2.2.4. ПРИМЕРЫ
Пусть все факторы в мультипликативной модели общего вида
n
y = f(xb x2 xn ) = П xi
i=1
получили равные в относительном выражении приращения, то есть:
5 =...
= sx =... — ^ = 5.1n
1n
В этом случае приращение результирующего показателя можно представить в следующем виде:
n n n n n / \\
Df = П(xi + Dx,) - Пx, = П(x, + dx,) - Пx, = Пx, • ((1 + S)n -1). (2.21)
i=1 i=1
x, — П ^ (xj
i=1 i=1 i=1 По теореме Лагранжа:
n i-1 n n
Df = Z П(xj + adxj) • Sx, • П(xk + adxk) = Пx, • nd • (1 + ad)n-1. (2.22)
i=1 j=1 k=i+1 i=1
Приравнивая (2.21) и (2.22), получаем формулу для расчёта a :
ґ 1 ^ (1 + S) n - Г
n-1
(2.23)
-1
1
a = — S
nd
Если все факторы модели увеличились в отчётном периоде по сравнению с базовым на 100% (5 = 1), то, используя (2.23), получаем, что в этом случае
1
2 n - Г
1
n-1
a
n
Вычислим значения a для различных n :\r\nn 2 3 4 5 6 7 8 9 10\r\na 0,500 0,528 0,554 0,578 0,600 0,621 0,640 0,657 0,672\r\nВ пределе при n ® ? получаем
1
n-1
1
n-1
1
n-1
2n -1
2n -1
2n -1
lim <
n ®?
= lim
n ®?
-1
-1 = exp
-1 =
n
n
n
lim ln
n ®?
n
2 n ln2 1
lim
n ®?
lim
n ®?
- 1 = exp ln 2 - 1 = 1.
-1 = exp
1
= exp
ln(2" -1) - ln n
2n -1 n
V
n-1
Далее, для иллюстрации применения теоремы Бюдана-Фурье в экономическом факторном анализе проведём исследование на примере трёхфак- торной мультипликативной модели
f = x • y • z.
По формуле Лагранжа: Df = (y + aDy)(z + aDz) Ax + (x + aAx)( z + aDz )Dy + (x + aAx)( y + aDy)Dz,
где a находится после решения уравнения
P2(a) = 310 a2 + 2^a- (1 0 +I1) = 3a2 + 21a- (1 + 1) = 0,
1 ^ x y z
10 = 1, І1 = 1 = 1 1 .
Dx Dy Dz
Для завершения анализа необходимо найти численное значение параметра для конкретных данных и подставить его в выражение для разложения приращения результирующего показателя, чтобы получить искомую структуру факторной системы.
Количество значений a є (0;1), как уже было сказано, позволяет определить теорема Бюдана-Фурье, в соответствии с которой оно равно или на четное число меньше разности
S + (0) - S - (1)
(при этом каждый кратный корень считается столько раз, какова его крат-ность),
где S + (0) - количество перемен знака в ряде
Pn-1(0), p\'n-1(0), РП-1(0),..., РП-1(0),
S - (1) - количество перемен знака в ряде
Pn-1(1), p\'n-1(1), РП-1(1),-, РЙ(1),
n - степень многочлена, который используется при вычислении a .
При n = 3 получаем следующие наборы коэффициентов: Р2(0) = -(1 + 1), Р2(0) = 21, Р2 (0) = 6, Р2(1) = 2 + 1, Р2 (1) = 6 + 21, Р2 (1) = 6.
Рассмотрим различные случаи и оценим соответствующее им количество перемен знака.
1> 0, S+ (0)-S-(1) = 1 -0 = 1,
-1 <1<0, S+ (0)-S-(1) = 1 -0 = 1,
-2 <1<-1, S+ (0)-S-(1) = 2-0 = 2,
- 3 < 1 < -2, S+ (0) - S- (1) = 2 -1 = 1,
1<-3, S+ (0) - S- (1) = 2 -1 = 1.
При 1 = -2 один из искомых корней a = 1, что действительно является решением рассматриваемого уравнения, но противоречит условию нахождения a в интервале (0;1).
Таким образом, при 1 є (- 2; -1) анализируемый квадратный трёхчлен имеет два корня
l , l2 l 1 /Л 1\\
a1,2 = ±
— ± і —+ і є (0;1), 3 V 9 3 3
и один корень a є (0;1) при всех остальных l.
Рассмотрим несколько расчётов на примере трехфакторной мультипликативной модели в целях иллюстрации и подтверждения полученного с помощью теоремы Бюдана-Фурье результата (табл.
2.1).Таблица 2.1
Примеры экономического факторного анализа\r\n№ Исходные данные a є (0;1) Ax АУ Az Df\r\n1. x = 2; Ax = 3; У = 2; Dy = 1; z = 1; Dz = 2 3,17 0,53 15,56 7,35 18,09 41\r\n2. x = 5 ; Dx = -2 ; У = 1; Dy = 2; z = 2; Dz = 3 -1,33 a1 = 0,74; a 2 = 0,15 -20,88 -6,38 29,70 23,04 26,18 18,34 35\r\n3. x = 7; Ax = -2; У = 1; Dy = 2; z = 1; Dz = 1 -2 0,33 -4,44 16,89 10,55 23\r\nГрафическая иллюстрация полученного с применением теоремы Бю- дана-Фурье результата приведена на рис. 2.7.
Аналогичное исследование можно проводить и для более сложных видов моделей. Однако в этом случае значительно возрастает количество комбинаций перебора коэффициентов, необходимых для определения перемен знака в соответствии с теоремой Бюдана-Фурье. Так, например, для мультипликативных моделей в ходе исследования [22] было получено предположение, что для факторной системы вида
n+1
f(х) = П xi , i=1
которой соответствует многочлен pn (a), существует
n
-2к 02n-2 , 02n-4 , 02n-6 , , 00 02n
^ 2 = 2 + 2 + 2 +... + 2 из 2 случаев распределе-
к=1
ния знаков функций pn (0), pn (1) и их производных, которые определяют количество корней a є (0; 1).
Рис. 2.7. Определение количества корней a є (0;1) для трёхфакторной мультипликативной модели
В качестве примера для иллюстрации возможной интерпретации результатов анализа в случае не единственного решения задачи факторного анализа проведём сравнительный анализа метода конечных приращений и интегрального метода на примере трёхфакторной мультипликативной модели
y = xi • Х2 • Х3, где y - выручка в рублях от реализации продукции; xi - цена в евро за единицу продукции; x2 - валютный курс в рублях за один евро; Х3 - объём реализованной продукции.
Метод конечных приращений Интегральный
Вариант 1 Вариант 2 метод