2.2.3. СОСТАВЛЕНИЕ РАБОЧИХ ФОРМУЛ НОВОГО МЕТОДА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА

[14, 89].

Рассмотрим применение метода Лагранжа к основным типам моделей результирующего показателя.

В качестве примера мультипликативных моделей рассмотрим несколько стандартных факторных систем, которые наиболее часть встречаются в практике экономического факторного анализа финансовых и технологических показателей.

1).

f = x ¦ y.

Пусть факторы x и y получили соответственно приращения Ax и Ay, тогда отклонение функции имеет вид

Af = (x + Ax)(y + Ay) - xy = yAx + xAy + AxAy. (2.15)

Но в то же время, по теореме о промежуточном значении, Af = fx (x + aAx, y + aAy )Ax + fy (x + aAx, y + aAy )Ay,

Af = (y + aAy)Ax + (x + aAx)Ay = Ax + Ay ; (2.16) приравнивая (2.15) и (2.16), находим, что a = 0,5 и тогда

Af = (y + 2 Ay) Ax + (x + і Ax) Ay = ycp Ax + xcp Ay = Ax + Ay . (2.17)

Таким образом, задача поиска величин факторного влияния получила точное и однозначное решение.

В данном случае достигнутый результат не является уникальным, так как аналогичные формулы для вычисления факторного влияния могут быть получены и с использованием некоторых других алгоритмов из набора классических методов экономического факторного анализа. 2). Трёхфакторная мультипликативная модель - функция вида

f = x ¦ y ¦ z.

После группировки слагаемых приращение функции можно представить в виде

Af = Axyz + (x + Ax)Ayz + (x + Ax)(y + Ay)Az .

По формуле Лагранжа: Af = (y + aAy)(z + aAz) Ax + (x + aAx)( z + aAz) Ay + (x + aAx)( y + aAy)Az, где a можно найти из уравнения

31 о a2 + 2l1a- (l о +I1) = 0, 10 = 1, І1 = ~ + ~ + ~.

Ax Ay Az

Решая уравнение, получаем:

r \\

І1

33

±

v

a 3

1 + + г 1

І1 i2

1 0

Для завершения процедуры анализа необходимо найти численное значение параметра a є (0;1) для конкретных данных и подставить его в вы-ражение для разложения приращения результирующего показателя, чтобы получить искомую структуру факторной системы

Af = Ax + Ay + Az .

Как показывает сравнительный анализ, в случае исследования трёх- факторной мультипликативной и других, более сложных по структуре моделей, метод Лагранжа позволяет получить результаты, которые отличаются от тех, что могут быть получены с применением базовых подходов экономического факторного анализа.

3).

f = х - y - z - p . В этом случае приращение функции запишем в виде Df = Dxyzp + (х + Dx)Dyzp + (х + Dx)(y + Dy)Dzp + (х + Dx)(y + Dy)(z + Dz)Dp.

Используя теорему о среднем значении, получаем: Df = (y + aDy)(z + aDz)(p + aDp)Dx + (x + aDx)( z + aDz)( p + aDp)Dy + + (x + aDx)( y + aDy)(p + aDp)Dz + (x + aDx)( y + aDy)( z + aDz )Dp =

= Ax + Ay + Az + Ap. Уравнение для вычисления параметра a :

410 a 3 + 3^1a 2 + 212 a- (10 +I1 +12) = 0,

xyzp 10 = 1, 11 = — + — + — + —, Dx Dy Dz Dp

x y x z x p y z y p z p

12 = + + — + — + ——— + —.

