§ 4е. Мартингальный критерий полноты рынка. II. Доказательство достаточности в случае d = 1

Начнем с доказательства импликации {4}, предполагая Вп = 1, n ^ 1 (и, значит, гп = О, тг ^ 1), что, как уже отмечалось, не ограничивает общности.

С этой целью заметим, что в предшествующем параграфе при доказательстве "S-представимости" для СДД-модели ключевым моментом явилось то, что распределения вероятностей Law(pn | Р), п ^ 1, были сосредоточены в двух точках (а и Ь, а < Ь).

Иначе говоря, важным было то, что эти распределения являются "двуточечными" Оказывается, что соответствующие рассуждения остаются в силе и для более общих моделей, лишь бы только (регулярные) условные распределения Law(ASn 1; Р) или, равносильно, условные распреде- ~ Д S

ления Law(pn | Р), где рп = ———, являлись "двуточечными" и

Sn-1

ст-алгебры 9п = 1.

(1)

Р(р„ = ап | ^п_і)И + Р(рп = Ьп | - 1

Формально под свойством "условной двуточечности" мы понимаем то, что найдутся две предсказуемые последовательности а = (а„) и 6 = (6„) случайных величин ап = а„ (и) и b = Ьп (ш), п ^ 1, такие, что

и an(w) ^ 0, Ьп(ш) ^ 0 для всех ui ? !!, n ) 1. (В случае "слипания" значений ап(и>) и bn(w), очевидно, ап(и>) = Ьп(ш) = 0; этот вырожденный и неинтересный случай соответствует тому, что ASn(w) = 0, и, без потери общности, может быть сразу исключен из рассмотрения.)

Пустьрп{и>) = Р(рп = bn\\9n-i)(w), qn(w) - P(pn = an\\9n-i)(w). Свойство мартингальности последовательности S — (ST1, S*nt Р) приводит к условиям Е(/?п | ) = 0, п > 1, из которых следует, что

ьп [ш)рп (ш) + ап (w)g„ (ш) = 0, п > 1. (2)

Из (1) и (2) получаем (ср.

~ / ч ~ , . bn(w)

Рп И = t-J— г^ , д«Н = г-г . (3)

bn(w) — а„(ш) 6n(w) - ап(ш)

(Еслиап(ш) = Ьп(ш) = 0, то условимся считатьрп(ui) = qn(и>) —

Пусть X — (Хп,9%,Р) - локальный мартингал и функции дп = gn(xi,... ,хп) таковы, что Х„(ш) = дп(рі(ш),... ,Рп( ш)). По аналогии с (8) из § 4с видим, что

9п (pi (и), ¦ ¦ ¦, Рп-1М, ЬпМ) - gn-i {pi Н, • • ¦, Рп-1 М)

<7т»М

9п -1 {Pi И, • •., рп -і М) - дп {pi (ш),..., рп -1М, ап (и))

(4)

РпП

Далее, следуя тем же самым выкладкам, что и в (9)-(17) (§4с), находим, что для X имеет место "S-представление"

п fc=i

с ^_1-измеримыми функциями 7fc(u>), А > 1. Итак, импликация {4} доказана.

Обратимся теперь к доказательству импликации {2}, в соответствии с которой единственность мартингальной меры влечет за собой (в случае d = 1) "условное двуточие".

Если учесть, что с регулярными условными вероятностями P(AS„ Є • 19N-I)(oj) можно оперировать (для каждого w Є П) как

с обычными вероятностями, то требуемое утверждение об "условном двуточии" равносильно следующему:

Пусть Q - Q(dx) - вероятностное распределение на (R, такое, что J^\\x\\Q(dx) < оо, J^xQ(dx) = 0 ("мартингальное свойство"). Пусть

S*(Q) - семейство всех мер Q = Q(dx), эквивалентных мере Q = Q(dx) и обладающих свойством J^\\x\\ Q(dx) < оо, fx Q(dx) = 0.

Если семейство ^(Q) состоит только лишь из одной (исходной) меры Q, то, необходимым образом, эта мера должна быть "двуточечной": существуют а ^ 0 и Ь > 0 такие, что

Q(M) + Q({6}) = і

с возможным их "слипанием" в нулевую точку (а = Ь = 0).

