§ Id. Гауссовские и условно-гауссовские модели

Предположение гауссовости распределений Law(/ii,..., hn ) величин hi,..., hn является, конечно, наиболее привлекательным и с точки зрения теоретического анализа, и с точки зрения хорошо развитой "статистики нормального распределения" Но, как отмечалось выше, приходится констатировать (и считаться с этим), что статистическая обработка данных многих финансовых рядов показывает, что предположение гауссовости не всегда адекватно отражает истинную картину поведения цен.

Если пытаться искать альтернативу предположению о гауссовости без- условньіхраспределенийЬатлг(/іі,..., hn)последовательностиh = (/in)n^i, то, имея в виду "разложение Дуба" которое определяется с привлечением условных математических ожиданий Е(hn \\ 3"п-\\), вполне естественной представляется идея считать, что не безусловные, а условные распределения вероятностей Law(/in | З\'п—х) являютсягауссовскими:

Law(/in | З\'п-х) — ^(А\'тСп) (1)

с некоторыми З\'п _х -измеримыми /in =/in(w) и = сг2( ш).1)

Говоря точнее, (1) означает, что (регулярное) условное распределение P(/in < х | Зп-і) задается формулой (для всех іеКишЄЙ)

1 гх (у-ип(ы))2

Р(А„ < * I = -== / е dy.

у/Ъксг^ J - оо

избежание рассмотрения тривиальных случаев, требующих тем не менее специальных оговорок, мы будем всюду далее предполагать, что при всех га и ш величины <тп(ш) ф 0.

Из регулярности этого условного распределения вытекает (см.

ванием (для каждого фиксированного ш Є fl):

/

оо

xdP(hn <®|^„_i)(w),\'

¦ОО

что в рассматриваемом случае приводит к формуле

Е(ЛП | = /in- (2)

Аналогично,

D(/l„ | З\'п-х) = <т2. (3)

Таким образом, "параметры" /І„ И СТ2 имеют простой "традиционный" смысл - это условное среднее и условная дисперсия (условного) распре-деления Law(/i„ | ).

Само же распределение Law(/i„) является, тем самым, взвесью (или смесью) условных гауссовских распределений Law(/in | &п—\\) с усреднением по распределению величин /х„ и ст2.

Отметим, что класс распределений, образованных "взвесью" нормальных распределений jY(pi,cr2) со "случайными" параметрами ц — A»(w), а2 = Наряду с последовательностью h = (Л„), целесообразно ввести "стан-дартную" условно-гауссовскую последовательность є — (єп)п^і .^п-измеримых случайных величин таких, что

Law(e„ | і) = JT(0,1), где = {0,

Понятно, что эта последовательность является мартингал-разностью, поскольку Е(е„ | З\'п-х) = 0. Но, более того, это будет последовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное рас-пределение jV(0, 1), поскольку

Law(e„ |єі,...,є„_і) = 1).

В силу сделанного выше предположения (тп(ш) ф 0 (п р 1, w Є П) величины е„, п > 1, определяемые формулой ?„ = (hn — р,п)/ап, образуют стандартную гауссовскую последовательность. Следовательно, можно считать, что рассматриваемые условно-гауссовские (относительно пото-ка (З\'п) и вероятности Р) последовательности h = (hn)n^\\ представимы в виде

hn= цп+ <7„є„, (4)

где є — (єп) - последовательность независимых З\'п-измеримых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение, jV(0,1). (По поводу представления последовательности h = (hn)n^i в общем случае, т.е. когда ст„ может обращаться в ноль, см.

Ясно, что более детальное изучение вероятностных свойств последовательности h = (h„), а значит, и S — (S„), зависит от конкретизации структуры величин /Іп и . Именно это и делается в представляемых ниже моделях.

Заметим, что с точки зрения распределений последовательности h = (hn) и желания иметь условную гауссовость целесообразно бы-вает рассмотрение этого свойства в следующем контексте. Пусть (^n) ~ подфильтрация (З\'п), т.е. С З\'п-, ^п Q ^„+1,-например, = 3"п-1-

Предположим, ЧТО Law(/ln | ^п) — ^(/\'ni(rn) с Рп = а\\ = D(hn | В этом случае распределение Law(/in) также явля

ется смесью гауссовских.