Dx Dy Dx Dz Dx Dp Dy Dz Dy Dp Dz Dp Решая уравнение, находим:

1 2 -12 - -12 1

a = —-b 4 -1i,

b 4 1

b = j- 27 -13 +108 -11 -12 + 216 - (11 +12 +1) + +12 - (- 81 -14 - 27-12 -1| - 81 -13 -12)+ + (-81 -13 + 96-132 + 324-(12 -12 +11 -1^))+

1

(324 -(12 +1|)+ 972 -11 -12)+ (648 - (11 +12) + 324)]2

+

Таким образом, в общем случае, для мультипликативной модели вида

n

y = f (xb x2,..., xn ) = П xi

i=1

получаем следующий алгоритм расчётов для применения метода Лагранжа:

Приращение результирующего показателя записывается как разница фактического и базового значений:

nn

Ay = П (xi +Axi)-П xi, i=1 i=1 n i-1 n

Ay = ХП (xj + Ax j) ¦Axi ¦ П xk , (2.18)

i=1 j=1 k=i+1 0n

П (xj +Axj) = П xk =1.

j=1 k=n+1

Применяя теорему о промежуточном значении, получаем формулу для точного разложения приращения функции:

n i -1 n

Ay = ? Ax. , Ax. = П (xj + aAxj) ¦ Axi ¦ П (xk + aAxk). (2.19) i=1 j=1 k=i+1

Приравнивая (2.18) и (2.19), находим a из получившегося уравнения:

n - 2 n - 2

? (n - m) ¦ 1 m ¦ an-1-m - ?1 m = 0, (2.20)

m=0 m=0

10 = 1, 1 m = ? Пaij , m = 1, n-2, aij = i-, k = 1,...,n

Cn m

aij , m = 1,..., n-2, = i=1 j=1 Axk

В качестве примера используем данный алгоритм для пятифакторной мультипликативной модели

f = x ¦ y ¦ z ¦ p ¦ q.

Получим следующие результаты:

Приращение результирующего показателя

Af = Axyzpq + (x + Ax)Ayzpq + (x + Ax)( y + Ay)Azpq +

+ (x + Ax)( y + Ay)( z + Az )Apq + (x + Ax)( y + Ay)( z + Az)(p + Ap)q.

По теореме Лагранжа:

Af = (y + aAy)( z + aAz)( p + aAp)(q + aAq)Ax +

+ (x + aAx)( z + aAz)( p + aAp)(q + aAq)Ay + + (x + aAx)( y + aAy)( p + aAp)(q + aAq)Az +

+ (x + aDx)( y + aDy)(z + aDz )(q + aDq)Dp +

+ (x + aDx)(y + aDy)( z + aDz)(p + aDp)Dq = Ax + Ay + Az + Ap + Aq.

III.

510 a 4 + 411a 3 + 312 a 2 + 213a- (10 +11 +12 +13) = 0,

10 = 1, 11 = + ay + Qz + ap + Qq ,

12 = ax - Qy + a

x - Qz + Qx - Qp + Qx - Qq + Qy - Qz +

I Q y (Q I Qy (Q qq I (Q z (Q I QQ z (Q ^q + QQ p QQ\' ^q ,

13 Qx QQ\'y QQz I ax QQ\'y (Q I QQ^c QQy (Q^q I QQ^c QQz (Q ^p I QQ^c QQ z (Q^q I I (Qx QQQq I (Qy QQz QQI QQy QQz Qq I (Qy (Q(Q ^q I QQz (Q ^p (Q ^q,

x y z p q

a v* — , a 1 — , a <7 — , a — , a /-1 — . x Dx y Dy Dz p Dp q Dq

Использование метода конечных приращений в общем виде не позволяет определить значения факторов в промежуточных точках единственным образом, то есть могут достигаться несколько различных значений параметра a є (0;1) и соответствующих им промежуточных значений самих факторов xj I aDx,, что приводит к различным видам представления

приращения результирующего показателя. Данное обстоятельство не ухудшает качественных характеристик нового метода. Напротив, как следует из расчётов на основе конкретных данных, множественность в определении величин факторного влияния, предоставляя всю доступную информацию, даёт возможность последовательно применить системный подход для решения задачи синтеза - задачи принятия решения.

При этом, в ряде случаев существует возможность оценить количество допустимых комбинаций разложения вариации обобщающего показателя.

Для оценки количества корней многочлена (2.20) можно использовать теорему Декарта, являющуюся, в свою очередь, следствием теоремы Бю- дана-Фурье [62, С. 255-259].