§ 3f. О представимости локальных мартингалов ( представимость )

ОГ(

кает (см. (13)) представление Z = S(N), где Р-локальный мартингал N есть сумма двух интегралов цо Нс и р.

Сопоставляя это представление с и(р—г^)-представимостью" в случае дискретного времени (§4с, гл. V), естественно его называть u(Hc,p-v)- представимостью" что и объясняет появление этих слов в заголовке данного параграфа.

В полной общности вопросы представимости локальных мартингалов рассматриваются в [250; гл. III, §4с]. Поэтому остановимся далее лишь на некоторых общих результатах, имеющих самое прямое отношение к вопросам арбитража, полноты и конструкции вероятностных мер, локально абсолютно непрерывных относительно исходной меры.

Прежде всего отметим, что для удовлетворительного решения вопроса о представимости локальных мартингалов по локальному мартингалу Нс и мартингальной мере р — v на структуру пространства Q элементарных исходов ш приходится накладывать некоторые дополнительные пред-положения. Именно, во всем дальнейшем будем считать, что О есть каноническое пространство, состоящее из всех функций и) = (u>t)t^o, явля-ющихся непрерывными справа и имеющих пределы слева. (См. по этому поводу также [250; гл. III, 2.13].)

Рассматриваемые далее случайные процессы X — (Xt (u))t^o и, в частности, семимартингалы, будут предполагаться канонически заданными, т.е. Xt(w) = u>t.

Под фильтрацией будет пониматься семейство ст-алгебр

ъ = п

s>t

где = о (и: ши, и ^ s). Будем полагать также 3" = \\]

Пусть Р - вероятностная мера на (П, 3), Pt = t ^ 0, и

Н = (Ht,&t)t^ о — некоторый семимартингал с триплетом предсказуемых характеристик (В, С, и). Для простоты рассуждений будем предполагать, что HQ = Const (Р-п.н.).

Во многих отношениях интересен и важен вопрос о том, когда триплет (В, С, і/) однозначно определяет меру Р.

Так, например, пусть Н — (Ht)t>o является решением (обыкновенного) дифференциального уравнения

Ht = 2\\Ht\\1/2, Н0 = О

(с "нелшшшцевой" правой частью). Это уравнение, очевидно, имеет два решения: Нj1^ 2 О, Нj2^ = t2. Оба они являются семимартингалами относительно мер Р^ иР(2), первая из которых "сидит" на траектории uit = О, а вторая -sa cut — t2. В то же самое время в обоих случаях их триплеты (В, С, v) совпадают, причем С = 0, v = 0 и BtМ= I 2\\us\\1\'2ds.

J о

3. Для проблемы и(Нс, д—^-представимости" роль триплетов и един-ственности вероятностной меры раскрываются в следующем предложении.

Теорема 1. Пусть на каноническом фильтрованном вероятностном пространстве (fl, (9t)t^о>Р) задан семимартингал Н = (Ht,9t)t>o, Но = Const, с триплетом (В,С,и), причем мера Р является единственной в следующем смысле: если Р\' - другая

loc

мера, относительно которой Н имеет тот же триплет и Р < Р, Р\'0 = Р0, то Р\' = Р.

Тогда всякий локальный мартингал N = (Nt,&t) допускает пред-ставление

N = N0 + f ¦ Нс + W * {р - и), (1)

где f - предсказуемый процесс с f2-(Hc) Є и W - Р-предсказуемый процесс с G(W) Є (§ За).

Доказательство этого результата и его обобщение ("фундаментальная теорема о представлении") см. в [250; гл. Ill, §4d].

Из приведенной теоремы вытекают следующие полезные результаты (в частности, в связи с полными безарбитражными моделями) относительно "(Н°,р — ^-представимости"

Теорема 2. Пусть (0,Р) ~ каноническое фильтрованное вероятностное пространство.

а) Если Н — (Ht,9t)t>0 является процессом броуновского движе-ния, то всякий локальный мартингал N = {Nt,9t)t^o имеет вид

N — Но + f • Н, (2)

где /2-(Я)є<с.

Ь) Если семимартингал Н = (Ht,&t) является процессом с не-зависимыми приращениями, то всякий локальный мартингал N = о допускает представление (1).

Доказательство непосредственно следует из теоремы 1 в силу единств ен- ности винеровской меры и того факта, что для процессов с независимыми приращениями их триплет является детерминированным, и по нему рас-пределение вероятностей определяется (в силу формулы Леви-Хинчина) однозначным образом.

Отметим, что утверждение а) уже приводилось ранее (§ Зс, гл.

4. Наряду с изложенными в теореме 2 случаями а) и Ь), относящимися к числу "классических" остановимся вкратце еще на одном случае, когда также имеет место результат об "(Нс, p-v)-представимости" локальных мартингалов.

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (ср. с §3е,

гл. III):

(3)

+ 9\'\' ht, x))p(dt, dx; ш),

с Kt(ut,A) = //а\\{о}(*(*,ь*.®)) F(dx).

где b, a, 5 - борелевские функции, g — g(x) - функция урезания, g\'(x) = x — g{x), В - броуновское движение, p - однородная пуассоновская мера с компенсатором i/(dt, dx) ~ dt F(dx) (§ За). Хорошо известно (см., напри-мер, [250; гл. III, § 2с]), что в случае (локально) липшицевых коэффициентов, удовлетворяющих условию линейного роста, стохастическое дифференциальное уравнение 3 (с начальным условием HQ = Const) имеет един-ственное сильное решение (§ Зе, гл. III). При этом оказывается, что независимо от того, каково исходное вероятностное пространство, на котором определены броуновское движение и пуассоновская мера, распределение вероятностей процесса-решения Н на каноническом пространстве (П, &•) определяется однозначным образом.

Процесс Н является семимартингалом с триплетом (В, С, и), где

dHt = b(t, Ht) dt + A(t,Ht) dBt + g (S(t, Ht,x)) (p(dt, dx; ш) - v(dt, dx; LJ))

Таким образом, при наличии сформулированных условий на коэффици-енты (локальное условие Липшица и линейный рост) можно утверждать, что всякий локальный мартингал N = (Nt,&t)t^o допускает "(ifc,ju— v)- представление" (Подробнее см. [250; гл. III, §2а].)