§ 1с. Локальные мартингалы, мартингальные преобразования, обобщенные мартингалы

Это и определяет то, что проводимый далее стохастический анализ часто называют "мартингальным" или "стохастическим исчислением" подразумевая под этим анализ на фильтрованных вероятностных пространствах, специализированных выделением на (обычных) вероятностных пространствах особой структуры - потока сг-алгебр (ЗРп).

В современном стохастическом исчислении, пожалуй, более важную роль играет не понятие мартингала, а понятие локального мартингала. Замечательным является то обстоятельство, что хотя класс локальных мартингалов шире класса мартингалов, он сохраняет многие важные свойства последних. Дадим ряд определений.

Пусть (Г2, , (?¦„), Р) - стохастический базис, т.е. фильтрованное вероятностное пространство, с дискретным временем, п ^ 0.

Определение 1. Последовательность случайных величин X — (Хп), заданных на стохастическом базисе, называется стохастической последовательностью, если при каждом п ^ 0 величины Хп являются ^„-измеримыми.

Чтобы подчеркнуть это свойство измеримости, стохастические после-довательности записывают в виде X = (-Х"щ включая в обозначение также и а-алгебры относительно которых измеримы величины Хп.

Определение 2. Стохастическая последовательность

X = (Хп,^п)п^о

является

мартингалом, супермартингалом, субмартингалом, если Е|Х„| < оо при каждом п^Ои (Р-п.н.) для всех п ^ 1

Е(Хп | $п-\\) = Xn_i, Е(Хп \\&n-i) < Хп-1, Е(Х -^П —І5

соответственно.

Понятно, что для мартингала математические ожидания ЕХп = Const (= EXQ), ДЛЯ супермартингала они не возрастают (ЕХп < EJCN_I), для субмартингала - не убывают (ЕХп > EXn_i).

Классическим примером мартингала является "мартингал Леви" X = (Хп) с Хп = Е(? 13-п), где (, - ^-измеримая случайная величина с Е|?| < оо.

Этот мартингал является равномерно интегрируемым, т.

supE(|X„|J(|X„| > С)) 0, С-+00.

п

В дальнейшем через Ж\\ц будем обозначать класс всех равномерно интегрируемых мартингалов (UI - от Uniformly Integrable). Класс всех мартингалов будет обозначаться Ж.

В том случае, когда рассматриваемые мартингалы определены лить для п ^ N < оо, понятия мартингала и равномерно интегрируемого мар-тингала, очевидно, совпадают (Ж = Ж\\п)-

Иногда для Ж\\л и Ж используются также обозначения Жщ(Р, (Зп)) кЖ(Р, (&п)), если надо подчеркнуть, относительно какой меры Р и какого потока (3"п) рассматривается свойство "мартингальности"

Определение 3. Будем называть стохастическую последовательность х : (ХП, С Е|ЖП| < ОО мартингал-разностью, если — (0, &})

Е(хп | &п_г) = 0 (Р-п.н.), п ^ 1.

Ясно, что для такой последовательности х = (ж„) соответствующая

"суммарная" последовательность X = (Хп, 3"п) с Хп = Хо + Ь хп

образует мартингал. И наоборот, с каждым мартингалом X — (Хп, связывается мартингал-разность х = (хп, с хп = АХп, где АХп = Хп — Xn-i дляn ^ 1 и Д-Хо = Хо для п = 0.

Определение 4. Будем называть стохастическую последовательность X — (Хп,&п) локальным мартингалом (субмартингалом, супермар-тингаломt), если найдется такая (локализующая) последовательность (Tk)k^ 1 марковских моментов (т.е. таких, что {и: тк < п} Є п ^ 0; см. также далее определение 1 в § If), что rfc < rjt+i (Р-п.н.), r^ f оо (Р-п.н.), к -> оо, и каждая "остановленная" последовательность

является мартингалом (субмартингалом, супермартингалом).

Замечание 1. В определение локального мартингала часто включают требование, чтобы последовательность ХТк была при каждом к ^ 1 не только мартингалом, но и равномерно интегрируемым мартингалом (см., например, [250]).

Отметим также, что иногда, желая рассматривать и такие последовательности X = {Хп,&п), для которых "начальная" случайная величина Хо не интегрируема, остановленные последовательности ХТк опреде-ляют несколько иначе:

ХЪ = (ХТкЛп1(тк>0),?п).