Этому утверждению можно придать также следующую эквивалентную форму:

Пусть Z(Q) - класс функций z = z(x), іЄІ, таких, что

Q{x: 0 < z(x) < оо} = 1, / \\x\\z(x) Q(dx) < оо, / xz(x) Q(dx) = 0.

Jr. J к

Предположим, что для меры Q этот класс функций Z(Q) состоит лишь из функций Q-неотличимыхот единицы (Q{ж: Z(X) Ф 1} = 0). Тогда, необходимым образом, мера Q сосредоточена не более чем в двух точках.

Наконец, это утверждение может быть переформулировано и так:

Пусть ? = ? (я) - координатно заданная случайная величина с распределением Q = Q(dx) на (R,3§(R)).

Пусть Е|?| < оо, Е? = 0 и мера Q обладает тем свойством, что если Q ~ Q и Е|?| < оо, Ё? = 0, то Q = Q.

Тогда носитель меры Q сосредоточен не более чем в двух точках (скажем, а ^ 0 и b Js 0)с возможным их "слипанием" в "нулевую" точку (а = Ь = 0).

Для доказательства этих (равносильных) утверждений заметим, что всякое распределение вероятностей Q = Q(dx) на (R, ёё(Щ) может быть представлено в виде "смеси"

ciQi + C2Q2 + C3Q3

трех распределений: Qi - чисто дискретного, СЬ - абсолютно непрерывного и Q3 - сингулярного, с неотрицательными константами ci, с2 и сз, в сумме дающими единицу.

Идея доказательства становится весьма прозрачной уже в "чисто дискретном" случае, когда мера Q предполагается сосредоточенной в трех точках, скажем, х_, XQ W.

х-р_ + хоро + х+р+ = 0. (6)

Если жо = 0, то (6) принимает вид х-р- + х+р+ = 0. Положим

Р- ~ 1 , Ро ~ Р+ /~ч

что соответствует "перекачиванию" части масс ир+ в точках и х+ в точку хо = 0.

Из (7) ясно, что мера Q = {р~,Ро,р+}, "сидящая" в трех точках х-, хо иі+, является вероятностной, Q ~ Q и Е? = 0, причем Q ф Q, что противоречит единственности меры Q.

Тем самым, случай, когда XQ = 0, а мера Q сосредоточена в трех точках, не может иметь места.

Пусть теперь хо ф 0. Идея "перекачивания" масс из точек х_ и х+ в точку хо с пелью построения меры Q ~ Q может быть реализована, например, следующим образом. Положим

Р-=Р--?~, Ро =Р0 + (є- + ?+), р+=р+-є.

При достаточно малых е_ и е+ мера Q = {р_,ро,р+} является вероятностной, и надо показать, что возможен выбор положительных ?_ и ?+ так, что Е? - 0, т. е. чтобы

+ ХоРо + Х+Р+

- (х-р- + х0ро + х+Р+) — (є-Ж- + (є- + ?+)жо — = 0.

Поскольку Е? == Х-р- + ХоРо +х+р+ = 0, то положительные ?_ и ?+ надо выбрать так, чтобы

?+ ХО — x_ ?_ х+ — xq

Если обозначить Л = (>0), то понятно, что выбором сначала

Х+ — Хо

достаточно малого є _ и затем по нему значения є+ = Ає_ можно добиться того, чтор>_ > 0, ро > 0 ир+ > 0.

Тем самым, мера Q = {р-,ро,р+} является вероятностной, Q ~ Q, Q ф Q и Е? = 0, что снова противоречит единственноости мартингальной меры Q, и, значит, распределение Q не может иметь все три значения, ро и положительными.

Проведенную конструкцию нетрудно перенести и на тот случай, когда чисто дискретная мартингальная мера Q сосредоточена в конечном или счетном множестве точек {х^,г = 0,±1,±2,...} с соответствующими вероятностями {РІ,І — 0,±1,±2,...} и упорядоченных так, что • ¦ • < Х-2 < Я-1 Если в множестве {хг,і = 0, ±1, ±2,... } есть нулевое значение, скажем, XQ = 0, то надо положить

Рі = у , іф 0,

и

і-ЕІ^оРІ = —_—.