Перейдем теперь к некоторым конкретным (линейным и нелинейным) гауссовским и условно-гауссовским моделям, в которых для п ^ 1 спе-цифицируются значения //„, сг„ и должны задаваться начальные условия (..., /і_ і,Ло) и (... ,?_і,Є0) для Л и є.

2. Авторегрессионная модель AR(p) порядка, р. В этой модели предпо-лагается, что

&п = <т(єі,...,є„) (5)

и

Рп = «о + aihn-i Н 1- врЛ„_р, (6)

оп = сг = Const (a > 0). (7)

Таким образом, здесь

hn = рп+ ап?п = оо + оіЛ„_і + 1- aphn-p + сгєп-

Последовательностьh — (An)n>i, называемая авторегрессионной моделью (AutoRegressive model) порядка р, требует для своего определения задания начальных значений Лі_р,..., ho- Если эти значения являются константами, то последовательность (hn)n^i будет не только условно-гаус- совской, но и (просто) гауссовской. В § 2Ь будет проведено более детальное рассмотрение свойств авторегрессионной модели первого порядка (р = 1).

Модель скользящего среднего MA(q). В этой модели (аббревиа-тура МА означает "Moving Average") задаются начальные значения (єі_9,... ,є_і,?о) и полагаются

Рп = Ьо + ЬіЄ„-1 + і>2Є„-2 "І + bg?n-q,

(б)

<7n = о = Const.

Следовательно,

hn = bo + Ьхєп-1 + Ь2Єп-2 н ь bqen-q + (9)

Модель авторегрессии и скользящего среднего ARMA(p,q). Полагается — <т(єі,. ..,?„), задаются начальные условия (єі-9, - • •, ?_і,?о), (Лі_р,...

= (во + яі/іп_і -I 1- арЛп_р)

+ (Ьієп_і+Ь2?п-2+ •••+&,?„_,), (10)

Модель такого типа порядка (р, д) обозначается ARM А (р, 9) (AutoRe- gressive Moving Average) и называется смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего порядка (p,q); она реализуется, если

hn = (во + aihn-i -I 1- врЛп-р)

+ (Мп-1 + Ь2?п-2 Н + bq?n-q) + <7?n- (11)

Все эти три модели, AR(p), MA(q) и ARMA(p, q), являются линейными гауссовскими моделями (если "начальные" условия есть, скажем, константы).

Перейдем теперь к некоторым интересным условно-гауссовским моделям, которые (в отличие от предшествующих) являются уже нелинейными.

Авто регрессионная модель условной неоднородности A R СН (р). Снова предполагаем, что последовательность є = (?„)„^і является (единственным) источником случайности, = а(єх,..., ?„),

Рп = E(hn 13"п-х) — 0, (12)

и

р і—1

где ао > 0, at > 0, г = 1,... ,р, = {0, fi} и Лі_р, ...,h0- заданные

начальные константы.

Иначе говоря, условная дисперсия является функцией от значений

h2 h2 п—1 \' " * \' п—р *

Эта модель, введенная (как уже отмечалось в § 2е, гл. I) в 1982 г. Р. Энг- лем (R.F. Engle, [140]) и названная им ARCH(p) (AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model - Авторегрессионная модель условной неоднородности), оказалась весьма удачной при объяснении ряда нетривиальных свойств временных финансовых рядов таких, как, например, эф-фект кластерности (скученности) значений величин h„. Итак,

Л„ = апеп, п ^ 1, (14)

где е = (е„) - последовательность независимых нормально распределенных случайных величин, ?п ~ Jf( 0,1), а<г? определяются по формуле (13). Если вместо (12) имеем

/in = оо + aihn-i + 1-or/in_r, (15)

а ст2 подчиняется условию (13), то (4) принимает форму

hn = а0 + аіЛ„_і Н 1-агЛ„_г+стп?„. (16)

Эти модели иногда обозначают AR(r)/ ARCH (р). Положим (считая Eh„ < оо)

yn = hl-a\\. (17)

Тогда, в силу (13),

р

h2n = «о + ? + ^п, (18)

•=1

где

Е(ип I = Е(hi I Рп-г) -<4 = 0,

т.е.

