§ Зс. Конструкция мартингальных мер в случае процессов Леви. Преобразование Эшера

(1)

dPT - ZTdPT,

где ZT задается выражением (54) из предыдущего параграфа.

В основе преобразования Эшера как метода построения новой меры лежит, в сущности, та же самая идея. Но только в качестве исходного процесса X = (Xt)t^T рассматриваются процессы с независимыми при-ращениями (в частности, образованные суммами независимых случайных величин).

Сама же конструкция этой меры осуществляется по формуле

Напомним, что с преобразованием Эшера и его обобщением ("услов-ное преобразование Эшера") мы уже сталкивались в § 2d, гл. V (см., в част-ности, замечание в п. 2). Полезно также отметить, что, как метод построения "риск-нейтральных" вероятностных мер, приписывающих "больший вес неблагоприятным событиям" и "меньший вес благоприятным" преобразование Эшера исходной меры Ру в меру Ру известно в актуарном деле со времен статьи Ф. Эшера (F. Esscher, [144]), опубликованной в 1932 г.

Например, при расчетах премии в "страховании жизни" страховые компании исходят не из (известного с большой точностью) распределения Ру длительности жизни ("таблицы смертности второго рода"), а из некоторого иного распределения Ру, отличного от Ру ("таблицы смертности первого рода") и имеющего отмеченное свойство перераспределения "веса" между благоприятными и неблагоприятными событиями.

Прежде чем переходить к рассмотрению преобразования Эшера в общем случае, остановимся сначала на следующем простом примере (ср.

Пусть X - действительнозначная случайная величина с преобразованием Лапласа Ф(А) = Еехх < оо, А Є К, и Р = P(da;) - ее распределение вероятностей на (R,

Введем семейство вероятностных мер Р(а\\ а Є К, определяемых пре-образованием Эшера:

„ах

(2)

P(a>(^) = ^yP(dx).

Если положить

то видим, что ZW(x) >0, EZ^(X) — 1, мера ~ Р и

(4)

P^{dx) = ZM(x)P(dx).

Ясно также, что

откуда

(6)

0Ф<в>(А) _ Ф\'(а)

Ер(а,Х" ЭА л=0_Ф(а)"

В § 2d, гл. V, было показано, что если случайная величинах такова, что Р(Х > 0) > 0 и Р(Х < 0) > 0, то функция Ф(а) достигает своего минимального значения в некоторой точке а, для которой, очевидно, Ф\' (а) = 0.

Тем самым, относительно меры Р = р(°) математическое ожидание ЕХ = Ер(3)Х = 0, что выражают словами, что Р есть "риск-нейтральная" вероятностная мера.

Свойство ЕХ = 0 можно рассматривать также как "одноэтапную" версию свойства "мартингальности" что объясняет другое наименование для Р - мартпингалъная мера.

4. Пусть теперь X = (Xt)t^T ~ процесс Леви с характеристической функцией (см. (27) в § За и § lb в гл. III)

Ее1\'6*\'(7)

где кумулянта

ф{в) = івЬ - у с + J (еівх - 1 - івд(х)) u{dx) (8)

и g(x) - функция урезания (например, д(х) = xl(\\x\\ < 1)).

Из формул (7) и (8), формально полагая в = —iX, находим, что

EeXXt = ettp(x\\ (9)

где

А2

А2 Г

(10)

V(A) - ХЬ + — с + / (еХх - 1 - Ар(х)) і/(dx).

2 J к

Строгое доказательство представления (9)—(10) для преобразования Лапласа проще всего получить, основываясь на том замечании, что процесс

с

Zt(A)=exp{AXt-MA)} (И)

является мартингалом.

По аналогии с (2) введем для каждого а Є К вероятностную меру Ру \\ определив ее с помощью преобразования Эшера:

dP = ZdPT, (12)

где Рт - вероятностная мера на (ії,9т), относительно которой процесс X = (Xt)t^T является процессом Леви с локальными характеристиками (Ь, с, v).

Теорема 1. Относительно меры \\ а Є К, процесс X ~ {Xt)t^T также является процессом Леви с преобразованием Лапласа

Ер«оеАХ\'=^(°)(А), (13)

где

ір(аЦ\\) = (р(а + А) — <р(а). (14)

Доказательство вытекает из "формулы Байеса" (§ 3d, гл. V), согласно которой (Pj^-H.H.)

= Ee_ e(v(o+A)-».(o))(t-s)_

Отсюда видим, что по мере Р^, определяемой преобразованием Эшера (12), процесс X — (Xt)t^T также является процессом Леви с преобразованием Лапласа, задаваемым формулами (13) и (14). (Ср. с теоремой Гирсанова из § ЗЬ.)

