Пуассонова регрессия

r

Prob(Y = r) = Гт e-u,

где ju— параметр распределения.

Распределение Пуассона имеет случайная величина Y, равная количеству событий, произошедших за некоторый промежуток времени, если эти события независимы и происходят с постоянной скоростью (равномерно по времени).

Моменты распределения:

E(Y) = j, Var(Y) = j.

В регрессионной модели с распределением Пуассона параметр j зависит от набора факторов и неизвестных параметров.

В линейной модели:

Ui = exp(Xi. в).

Тогда логарифмическая функция правдоподобия равна 1 = Z. [Yi X.в- exp(Xi в) - lnYi! ] ^ тахв.

Градиент равен:

x dl

g = в I [YX - exp(XiP)X ].

Условие первого порядка максимума: - exp(X в)] X..

Гессиан не содержит случайных компонент, и поэтому информационная матрица равна минус гессиану.

д21

H = = -1 exp(X в) XX,T

Для поиска максимума можно использовать метод Ньютона:

в\'+1 = в\' - (Ht)-1g \'.

Метод Ньютона легко реализовать с помощью вспомогательной регрес-сии.

Обозначим

1 * *

Vi = exp<2 X в), Yi = Yi / Vi - Vi, Xi = Xi Vi.

* *

Тогда если Ав — оценки коэффициентов в регрессии Y по X , то шаг метода Ньютона задается формулой:

ві+1 = в1 - Ав1.

-1 *T * -1

Оценка ковариационной матрицы оценок есть - (H) =(X X ) , поэтому тесты для коэффициентов матрицы и т. п. можно получить из регрессии

** * ** * *T * *

Y по X , где Y = Y /s, s = ~\\]Y Y /N , и Y берется в точке оценок МП (на последней итерации метода Ньютона). Проверять ограничения на коэффициенты можно как с помощью %2 статистики Вальда, так и с помощью соответствующих t- и F-статистик из вспомогательной регрессии. В качестве аналога стандартного F-теста на равенство нулю коэффициентов при всех переменных кроме константы можно использовать статистику отношения правдоподобия. Пусть 1 — значение логарифмической функции правдоподобия когда Ні = л Vi.

/v A л

LR = 2 (1 - 1) - х2 (m - 1),

где m — количество регрессоров (столбцов X).

Найдем 1 :

1 = I [Yj ln/- л- lnY,! ].

д1 1 1 juZi-N=0 ^ u=nZy\'=1

Таким образом, 1 = N YlnYY - N Y - ZilnYi! .