Таким образом, АЯСН(р)-мояель может рассматриваться как авторегрессионная модель AR(p) для последовательности (Л2) с "шумом" и --- (ип), являющимся мартингал-разностью.

6. Обобщенная авторегрессионная модель условной неоднородности GARCH(p, q). Успех применения модели ARCH(р) привел к появлению различных ее обобщений, уточнений, модификаций и т. п.

Приводимая модель GARCH(p,q) (Generalized ARCH - Обобщенная авторегрессионная модель условной неоднородности), введенная Т. Бол- лерслевом (Т. Bollerslev, [48]) в 1986 г., является одной из таких разновидностей.

Считая, по-прежнему,

цп = Е(Л„ | З\'п-х) = О,

вместо (13) будем предполагать, что

р ч

о* = Е(Л* = ao+YL^n-i + Eft-ff (19)

i=l 3 = 1

с Оо > 0, а,-, (3j > 0 и "начальными" условиями (/ii_p,..., Ло), (?Tj_9, ..., Uq), которые для простоты можно считать константами. Модель GARCHip, q) - это последовательность h = (hn),

hn = сгпєп, (20)

где (єі, ?2, ¦ ¦ ¦) - последовательность независимых одинаково распределенных, 0,1), случайных величин, а подчиняются соотношениям (19). Будем обозначать

р

= (21) •=1

гдеL-оператор сдвига(L*= см.п. 2в§2адалее),и

і=І

В этих обозначениях

= «о + a(L)/?_ J + P{L)cFn_x. Если, как и выше, положить z/n = А2 — , то получим

h2n = i/„ +¦ о2п = i/n + «о + a(L)/?_i + - f»-i)

= a0 + (a(?) + - +

Иначе говоря,

hi = «о + (a(L) + №))h2n-! + Vn -j3(L)vn-i- (23)

Тем самым, GARCH (р, д)-модель можно рассматривать как модель авторегрессии скользящего среднего, ARMA(max.(p, q),q), для последовательности (/г2 ) с "шумом11 (f„), который является мартингал-разностью.

В частности, для модели ARCH( 1) с

hn = On = ао + aihn-i

находим, полагая г/„ = Л2 — ст2, что

Л2 = ао + аі/і2_! + г/„,

где "шум" (г/„) образует мартингал-разность.

Разнообразные обобщения ARCH- и GАДСЯ-моделей (такие как EGARCH, AGARCH, STARCH, NARCH, MARCH, HARCH, ...) связаны, в конечном счете, с той или иной спецификацией величин ст2 = E(hn\\ &n-i) как функций, измеримых относительно ст-алгебр 9"п-\\ = о(е\\,...

7. Модель стохастической волатильности. Во всех предыдущих моделях источник случайности был один. Он задавался гауссовской последовательностью независимых величин Є — (є„). Модели стохастической волатильности включают в себя два источника случайности: є — (є„) и S — (6п), которые в простейшем случае предполагаются независимыми и стандартными гауссовскими последовательностями, т. е. состоящими из независимых, «Ж (0, ^-распределенных случайных величин.

Пусть = а(<>1 > • • • J Sn). Положим

hn = Опёп, (24)

где оп являются ^„-измеримыми.

Тогда ясно, что

Law (hn I ^„) = <Ж(0, cr2), (25)

0иоп

т.е. ^„-условное распределение hn является гауссовским с параметрами 2 п•

Положим

«7„ = (26)

Тогда а\\ — еЛп, где Д„ - ^„-измеримы. Весьма популярны модели, где последовательность (Дга) является авторегрессионной моделью, (Д„) Є AR(p),

Дп = ?*о + оіД„_і -1 \\г арД„_р + сёп.

Естественным обобщением (24) является схема, в которой

hn=nn + где /і„ и сгп - -измеримы.

В том случае, когда последовательность є = (є„) в (27) образует нормально распределенную стационарную последовательность с Ее„ - О, Еє2 = 1, а а = (ст„) не зависят от є = (єп)> соответствующая модель носит название "модели Тейлора"

На этом закончим здесь кр аткое обсуждение ряда гауссовских и услов- но-гауссовских моделей, находящих применение в финансовой математике и финансовой инженерии. Более подробное исследование свойств этих мо-делей будет проведено далее в разделах 2 и 3.