Теорема Декарта.

Для определения числа отрицательных корней многочлена достаточно, очевидно, применить теорему Декарта к многочлену f (-x).

знаков в системе коэффициентов многочлена f (-x) соответствуют сохранения знаков в системе коэффициентов многочлена f (x). Таким образом, если многочлен f (x) не имеет равных нулю коэффициентов, то число его отрицательных корней (считаемых с их кратностями) равно числу сохранений знаков в системе коэффициентов или меньше его на чётное число.

Применим теорему Декарта к рассматриваемому многочлену (2.20) в случае, когда величины всех факторов и их приращений положительны.

Система коэффициентов данного многочлена:

{n¦A, 0;(n -1)-1!;...;2 n - 2;- (10 + М +... + 1 n - 2Ж то есть число перемен знаков в его системе коэффициентов равно 1, так как все коэффициенты, кроме последнего, являются положительными для рассматриваемого частного случая:

m

Cn m

10 = 1 > 0, 1 m = ? П— > 0, m = 1,..., n - 2, k = 1,..., n.

i=1 j=1Axk

Следовательно, данный многочлен имеет лишь один положительный корень. С другой стороны, теорема о среднем утверждает обязательность существования промежуточных значений xi + aAx;- є (xi; xi + Ax), то есть должно существовать по крайней мере одно значение параметра a є (0;1).

Так как (2.20) имеет единственный положительный корень, то он и находится в интервале (0;1).

Таким образом, в случае, если все факторы и их приращения положительные, то метод Лагранжа позволяет найти для мультипликативной модели единственное выражение для точного представления приращения результирующего показателя как функции от приращений факторов, а, следовательно, метод предлагает однозначное решение основной задачи экономического факторного анализа.

Если значения факторов и их приращений не являются положительными, то допускаются различные варианты разложения приращения результирующего показателя.

Среди кратных моделей можно выделить несколько основных типов. Проведём исследование по каждому из них на примере простейших функций.

1). Функция вида

f = ^. y

Приращение результирующего показателя записывается в виде

Af = = Ax + Ay,

x ^A x x

y + Ay y

а с использованием теоремы о среднем:

Af Ax (x + aAx) ¦Ay (y + aAy) ^ (x + aAx) A

y + aAy (y + aAy )2 (y + aAy )2 (y + aAy )2 \' Приравнивая два выражения для представления приращения функции, находим искомое значение параметра:

a = V y(y + АУ ) - y

Ay \'

2). Функция вида

f x

y + z

Приращение результирующего показателя записывается в виде

Af = ; ; = Ax + Ay + Az

x + Ax x

y + Ay + z + Az y + z а по теореме о среднем

Ax (x + aAx) ¦Ay (x + aAx) ¦ Az

Af =

(У + aAy + z + aAz) (y + aAy + z + aAz)2 (y + aAy + z + aAz)\'

где

a = У (У + Z) ¦ (Y + AY + Z + A Z) - (Y + Z)

(AY + A Z) \'

3). Функция вида

f = ^.

z

Af = Ax + Ay + Az;

Приращение результирующего показателя записывается в виде x + Ax + y + Ay x + y z + A z z

по теореме Лагранжа:

Af = Ax Ay - (x + aAx) + (y + aAy) ^ Az

(z + aAz) (z + aAz) (z + aAz )2 \'

Dz x I y

В этом случае

a

д/z(z + Dz) - z

4). Функция

f =

z + p

Приращение результирующего показателя записывается в виде

x I Dx I y + Dy x I y

Ax + Ay + Az + Ap ;

Df

z + D z I p I Dp z I p в соответствии с методом Лагранжа:

1

Df

Dy

-D x +

(z + aDz + p + aDp) (x + aDx) + (y + aDy)

(z + aDz + p + aDp)

- - (x + aDx) +(y + aDy) - Dp

2

где

(z + aDz + p + aDp) (z + aDz + p + aDp)

д/( z + p) - (z + Dz + p + Dp) - (z + p)

a =

(Dz I Dp)

Таким образом, применение теоремы Лагранжа для кратных моделей факторных систем вида

n

x

I

y=

i=1

да

x

J

I

j=n+1

также позволяет найти точное разложение приращения результирующего показателя:

I (x J+aDx J )

j = n +1

да

xi(j ? n )—

A

Dy —I Axi i=1

D xi

n

да

да

да

m

I(x J + aAx J ) j = n +1

2

n

Ax j -1 (xj + aAxj) J i=1 1 j

x

j

j=n+1 j=n+1

j

I xj - I(x j +Dxj ) - I

Axj(n+1< j a=

j=n+1

Если находить параметр a не требуется, то выражения для расчёта элементов структуры факторной системы могут быть получены путём интегрирования простейших выражений на отрезке 0 < a < 1 в соответствии с формулой (2.12).

