§ 3g. Теорема Гирсанова для семимартингалов. Структура плотностей вероятностных мер

~ loc

и мера Р <<С Р, то относительно этой меры пропесс М является семимар-тингалом (см. (7) в §3е).

Весьма замечательно, что относительно такой замены меры всякий семимартингал переходит также в семимартингал.

С точки зрения отсутствия арбитражных возможностей для финансовой математики особенно интересен вопрос о том, относительно каких мер

~ ~ ІОС ~ 1°с

Р со свойством Р ~ Р или Р Р рассматриваемый семимартингал X, описывающий, скажем, динамику цен, является локальным мартингалом или мартингалом.

Один из возможных подходов к решению этой задачи состоит в выяс-

~ loc

нении того, как при локально абсолютной непрерывной замене меры Р Р преобразуется каноническое представление (по мере Р)

X = Х0 +В + Xе + д * (ц-v) + (х - д(х)) * ц (1)

семимартингала X с триплетом (В, С, v) в каноническое представление

Х = Х0 +В + Хс+д*(ц-?) + (х-д(х))*ц (2)

(по мере Р) этого семимартингала с новым триплетом (В, С, V).

art

Пусть Zt \' -ЗГ-, t > 0. Положим

t

d{Zc,Xc) I(Z_ > 0) d(Xc,Xc) \'

(3)

емое формулой W * = Е(W * п) для всех измеримых неотрицательных функций W = W(uj,t, х). (Ср. с определением Yn(x,u), M„[dx,du}) в §Зе, гл.

Процессы /3 и Y играют ключевую роль в вопросах преобразования три-плетов при замене меры, а следующий результат часто называют "теоремой Гирсанова" для семимартингалов.

~ loc d?t

Теорема 1. Пусть Р -С Р, Zt = -7—-, t ^ 0, и процессы /3 и Y

art

определяются по Z = (Zt)t^o по формулам (3) и (4).

Тогда 5, С uv, определяемые формулами

B = B + /3-C + g{x)(Y- 1)*г/, (5)

С = С, (6)

v — Y и, (7)

задают версию триплета семимартингала X по мере Р.

Доказательство этой теоремы (не только в сформулированном случае одномерных семимартингалов, но и в многомерном случае) дается в [250; гл. III, § 3d] и в техническом отношении является довольно трудным. От-сылая за деталями доказательства к указанной монографии, прокомментируем содержательную сторону утверждения этой теоремы.

Прежде всего отметим, что для случая дискретного времени соответ-ствующий результат был доказан в § Зе, гл. V, где объясняется смысл дискретных (по времени) аналогов меры и величины Y.

Утверждение (5) показывает, как трансформируется "сносовая" компо-нента В триплета (В, С, и).

Утверждение (6) говорит о том, что квадратические характеристики у непрерывной мартингальной составляющей Xе на самом деле при абсо-лютно непрерывной замене меры не изменяются (с точностью до Р-стохас- тической эквивалентности).

Утверждение (7) показывает, что Y есть не что иное, как производная Радона-Никодима меры v по мере v.

3. Если семимартингал X является специальным, то в каноническом представлении (2) можно положить g(x) = х и тогда

X = Хо + В + Xе + х * (и — v). (8)

Отсюда видим, что специальный семимартингал X является локальным мартингалом, если В = 0- Вместе с теоремой 1 это замечание приводит к следующему предложению.

Теорема 2. Пусть Р << Р и при этом (х2 Л |i|) * v Є s4\\oc- Тогда специальный семимартингал X относительно меры Р является локальным мартингалом, если

(9)

В + /3 • С + x(Y - 1) * v = 0.

4.

Решение этого вопроса открывает путь к построению меры Р, относительно которой семимартингал X становится локальным мартингалом. Действительно, если /3 и Y таковы, что выполнено условиеJ9), и по ним восстанавливается процесс Z, то тогда заведомо по мере Р с dP? — Zt dPт пропесс X — (Xt)t^T будет на [О, Т] локальным мартингалом.

Пусть X - семимартингал, заданный на каноническом пространстве (П, (&t)t>0, Р)- Предположим, что всякий Р-мартингал М допускает "(Xе, їх—v)-представление":

(10)

М = М0 + f ¦ Xе + W * (ft - и).

(См. формулу (1) в §3f.)

— loc

Теорема 3. Пусть Р Р, Z = (Zt)t^o является процессом плотности, f({i}x?;w) = 0, t > 0, /3 и Y определены по формулам (3) и (4). Тогда (при выполнении свойства "(Xе,ц-и)-представимости") про-цесс Z удовлетворяет соотношению

(И)

Z = Z0 + (Z-0) ¦ Xе + Z_(y - 1) * (fi - и).

Если при всех t > О

(12)

/З2 ¦ (Xc)t + (1 - VY)2*vt то процесс N = (Nt)t^o с

(13)

if

Nt = /3 ¦ Xtc + (Y - 1) * (p - u)

является Р-локальным мартингалом. Процесс Z = {Zt)t^o является решением уравнения Долеан

dZ = dN (14)

и может быть представлен в виде

Zt = Z0g(N)t, (15)

где

g(N)t=eN\'-№c^ Д (l+ANs)e~AN°. (16)

О Привешенная формулировка теоремы предполагает, что v({t} х Е; ш) — 0. Это условие означает, что процесс X является квазинепрерывным слева, т.е. для любого предсказуемого момента остановки т величина АХТ — О на множестве {г < оо}. В общем случае соответствующая формулировка вместе с доказательством дается в [250; гл. III, § 5а].

Замечание. По поводу непосредственного применения результатов теорем 2 и 3 в диффузионных моделях см. следующий § 4а.