Для класса локальных мартингалов используется обозначение Ж\\ос или ^Юс(Р, (^„)).

Из определения 4 следует, что всякий мартингал является локальным мартингалом и, тем самым,

Ж С Ж\\ос-

Если X Є Ж\\ос и семейство случайных величин

Е = {Хт: т - конечный момент остановки}

равномерно интегрируемо (т.е.

v xTeS \'

то X является мартингалом (X € Ж) и, более того, мартингалом Леви: существует интегрируемая ^-измеримая случайная величина Х^ такая, что Хп = Е(Хоо | З\'п). Тем самым, в этом случае X Є (Подробнее

см. [250; § 1е, гл. I] или [439; §4, гл. VII].)

Определение 5. Будем называть стохастическую последовательность X = (Хп, о обобщенным мартингалом (субмартингалом, супер

мартингалом), если Е|Хо| < оо, для каждого п ^ 1 определены обобщенные условные математические ожидания Е(Хп | 3"п-\\) и выполнено условие

Е(Х„ | 3"п-\\) = Xn-i (Р-п.н.)

(выполнены условия Е(Хп | З\'п-1) ^ Хп-і, Е(Х„ | З\'п-1) Xn-i соот-ветственно).

Замечание 2. Из определения (см. § lb) обобщенного математического ожидания Е(Хп \\ Зп-х) и "мартингального" равенства Е(Х„ | З\'п-1) - Xn-i автоматически следует, что Е(|Х„| | &п-і) < оо (Р-п.н.). Иначе говоря, условное математическое ожидание Е(Хп \\ З\'п-1) не только определено, но и конечно. Тем самым, в определении 5 сразу можно предполагать, что Е(|Х„| | З\'п-1) < оо (Р-п.н.), п > 0.

Определение 6. Будем называть стохастическую последователь-ность х = (жп, Зп)п^1 обобщенной мартингал-разностью (субмартингал-разностью, супермартингал-разностью), если для каждого n ^ 1 определены обобщенные условные математические ожидания Е(х„ \\3;п-\\) и выполнены условия

Е(ж„ | З\'п-!) — о (Р-п.н.)

(соответственно, условия Е(ж„ I ^ 0, Е(хп \\ З\'п-1) < о (Р-п.н.)).

Замечание 3. Как и в предыдущем замечании, в определении обобщенной мартингал-разности можно сразу требовать, чтобы выполнялось условие Е(|ж„| | З\'п-1) < оо (Р-п.н.), п > 1.

Определение 7. Пусть М = (Мп,&п) ~ стохастическая последовательность и У = (У„, Зп-х) ~ предсказуемая последовательность (У„ - Зп -1 -измеримы, п ^ 1, и Yo - ^о-измеримо).

Стохастическая последовательность

где

(Y-M)n = Y0-M0+ ? *АМ*>

l^fc^n

называется преобразованием М с помощью Y. Если, к тому же, М есть мартингал, то X = Y ¦ М называют мартингалъним преобразованием (мартингала М с помощью (предсказуемой) последовательности Y).

Следующая теорема устанавливает, что в случае дискретного времени объекты, введенные определениями 4, 5 и 7, родственны между собой.

Теорема.

тельность с Е|.Хо| < оо. Следующие условия являются эквивалентными:

X - локальный мартингал (обозначение: X Є Міос);

X - обобщенный мартингал (обозначение: X € GM);

X есть мартингальное преобразование (обозначение: ХєМТ), m. е. X = Y - М с некоторой предсказуемой последовательнос-тью Y = (У„, S\'n-x) и некоторым мартингалом М — (Мп,&п).

Доказательство. (с)=>(а). Пусть X Є МТя

п

Хп=Х0 (1)

fc=i

где Y - предсказуемая последовательность и М - мартингал. Если l^fcI C,k ^ 1, то X, очевидно, мартингал.

В противном случае положим Tj = inf{n — 1: |У„| > j}. Поскольку Yn - cPri- i-измеримы, то Tj - моменты остановки, Tj t оо, j -> оо, и "остановленные" последовательности Хті снова имеют вид (1) с ограниченными Ykj = Ykl{k < Tj}. Следовательно, X є М\\ос.

=>(b). Пусть X Є М\\ос и (rfc) - его локализующая последовательность. Тогда | < оо и Е(|Хп+1| \\&п) = 11 на множестве {тк > п} € &п. Поэтому E(|Xn+i| | &п) < оо (Р-п.н.).