Теорема 2. Относительно меры а є К, локальные характеристики (?/°)процесса X = (Xt)t^T определяются по ло-кальным характеристикам (Ь, с, и) по формулам (д(х) - функция урезания):

ъЫ=Ь+ас+ [ д(х)(еах -l)v(dx), (15)

J к

с(а> = с, (16)

v^{dx) =eaxu{dx). (17)

Доказательство . В силу теоремы 1, процесс X по мере является процессом Леви с

<р(а>(А) - АЬ^ + ^с<а> + [ (еХх - 1 - Ад(х)) ^a\\dx). (18)

2 J к

Учитывая, что <^а^(А) = ір(а + А) - <р(Л), А Є К, из (18) и (10) непосредственно получаем "формулы связи" (15)-(17).

5. Пусть X = (Xt)t^T является процессом Леви (относительно меры Рт)- Будучи семимартингалом, этот пропесс допускает (вообще говоря, неединственное) каноническое разложение X = -М+А, где М - локальный мартингал и А — процесс ограниченной вариации. Вопрос, которым мы сейчас будем заниматься, состоит в следующем: при каких условиях на локальные характеристики (Ь,с,у) процесс X является локальным мартингал ом (номере Рт)-

По-другому, можно сказать, что мы интересуемся условиями, при кото-рых мера Рт является мартингальной для процесса X.

Прежде всего, отметим, что если X - локальный мартингал, то, сле-довательно, он является специальным семимартингалом и, значит, необходимым образом должно выполняться условие

(х2 А |®|) * v Є Мое (19)

(см.

Пусть X - специальный семимартингал и

X = N + А (20)

является его каноническим разложением (N - локальный мартингал и А- предсказуемый процесс ограниченной вариации), а

Х = В + Хс+д*(ц-и) + (х-д) * р (21)

- его каноническое представление, которое (в силу (19)) может быть пере-писано в виде

X = В + Xе + д * {ц - v) + (х - д) * (ц - и) + (х - д) * и. (22)

Из сопоставления (20) и (22) находим, что

А = В + (х — д) * v, (23)

(24)

В + (х - g) * г/ - 0.

и, следовательно, можно утверждать, что специальный семимартингал X с триплетом предсказуемых характеристик (В, С, и) является ло-кальным мартингалом тогда и только тогда, когда

Из всего сказанного следует, что процесс Леви X с триплетом локальных характеристик (Ь, с, и) является специальным семимартингалом в том и только том случае, когда

J (х2 А |®|) u(dx) < оо (25)

(см. (20) в § За), и, к тому же, является локальным мартингалом в том и только том случае, когда

Ь+ f(x-g{x)) u{dx) =0. (26)

J R

Если g(x) = xl(\\x\\ ^ 1), то условие (26) принимает следующий вид:

b+ f xv(dx) = 0. (27)

J\\x\\>l

Может, конечно, оказаться, что относительно исходной меры Р усло-вие (26) не выполнено. В этом случае полезно обращение к мерам \\ построенным выше с помощью преобразования Эшера. Поскольку "но-вые" локальные характеристики с^а\\ г/а\') определяются формулами (15)—(17), то из (25) и (27) мы заключаем, что относительно меры Р^ процесс Леви является локальным мартингалом в томи только том случае, когда

J(х2 А |х|)еаж u(dx) < оо (28)

и

Ь+ас+ [ xv{dx)+ [ х(еах - l) u(dx) = 0. (29)

J|x|>l JR

Пример 1. Пусть Xt = mt + oBt + kNt, где В - стандартное бро-уновское движение и N - стандартный процесс Пуассона с параметром

и > 0 (ЕNt ut). Выясним, при каком значении параметра а процесс

X = (-Xt)t^y относительно меры Р^ становится локальным мартинга-лом.

(ЗО)

Xt = {rn + ku)t + сгBt + k{Nt - ut),

Представляя Xt в виде

видим, что этот процесс будет заведомо мартингалом относительно исход-ной меры, если

т + ки = 0. (31)

Пусть теперь т + ки ф 0.

ЕеА(*лг{) = 1) (32)

и локальные характеристики bvic процесса X имеют (с функцией урезания д{х) = xl(\\x\\ < к)) такой вид:

Ъ — т + ки, с = сг2.

Из (29) находим для а следующее уравнение (интегрирование по множеству {х: |ж| > 1} надо заменить интегрированием по {х : х > А;} в силу выбора в качестве функции урезания функции д(х) = xl(\\x\\ ^ А;)):

(т + ки) + аа2 + ик(еак - 1) = 0. (33)

Если а2 ф 0, то существует корень, скажем, а, этого уравнения, и, следовательно, относительно меры Р^\' процесс X становится мартингалом. Если же а2 = 0, то корень а должен находиться из уравнения

из которого видно, что для существования корня значение т должно быть не равно нулю, причем тик должны иметь разные знаки.