В этом случае, для двухфакторной мультипликативной модели f = x • y достигается тот же результат, что и при использовании дифференциальной теоремы Лагранжа:

1 1 Df = J ((y + aDy ) Ax )da + J ((x + aAx) Dy )da = 0 0 \r\nҐ 12 a

+ DyAx — 02 1 ^ Ґ 12 a

+ DyAx — 02 1 ^\r\nyAxa

V 0 0 + xDya

V 0 0\r\n1

Ax +

1 D Л

0

y+- Dy 2 0

Dy = ycp Dx + xcp Dy = Ax + Ay •

x +—Ax v 2

Для мультипликативной модели общего вида в этом случае можно получить следующий результат:

n n n Ґ і л

Ay = Z Ax, , Ax, = П^1 ^n - k

l=1

i=1

k=1

Cn-1 m

xh

10 = 1, 1m = Z П akj , m = 1,..., n -1, akj = D^ , h = 1,...,i -1, i +1,..., n.

k=1 j=1 Dxh

Используем полученные формулы на примере пятифакторной мультипликативной модели:

f = x • y • z • p • q, Af = Ax + Ay + Az + Ap + Aq,

Ґ x 1 x 1 x 1 x 1 x ^

Ax = Ax • Dy • Az •Dp • Dq •

Хл I Xo I I Xi I Xn. ,

V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0

q

Xx0 = 1, X1 = ay + a z + a p + aq,

X 2 ay az I ay I y I z + z I ,

X3 = ay •az-ap + ay-az-aq

+ ay • ap • aq + az • ap • aq,

=ay az ap aq

y 1 y 1 y 1 y 1 y

xy +- • xy +- • Xу + - • X1 + - • Xу

V 423324150 0

Ay = Dx Dy Dz Dp Dq

Xy0 = 1, X1 = ax + az + ap + " q

a

1$ = ax -az + ax-ap + &x -aq + az-ap + az -a4 + ap -a„,

1\'3 = a x - az - ap + ax - az - aq + ax - ap - aq + az - ap - aq , 4 =ax \' az \' ap \' aq

1 z 1 1 z 1 z

Az = Dx - Dy - Dz - Dp - Dq

1л + 1o I 1o I 1 I 1л

V 4233 415 0

1\'0 = 1, = &X + Qy + Qp + Qq ,

12 \'x Qy I x ^p I Qq I \' y ^p I \' y + ^p ^q,

13 = ax - ay - ap + ax -

ay - aq + ax - ap - aq + ay - ap - aq, 14 ax - ay - ap - aq

Ap = Dx - Dy - Dz - Dp - Dq

+1 -1p +1 -1p +1 -1p +1 -1p л

V 4 2 3 3 2 4 1 5 0 0

1p = 1, 11 = ax + Qy + az + Qq,

1p = ax - ay + ax - az + &x - &q + - az + - &q + az - aq,

1pp = ax - ay - az + ax - ay - aq + ax - az - aq + ay - az - aq , 14 =ax \' ay \' az \' aq ;

Aq = Dx - Dy - Dz - Dp - Dq

ґ 1 1 1 1 л 1q4 +1-1q + і-1q2 +1-11 + і-1q V 4 2 3 3 2 4 1 5 0

1q0 = 1, 1q = ax + Qy + az + Qp,

1q2 = ax-ay + ax-az + Qx-Qp + a,-a, + ay-&p + az-ap, 13 — x - y - a z I x - y - p + x - a z * p + y " a z - p, 14 —x * Q\' y * a z * p

y

zp

Dz\' &p =DP \' &q

Dy

Dp \' * Dq\'

Приращение обобщающего показателя в случае кратных моделей также можно представить с использованием альтернативных формул, получаемых после интегрирования в соответствии с (2.12):

да

D xi

n

ln

да

ID xj

j — n + 1

Dy = I Axi , Axi (i < n) i=1

I(xj + D x j)

j=nI1

n

Dy -I Axt

"г

Axj (n+1< j < да) = да Dxj.

IDxj

j=nI1

Полученные для основных типов факторных систем формулы для расчёта величин факторного влияния по методу Лагранжа представлены в табл.

Сводные результаты по выводу формул для представления разложения приращения результирующего показателя с использованием интегральной формы теоремы Лагранжа представлены в табл. 2.5.

Для упрощения и повышения эффективности применения метода Ла- гранжа в случае нестандартных моделей факторных систем можно рекомендовать использовать в расчётах специализированные математические пакеты [20]. Вспомогательные программные продукты значительно упрощают дифференцирование и интегрирование при разложении приращения результирующего показателя по составляющим величинам факторного влияния, позволяют точно находить решения уравнений при вычислении параметра a и могут быть использованы при решении других вычислительных задач, возникающих в процессе анализа.