Аналогично, на этом же множестве {т^ > п}

Е(Хп+1 | Тем самым, X Є GM.

=>(c). Пусть X Є GM. Положим

An(k) = {w: E(|X„+i| Є [k,k+ 1)}.

Тогда

«» = 1)~3АХп1Ап_йк)

к^О

- З\'п -измеримая интегрируемая случайная величина с E(un \\3"n-i) — 0.

n

Следовательно, Мп = ^ и І является мартингалом (полагаем MQ = 0) »=1

и (1) выполнено для Y = (У„), где

У„ = ][> + l)3/A„_lW-

fc^O

Таким образом, X Є JIT.

2. Важность понятий локального мартингала, мартингального преобразования и обобщенного мартингала в финансовой математике в полной мере будет проиллюстрирована в гл. V. Эти понятия играют важную роль и в стохастическом исчислении, что можно продемонстрировать, например, следующим образом.

Пусть X = (Хп, является локальным субмартингалом с лока

лизующей последовательностью (rfc), где Tfc > 0 (Р-п.н.). Тогда при каждом к для Х(Тк^ — (ХПАтк і &п) имеем разложение

Хплгк = А^ + М<т*>

с предсказуемыми последовательностями (Апк^)п~^о и мартингалами

(мкТк))п> о-

В силу единственности этого разложения (с предсказуемыми последова-тельностями (4Ti))n^o) нетрудно вывести, что

a(t1;+i) = A<т*>

¦^nATjt n

Полагая Ап — для n sj видим, что (Хп — Ап)„^о является ло

кальным мартингалом, поскольку "остановленные" последовательности

fv(-nfc) _ А(тк)\\

являются мартингалами.

Итак, если X = (Х„, Зп)п^о является локальным субмартингалом, то

Хп=Ап + Мп, 0, (2)

где А = (Ап)~ предсказуемая последовательность с Ао = 0, аМ - (Мп) является локальным мартингалом.

Следует отметить, что в этом случае последовательность А =¦ (Ап) яв-ляется возрастающей (точнее, неубывающей), что вытекает из явной формулы для Апк^\'-

і^пЛт^

и свойства субмартингальности, Е(ДХ* | S\'i—x) >0.

Отметим также, что разложение вида (2) с предсказуемым процессом А = (Ап) является единственным.

Определение 8.

(Термин "компенсатор" объясняется тем, что А компенсирует X до локального мартингала.)

3. В заключение приведем один простой, но полезный результат из [251], дающий достаточные условия, при которых локальный мартингал в действительности есть (просто) мартингал.

Лемма. 1) Пусть X = {Хп,&п)п^о является локальным мартин-галом с Е|Ха[ < оо, таким, что либо

ЕХ~ < оо, п^О, (3)

либо

ЕХ+ < оо, п^О. (4)

Тогда X = (Хп,&п)п^о - мартингал.

2) Пусть X -- - локальный мартингал, N < оо,

Е|-Хо| < оо и либо ЕХй < оо, либо ЕЛГ^ < оо. Тогда для всех п < N выполнены условия (3) и (4), и X = (Xn,&n)o^.m$.N ~ мартингал.

Доказательство. 1) Покажем, что любое из условий (3) или (4) влечет за собой выполнение другого, а значит, Е|Х„| < оо, п р 0.

Действительно, если выполнено, скажем, (3), то по лемме Фату [439; гл. И, §6]

+ ЕХпЛТк\\

к к к

п

= ЕХо + lim?X-ATjt < |ЕХо| + ? ЕХ~ < оо.

•=о

ЕХ+

Следовательно, Е|ХП | < оо, п > 0.

п+1 п+1

Далее, поскольку |Х(п+1)Лтд. | < ? №1>г.ДеЕ J2 < оо,топоте-

і=0 і=0

ореме Лебега о мажорируемой сходимости [439; гл. II, § 6 и 7] в результате предельного перехода (к —> оо) в соотношениях

Е(хткл(п+1)1(тк > о) I = ХТкЛп

получаем, что E(Xn+i \\S"n) = Хп, п ^ 0.

2) Заметим, что если ЕХ^ < оо, то тогда и ЕХ~ < оо, п < N. Действительно, поскольку локальный мартингал является обобщенным мартингалом, то, значит, Хп = E(Xn+i | &-п), откуда Х~ < Е(Х~+1 | а потому и ЕХ~ < ЕХ~+1 < ЕХ^ для всех п < N — 1.