Тогда X) РІ = 1иЁ? = Y,xiPi = \\ Y,xiPi = і it

Мера Q — {РІ,І — 0, ±1, ±2,...} является вероятностной, Q ~ Q, Q ф Q и Е? = 0, что несовместимо с предположением единственности мар-тингальной меры.

Пусть теперь в множестве {ХІ ,Г = 0, ±1, ±2,...} все хг ф 0.

Р-і=Р-і-є-і, Р+1 Ро -Ро + (?-і + <ч-і)-

Тогда

= Е? - є-іх-і + (є_х + є+і)х0 - є+1х+х

= ?+(ХО - Х+І) + ?_l(x0 ~ x-i),

и тот же самый выбор є_і и є+і, как и в рассмотренном выше случае трех точек (х _, хо, х+), приводит к конструкции новой мартингальной меры Q, отличной от Q, но ей эквивалентной, что противоречит предположению единственности мартингальной меры Q.

Аналогичным образом рассматриваются и те случаи, когда у распределения Q есть абсолютно непрерывные и /или сингулярные компоненты.

2. Обратимся теперь к доказательству импликации {3}, устанавливающей, что единственность мартингальной меры влечет за собой то, что сг-алгебры 9П должны быть порождены пенами S:

9n = ^=a(S0,...,Sn), п ^ N.

Будем вести доказательство по индукции. (Заметим, что ег-алгебры и совпадают, поскольку, по предположению, = {0, ft}, и SQ является неслучайной величиной.)

Пусть (ft, P)nство, S = (Sn,&n, - последовательность цен (акций), где

Sn = (Si,...,S„). Чтобы не вводить новых обозначений, будем считать, что мартингальной мерой является сама мера Р.

Предполагая = рассмотрим множество А Є Положим

z = l + \\{lA-E(IA\\3*)). (8)

Ясно, что | < z < | и Ez = 1. Поэтому мера Р\' с P\'(dw) = г(ш)\'Р (dw) является вероятностной мерой и такой, что Р\' ~ Р. Пусть zt = E(z По "формуле Байеса" (см. (4) в § За)

О)

z\'(ASi | = Е ^j^—ASi j

Заметим, что, в силу предположения = ш (8) следует, что

E(z | 3-n-i) = 1. При этом z является ^„-измеримой функцией. Поэтому

Zj

— = 1, если і Ф п, и, значит, E\'(ASi | і) = 0 при всех іф п.

Zi-l

Поскольку —— = z, Е (z 1= 1 и ASn - ^-измеримы, то, в си-

zn-l

лу(12),

Е\'(Д5„ | $п-х) = E(zASn | = Е(zASn | = E(E(zA5n 1^)1^) = Е(дад* 1I = Е(Д5п I = 0,

где мы воспользовались также тем, что, согласно (8), E(z 1= 1.

Таким образом, последовательность пен (Sn, относительно ме

ры Р\' является мартингалом.

Предположение единственности мартингальной меры Р приводит, следовательно, к тому, что z = 1 (Р-п.н.) и, значит, в силу (11) для всякого А Є 3

IA = E{IA\\$sn) (Р-п.н.).

Отсюда следует, что с точностью до множеств Р-меры нуль 3-п =

Индукцией по п находим, что эти соотношения верны при всех п ^ N, что доказывает импликацию (3).

3.

Замечание 1. Полезно отметить, что приведенное доказательство теоремы В показывает, что дискретный во времени полный безарбитражный рынок (с N < оо, d = 1) является, на самом деле, дискретным и по фазовой переменной в том смысле, что сг-алгебра является чисто атомистической (относительно меры Р), состоящей не более чем из 2N атомов, что является непосредственным следствием "условного дзуточия" (В случае произвольного d < оо число атомов в не более чем (d+ 1)N ¦)

Замечание 2. То обстоятельство, что в случае N < оо, d < оо полный безарбитражный рынок обладает свойством, что ег-алгебра состоит из не более чем (d + 1)-^ элементов, приводит к тому, что на этих рынках понятия полноты и совершенности совпадают.