Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных и = /(.г,у, г), дифференцируемую в некоторой точке М (д; у, г).

Определение 6.

Градиент функции характеризует направление и величину макси малыши скорости возрастания этой функции в точке.

Для определения геометрического смысла градиента функции наедем понятие поверхности уровня. Это понятие аналогично понятию линии уровня, рассмотренному в 8.2.2.

Определение /. Поверхностью уровня функции и=/(.г, у, г) называется поверхность, па которой эта функция сохраняет постоянное значение

В курсе математического анализа доказывается, что градиент я данной точке ортогонален к этой поверхности.

В случае функции двух переменных все сказанное ранее остается в силе, только вместо поверхности уровня будет фигурировать линия уровня. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 9. 11 возможны четыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называются смойтпиыми производными. Аналогичным образом для функций нескольких переменных определяются частные производные более высоких порядков.

Рассмотрим два примера нахождения частных производных второго порядка для фу нкции двух переменных.

В рассмотренных примерах смешанные производные оказались равными друг другу, хотя это бывает н не всегда. Ответ на вопрос о независимости смешанных вторых производных от порядка дифференцирования функции двух переменных даст следующая теорема.

Теорема 8.1. Если функция г=/(д, у) дважды дифференцируема в точке М0 то ее смешанные производные в этой точке равны.

8.4.1.