Тем самым, из 1) следует, что JC — (-^ти является мартинга

лом.

Аналогично рассматривается и случай ЕХ^ < оо.

Следствие. Всякий локальный мартингал X = (Хп)п^о, ограниченный снизу (infnX„(w) ^ С > —оо, Р-п.н.) или ограниченный сверху (supn.Xn(w) С < оо, Р-п.н.), является мартингалом.

4. Утверждение доказанной леммы интересно сравнить с соответствующим результатом для случая непрерывного времени.

Если (Г2,&, (^)^о, Р) - фильтрованное вероятностное пространство с неубывающим семейством ст-алгебр (^t)t>o (-^з Q Q 3~ s ^ t), то стохастический процесс X = (Xt)t^o называется мартингалом (супер- мартингалом или субмартингалом), если Xt-^-измеримы, E|Xt| < оо, 0, и E(Xt | = Xs (E(Xt I < или E(Xt | &a) > Xs), s ^ t. Процесс X = (Xt)t^о называется локальным мартингалом, если можно найти неубывающую последовательность моментов остановки. (rk),

Tfc t оо (Р-п.н.), таких, что при каждом к "остановленные" процессы ХТк = {XtATkI(rk > 0),.^j) являются равномерно интегрируемыми мартингалами.

Те же рассуждения, что и при доказательстве леммы, основанные на применении леммы Фату и теоремы Лебега о мажорируемой сходимости [439; гл. II, § 6 и 7], позволяют доказать справедливость следующих ут-верждений.

I. Всякий локальный мартингал X = (Xtтакой, что EsupXJ~ <оо, t р О,

является супермартингалом. II. Всякий локальный мартингал X = (-Xt)t^o такой, что

Esup l-Xsl < оо, О,

s^t

является мартингалом. III. Всякий локальный мартингал X — (Xt)t^о такой, что

Е sup |-Xs| < оо, t р О,

л< оо

является равномерно интегрируемым мартингалом.

Полезно обратить внимание на то, что в случае дискретного времени из ЕХ~ < оо, п < N, вытекает, что Е max Х~ < оо. В случае же непре-

п^АГ

рывного времени из E.Xj~ < оо, t < Т, не следует, вообще говоря, ТО, ЧТО

Е sup Xj~ < оо. Это обстоятельство и есть, в сущности, основная причина t^T

того, что результат приведенной выше леммы не переносится автоматически на случай дискретного времени.

Отметим также, что в утверждении I локальный мартингал может оказаться действительно "настоящим" супермартингалом, т.е. не быть мартингалом.

Вот хорошо известный

Пример. Пусть В = (В\\, B?,B?)t^Q - трехмерное броуновское движение,

Rt = у/да + да + да и я0 = j{Bif + №)2 + {Bi)* = і.

Известно, что этот процесс, называемый процессом Бесселя порядка 3, допускает стохастический дифференциал

dt

dRt = — + d/3t, Bo = l, tU,

с некоторым стандартным броуновским движением /3 : (0t)t^o (см. § За, гл. III, и, например, [402]).

По формуле Ито (см. § 3d в гл. ПІ, а также [250], [402])

df(Rt) = f\'(Rt) dRt + \\f"(Rt) dt

для f(Rt) = l/Rt, применение которой здесь законно, поскольку для трехмерного процесса Бесселя R с RQ = 1 нулевое значение недостижимо, находим, что

dl

UJ R2t \'

или, в интегральной форме,

JL = і _ Г УЬ.

Rt Jo R*

d0A Rs J t>О

* d/ЗЛ

-j^- J является локальным мартин-

галом (см. [402]), а значит, процесс X = (XT)T^о с XT = —, XQ = 1, есть

Rt

локальный мартингал, не будучи мартингалом.

Действительно, из свойства автомодельности (см. далее § За в гл. III) броуновских движений В1, В2, В3 следует, что

EXt = E 1

у/1 + (В1 - В*)* + (Б? - В1)2 + (В3 - В3)*

= Е . , ¦ =: 10, t —>• оо,

где г = 1,2,3, - независимые стандартные нормально распределенные величины, & ~ 1).

В случае же "мартингальности" математическое ожидание ЕXt должно было бы быть константой.