Необходимые условия локального экстремума

Пусть функция г=/(.т, у) определена на множестве {Л/}, а М0{х$, уа) — некоторая точка этого множества.

Определение 8.

Дтя случая функции трех и более переменных локальный экстремум определяется аналогично.

Согласи и данному пи роде.тению ткальної о экстремума (минимума

Удовлетворяет одному н.) условий в окрестности точки Л/„:

Теперь установим необходимые условия ткального экстремума.

Теорема 8.2. Если функция г=/ (д, у І имеет в точке Мщ (ли, у) локальный экстремум н частные прппнюднис первого норятка, то все .пн ч агги ы е 11 рот із воді ше ра имьг пулю.

Пая случая функции двух и более переменных необходимое условие \'Юкалыяаи ЭкстрТ\'Мулш имеет вид, аналогичный ($.14); нее частные производные первого порядка должны обращаться в нудь в точке Мп.

Следует особо отмети гь. чго условия (8.14} не являлі гея достатня и ы- я и у с ло ви я м 11 йкстрму м а Н а гш и м ер, дл я і [і у н к г ш 112 = д.^ - у* час т и ые и рои лиши ые равны нулю в точке 0 (0, 0). однако в этой точке функция (которая является уравнением гиперболического параболоида).

ІОЧКН, в которых выполняются условия (8.14) называются точками возможного экстремума, или стационарными тичками.

Найдем точки возможного экстремума следующих функции.

Решение. Согласно необходимым условиям экстремума, все три первые частные производные функции равны в этом точке нулю, откуда получаем систему а рех линейных алгебраических уравнений 1 тремя неизвестными:

Решение этой системы дап едино ценимо стационарную точку возможного экстремума: (3, -А, 2)

8.4.2.