§ 2с. Мартингальные критерииотсутствия арбитражных возможностей. II. Необходимые и достаточные условия (сводка некоторых результатов)

Снова напомним, что в случае дискретного времени имеет место утверждение "EMM NA", которое и послужило прототипом разнообразных версий в общих семимартингальных моделях.

При этом, если импликация EMM =Ф NA доказывалась просто, то установление обратного утверждения EMM <= NA, требующее или конкретного построения, или доказательства существования мартингаль-ной меры, основано (даже, казалось бы, в простом случае дискретного вре-мени!) на далеко не простых конструкциях (см.

Поэтому не должно показаться странным, что в случае непрерывного времени доказательство соответствующих результатов, принадлежащих, главным образом, Ф. Делбаену и В. Шахермайеру ([100], [101]), доволь- но-таки сложно, и мы ограничиваемся лишь сводкой ряда интересных результатов, отсылая за деталями доказательств к указываемой специальной литературе.

Теорема 1 ([100]). а) Пусть семимартингал X — (1,Х ,... ,Xd) имеет ограниченные компоненты. Тогда

(1)

ЕММ<==> NA.

Ь) Пусть семимартингал X ~ (1,Xі,... ,Xd) имеет локально огра-ниченные компоненты. Тогда

(2)

ELMM <=> NA+

С этой целью напомним, что в случае дискретного времени всякий локальный мартингал X является в тс же самое время мартингальным пр е- образованием, т.е. (см. теорему в § 1с, гл. II) X = Хо + 7 ¦ М, где 7 - некоторая предсказуемая последовательность, а М - мартингал.

Если проанализировать доказательство теоремы в § 1с, гл. II, то можно заметить, что всякий локальный мартингал X может быть представлен как мартингальное преобразование X = Хо + 7 • М, в котором 7 является положительной предсказуемой последовательностью.

Имея это в виду и следуя [101], будем мартингальные преобразования с положительными значениями 7 называть сг-мартингалами.

С этими новыми понятиями первой фундаментальной теореме (§ § 2Ь, с, гл. V; см. также (1) в § 2а) можно придать следующую форму:

EMM <=> ELMM ЕоММ NA

(3)

которая полезна с той точки зрения, что она подсказывает, на каком пути можно искать обобщение первой фундаментальной теоремы для непрерывного времени.

Большой удачей авторов работы [101] было осознание того, что для отыскания необходимых и достаточных условий ТУА-^-версии отсутствия арбитражных возможностей в общих семимартингальных моделях надо обратиться именно к "сг-мартингалам" и "сг-мартингальным мерам"

Ладим соответствующие определения.

Определение 1. Семимартингал X = (Xі,..., Xd) называется сг-л< ар- тингалом, если существуют К^-значный мартингал М = {Mt)t^x и ./kf-интегрируемый предсказуемый положительный одномерный процесс 7 = (7t)tОпределение 2. Если существует мера Р ~ Р, относительно кото-рой семимартингал X является сг-мартингалом, то говорят, что Р является о-мартингальной мерой и выполнено свойство ЕоММ.

Замечание 1. Термин "сг-мартингал" как было отмечено, введен в работе [101]. Ранее эти процессы назывались (см., например, [73], [137]) се- мгімартингалами класса (?т). Подчеркнем, что сг-мартингалы являются частным случаем мартингальных преобразований (см. определение 3 в § 1а).

Следующий результат можно назвать кульминационным в поисках необходимых и достаточных условий отсутствия арбитражных возможностей в NA+-версии.

Теорема 2 ([101]). В общих семимартингалъных моделях

(4)

NA,

Есг ММ

Замечание 2. Пример М. Эмери (п. 5, § 1а) показывает, что сг-мартин- гал не обязан быть локальным мартингалом.

Для наглядности и прояснения связи утверждений теорем 1 и 2 с соответствующим результатом для случая дискретного времени (см.

Следствие. В общих семимартингалъных моделях X—{\\,Xl)x¦ (5)

EMM

EaMM

NA,

ELMM

В случае локально ограниченных семгшартингалов X—(l, Xі = (Xi)t(6)

NA

EaMM

+

EMM => ELMM

В случае ограниченных семимартингалов X — (1, Xі =

(Xi)t(7)

EMM ELMM EaMM NA+

3. Обратимся теперь к вопросу о необходимых и достаточных условиях отсутствия арбитража в его -версии.

Теорема 3 ([447]). В общих семимартингалъных моделях X = (1,-X"1,...,Xd), Xі — i= l,...,d< оо, условие NAg для

(8)

NA0

EMM

9 — (gQi9l-> ¦ ¦ - 19d) с gl > 0, і — 0,1,... ,d, равносильно условию EMM:

Импликация =>¦ была установлена выше. Идея доказательства обратной импликации заключается в следующем.

Пусть X — (1, Xі,..., Xd) - семимартингал. Тогда, как показывается

в [447], X удовлетворяет условию NAg в том и только том случае, когда

%

дисконтируемые цены удовлетворяют условию NA+. Поскольку

х

. является ограниченным семимартингал ом, то из утверждения (7)

9\\Х)

вытекает существование эквивалентной меры, что доказывает утверждение (8).

В заключение приведенной сводки результатов остановимся на следующих двух контрпримерах.

Пример 1 (EMM ф- NA). Рассмотрим (В, S)-рынок с Bt = 1 и St = Wt, где W (Wt)t^о - стандартный винеровский процесс (линейная модель Башелье; см. §1а, гл. VIII). Для самофинансируемой стратегии 7г = (/3,7) капитал

X? =0t+ itSt = XS + Г 7u dSu.

Jo

Положим T = inf{t: St = 1} и ju = I(u < т). Тогда X? = X? + ST и, значит, если XQ = 0, то X* — 1 (Р-п.н.).

Понятно, что в рассматриваемом случае существует мартингальная (а именно, винеровская) мера, однако, выбор самофинансируемой стратегии я- = (/3,7) с 7„ = I (и < т) показывает, что здесь имеет место арбитражная возможность.

Пример 2 (ELMM ф- NA, ELMM=> NA+, но i> NAg). Пусть Xt° = 1, * Є [0,1],и

4 ^ t= 1,

-Г\'

1 О,

где

Yt = exp (Wt - -)

и W = (Wt)t^.l -винеровскийпроцесс.

Процесс Xі является локальным мартингалом. Поскольку^ dX^ = l для 7S = 1, то отсюда следует, что имеет место арбитраж в классическом смысле. В то же самое время из утверждения (2) следует, что имеет место свойство NA+. Что же касается свойства NAg, то оно здесь не выполнено. Действительно, как в [447], положим 7г° = 1,тт\\ — —1.

Тогда XS = О, Xf = 1 - XI > -g(Xt) с g(Xt) = 1 + X*1 и Xf - 1.