§ 2Ь. Мартингальные критерииотсутствия арбитражных возможностей. I. Достаточные условия

(Q,Р) с 3=т = 9Q = {0, П}.

Напомним, что если существует вероятностная мера Р на (П, 9т) такая, что Р ~ Р, и относительно этой меры семимартингал X является

мартингалом (X Є М(Р))

или

локальным мартингалом (X Є Ж\\ос(Р)), то говорят, что выполнено свойство

EMM

или свойство

ELMM

соответственно.

Следующие теоремы 1 и 2, дающие достаточные условия отсутствия арбитражных возможностей, являются, пожалуй, наиболее полезными результатами теории арбитража в семимартингальных моделях для расчетов в финансовой математике и финансовой инженерии.

Теорема 1.

ELMM ==> NAa, (1)

EMM ==> NAg. (2)

Доказательство. Пусть имеется стратегия 7г Є ПЭ(Х) иХж - ее капитал:

X? =XQ + [ (irs,dXs), t < Т. (3)

Jo

Предположим, что Р - мартингальная мера, эквивалентная мере Р. Как говорилось в замечании 1 в § 1а, свойство интегрируемости ТГ по X инвариантно относительно замены меры Р на ей эквивалентную меру Р. Тем самым, если 7Г Є Hg (X), то векторный стохастический интеграл в (3) опре-делен и по мере Р.

Идея доказательства того, что для стратегии я- 6 Пд(Х) с Xq — 0 от-сутствует арбитраж (в смысле выполнения свойства NAg), состоит в том, чтобы показать, что относительно меры Р процесс Хп является супермартингалом.

Действительно, если супермартингальное свойство выполнено, то

< = 0 (4)

и, следовательно, из условия Xj, > О (Р- и Р-п.н.) сразу получаем требуемое соотношение Xj, — О (Р- и Р-п.н.).

Итак, установим Р-супермартингальное свойство пропесса Хп. Если тг Є ПЭ(Х), то (Р- и Р-п.н.)

Xt = XS + l\\*„dx,) > -(9,Xt). (5)

Jo

В силу свойства линейности векторных стохастических интегралов, из (5) находим, что

[\\*.+g,dX.)>-XS ~(д,Х0). (6)

Jo

Относительно меры Р пропесс X, по предположению, является мартинга-лом, и, согласно результату Ж.-П.

X? = XS + Г(тг. + 9, dX3) - (д, Xt - Х0), (7)

J о

где стохастический интеграл есть Р-супермартингал, а (д, Xt — Хо)tДля доказательства утверждения (1) нужно лишь заметить, что из (6) с д — (а, 0,..., 0) следует, что стохастический интеграл (по локальному мар-тингалу) снова является локальным мартингалом. Поскольку Xа = 1, то дляд = (а, 0,..., 0) величина (д, Xt — Хо) = 0. Поэтому правая часть в (7) является Р-локальным мартингалом, и доказательство утверждения (1) завершается так же, как и в случае импликации (2).

Следствие. Из (1) вытекает, что

ELMM => NA+. (8)

2. Утверждения (1), (2) и (8) допускают усиление в следующей форме. Теорема 2. В семимартингалъной модели X = (l,^1,.. -,Xd)

ELMM Ж+, (9)

и если g = (g°,g1,...,gd) с gi > 0, i = 0,l,...,d, mo

EMM => Шд. (10)

Доказательство. Пусть ф Є ФЭ(Х), причем ф > 0. Тогда существует последовательность (фк)к>і функций из Ф„ (X) таких, что

ф(ш) — фк(ш)

IIф — l/^llg = ess sup

< і —> 0, к —> оо. к

д(Хт(ш))

Без ограничения общности можно считать, что для всех ш Є fi

1 ^ ф{Ш) - фк(и) ^ 1 .

fc^ g(XT( и)) ^ к (11)

и, значит,

Поскольку фк Є ФЭ(Х), найдется стратегия ігк Є ПЭ(Х) такая, что

Фк < fT{^,dXs). (13)

Jo

Вместе с (12) это приводит к неравенству

д(хт) , \' к ^

гТ

f (14)

Jo

которое показывает, что для последовательности стратегий (пк отри-цательная часть дохода ("риск"), описываемая стохастическими интегралами, стремится к нулю с ростом к ("исчезающий риск"). Неравенство (14), очевидно, равносильно тому, что

<з,хо) <

Поскольку \\ф - фк\\ < д(Хт)/к, то, с учетом (13), (15) и леммы Фату, находим, что

О « Цф = Ер Итфк = Ер lim(./,\' + (Ml_lM\\

-Т

< lim Ер J (тг* + < 0, (16)

где последнее неравенство следует из Р-супермартингального свойства сто-хастических интегралов J^ (тгк + ^ , dX3^j ,t < Т.

Таким образом, Р(г/> = 0) = Р(ф -= 0) = 1, что и доказывает импликацию (10). _

Для доказательства (9) предположим, что ф Є Ф+(-Х") и ф > 0.

||V-Vfe||oo=esssupHa;)-VfcHK І^О, (17)

и К

причем

фк ^ [ (*k,dX3) (18)

Jo

для жк Є Пак (X) при некоторых ак ^ 0. Из (17) и (18) получаем

j\\*k,dXs). (19)

Далее, как и в (16), находим, что

Ерф = Ер limфк = Eplim^fc

Ер lim fT(wk,dXs)

Jo

lim Ер f {wk,dX3)^0,

Jo

где последнее неравенство опять же следует из Р-супермартингального

ft

свойства стохастических интегралов J^ (irk,dX3), t ^ Т. Теорема доказана.