6. Будем теперь предполагать, что процесс цен S — (St)t^T порождается некоторым процессом Леви X — {Xt)t^x\'-

St = eXt. (35)

Вопрос, рассматриваемый ниже и важный для проблемы отсутствия арбитражных возможностей, состоит в том, является ли процесс S мартингалом относительно исходной меры Ру или относительно некоторой меры \\ построенной с помощью преобразования Эшера. Как и в п. 3, начнем с рассмотрения простого примера.

Пусть X - действительнозначная случайная величина и Ф(о) = ЕеаХ. (Предполагается, что Ф (а) < оо, а є Ж.) Тогда понятно, что случайная величина 5 = ех обладает (относительно исходной меры) "мартингальным" свойством Е5 = 1, если Ф(1) = 1.

Если Ф(1) ф 1, то можно попытаться найти такое а, чтобы относительно меры Ру \\ построенной с помощью преобразования (2), было выполнено

"мартингальное" свойство Е (a)S = 1.

рт

Поскольку

е<*+»х Ф(а + 1)

Ч0)5~е"фы~"^Г\' (36)

то значение а должно быть корнем уравнения

Ф(а+1)-Ф(а) =0. (37)

Если, например, X является нормально распределенной случайной величиной с параметрами т и а2, то, поскольку

Ф(а) - ЕеаХ = еат+ 2 , (38)

из (37) находим, что

<39>

Обратимся теперь к процессу S = (St)t^T, определенному в (35).

Теорема 3. Для того чтобы, процесс S = ех был мартингалом относительно меры Ру, достаточно (а также и необходимо), чтобы

[ ех u{dx) < оо (40)

•/|х|>1

Ь+^с+(ех-l-g(x))*v = 0. (41)

Доказательство. Условие (40) вместе с условием (х2 Л 1) * v < оо обеспечивает конечность интеграла (ех — 1 — д(х)) * и. Ясно, что

Е(ех*~х° \\&s) = Еех*~х° =

где ip( 1) определено в (10), есть в точности выражение, стоящее в левой частив (41). Следовательно,

E(ext\\9s)=ex°,

что и доказывает мартингальность процесса S = ех. (Необходимость условий (40) и (41) показана в [250; гл. X.-fj 2а].)

7. Пусть условие (41) не выполнено. Согласно теореме 1,

Е (о)(ех\'-х* \\9а) = е(*-^)Ыа+1)-<р(а)) (42)

Рт

Поэтому ясно, что если а - корень уравнения

<р(а + 1) - <р(а) = 0, (43)

то относительно меры процесс S = (St)t^.T будет мартингалом. Из (43) с учетом (18) приходим к следующему результату:

Теорема 4. Пусть а, таково, что

\\eSx(ex - 1) -р(х)| *і/ < оо

и

Ь+ fz + І)с + (е°х(ех - 1) - $(*)) * і/ = 0. (44)

Тогда относительно меры Р^ процесс S = {St)t^.T является мар-тингалом.

Пример 2. Пусть St = eXt, где пропесс X = (Xt)t^o определен в примере 1. В этом случае уравнение (44) принимает такой вид:

2

(т+~)+аа2+ v[eak(ek-1)]=0. (45)

Если ст = 0,А;^0,то(45) превращается в уравнение

„ак ™

- " п(е*-1)\' <«>

которое заведомо имеет решение, если m ф 0, а А; и т имеют разные знаки. Если А; = 0, то

St = emt+что является стандартной моделью геометрического броуновского движе-ния (гл. Ill, §4Ь). По формуле Ито

2

dSt=St((m+Y)dt + odBt). (48)

1 УУЪ

Из (45) или из (39) находим, что а = — и

Поскольку

ер;

(а)ЄХХІ = А + А2]|,

то видим, что

Иначе говоря, относительно меры Р^\' процесс (Xt)t^T имеет то же са-

2

мое распределение, что и пропесс (aWt ——t) , где W = (Wt)tv 2 / t^T

стандартный винеровский процесс (ср. с примером в конце § ЗЬ), а процесс S = (St)t^.T становится стандартным геометрическим броуновским дви-жением.

Тем самым, в рассматриваемом случае конструкции мартингальной меры и с помощью преобразования Гирсанова, и с помощью преобразования Эшера приводят к одному и тому же результату. (Это, впрочем, и неудивительно, поскольку в данном случае мартингальная мера является единст-венной, а процесс Xt = nrt + oBt одновременно является и диффузионным, и процессом с независимыми приращениями.)

Замечание. О преобразовании Эшера и применениях к расчетам опционов см. работы Г. Гербера и Е. Шиу (Н. U. Gerber, Е. S. W. Shiu, [177], [178]).