеют безрискового дохода. Каждый из них, в силу случайного характера движения пен, может как выиграть, так и проиграть. И, тем самым, выигрыш, а, тем более, большой, надо рассматривать (ср. с п. 2, § 1с, гл. I) как своего рода

"компенсацию за риск"

Следующий рисунок "резюмирует" сказанное относительно предпочти-тельных и приемлемых цен для продавца и покупателя:

Предпочтительная Предпочтительная

область цен область цен

за контракт за контракт

для покупателя для продавца

Л\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\'

О С, ТТ с*

Приемлемая область цен и для продавца, и для покупателя

Рис.

продавца (С, = С. (fN; Р), С* = С* (fN; Р))

4. Рассмотрим несколько подробнее тот случай, когда для данного х и платежного обязательства fx существует совершенный (х, /^)-хедж ж, т.е. стратегия, для которой — хиХ% = fx (Р-п.н.).

Равенство XJj = fpt означает, что для хеджа ж обязательство до-стижимо, или, как еще говорят, воспроизводимо.

По многим причинам было бы желательно, чтобы всякое платежное обя-зательство (при некотором х) было достижимым. Если это действительно так, то тогда классы Н* (х, ; Р) и Н* (х, f N Р) совпадают и верхние и нижние цены также совпадут:

С*(/лг;Р) = С.(/дг;Р).

Иначе говоря, в этом случае интервал "приемлемых" пен сводится к единственной цене

С(/лг;Р) (=Є(/лг;Р) = С.(/лг;Р)),

которая является рациональной (справедливой) ценой платежного обязательства /дг, устраивающей и покупателя, и продавца, поскольку отклоне-ние от этой пены неминуемо приведет к тому, что один из них будет иметь, как было объяснено выше, безрисковый доход!

Этот частный случай в виду его важности заслуживает специальной терминологии.

Определение 3. (В, S)-рынок пенных бумаг называется N-совершен- ным или совершенным (по отношению к моменту времени N), если всякое -измеримое (конечнозначное) платежное поручение /дг достижимо, или воспроизводимо, т.е. при некотором х найдется совершенный (ж, /дг )-ХЄДЖ 7Г, т. е. портфель, для которого

XN = fN (Р-П.Н.). В противном случае рынок называется N-несовершенным или несовер-шенным, неполным (по отношению к моменту времени N).

Вообще говоря, сформулированное условие совершенности является до-вольно сильным предположением и его требование накладывает весьма жесткие ограничения на структуру (В, S)-рынков. В то же самое время во многих случаях нет надобности требовать существования совершенного хеджа для всех -измеримых функций /дг, а достаточно оперировать лишь, скажем, с ограниченными функциями или функциями из некоторого подкласса с теми или иными условиями интегрируемости и измеримости.

Определение 4. (В, 5)-рьшок ценных бумаг называется N-полным или полным (по отношению к моменту времени N), если всякое ограниченное -измеримое платежное поручение воспроизводимо.

Решение вопроса о том, когда рынок является совершенным или пол-ным, для финансовой математики и финансовой инженерии представляет значительный интерес, поскольку устанавливает принципиальную возможность (или невозможность) построения портфеля 7Г, для которого капитал XJj воспроизводит "платежное обязательство" /дг. (В случае невозможности точного воспроизведения /дг можно ставить, как уже отме-чалось выше, например, задачу отыскания портфеля, на котором достигается inf Е[Хдг — /дг]2, где inf берется по "допустимым" портфелям 7Г; см. по этому поводу далее § Id в гл. VI).

В общем случае, без каких-либо дополнительных предположений о структуре рынка и вероятностного пространства, на котором этот рынок функционирует, трудно, видимо, дать какой-то удовлетворительный ответ. Однако, для так называемых безарбитражных рынков (см. далее определения в § 2а) проблема их "полноты" допускает вполне исчерпывающее решение в терминах единственности так называемых мартин- гальных мер (см. теорему А в § 2Ь и теорему В в § 4а).

В следующем параграфе мы рассматриваем одношаговую модель (N = 1) весьма просто устроенного (В, 5)-рынка, на примере которой можно четко проследить, как естественным образом в расчетах цен С» (/JV ; Р) и С*(/лг;Р) возникают мартингальные (иначе, риск-нейтральные) меры и каковы общие принципы расчетов, существенно основанные на использовании этих мер.