§ 1е. Биномиальная модель эволюции цен

состоящей из независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих всего лишь два значения, скажем, 1 и 0, с вероятностями pnq, p+q = 1.

Именно для этой схемы была получена (Я.

Sn / + • ¦ • + 5п \\ ы „ , ,

где — ( = ) - частота появления единиц среди Oj,..., о„.

п V п /

Именно для этой схемы были установлены многие другие замечательные результаты теории вероятностей (Предельная теорема Муавра-Лап- ласа, Усиленный закон больших чисел, Закон повторного логарифма,

Закон арксинуса, ...), которые, как оказалось, имеют гораздо более широкую область применений.

В этом смысле вводимая ниже биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox-Ross-Rubinstein), [82], играет в финансовой математике роль, сходную со схемой Бернулли в классической теории вероятностей - будучи весьма простой, эта модель дает возможность полного расчета многих финансовых характеристик, например, справедливых цен опционов, хеджирующих стратегий и др. (см. далее гл. VI).

2. Будем считать, что все финансовые операции происходят на (В,8)-рынке, состоящем из банковского счета В ~ {В„)п^о и акции, цена которой есть S = (Sn)n^o-

Представим эволюцию В и S в виде

Вп = (1 + гп)Вп-и (1)

Sn = (1 + Pn)Sn-i (2)

или, равносильно,

АВп = гпВп-1, ASn = PnSn-i

с Во > О, S0 > 0.

Основное отличие банковского счета от акции состоит в том, что ("банковская" процентная ставка)

rn - S\'n _ х-измерима,

тогда как ("рыночная" процентная ставка акции)

Рп ~ ^„-измерима,

где - фильтрация (поток информации) на данном вероятностном пространстве (fi, 3", Р).

В биномиальной модели (B,S)-puHKa Кокса-Росса-Рубинштейна ("CRR-модель") предполагается, что

rn = г = Const

ир = (рп)п^1 есть бернуллиевскаяпоследовательность независимых одинаково распределенных случайных величин pi, р2,..., принимающих два значения

Записывая рп в виде

а + Ь Ь — а Рп = -g— + -у- Єп (3)

или

Рп = а + (Ь-а)дп, (4)

находим, что

Рп

Сделанное допущение, что rn = Const, а рп принимают всего лишь два значения, позволяет с самого начала считать, что исходное вероятностное пространство Г2 есть пространство двоичных последовательностей:

Г2 = {а,Ь}°° или П = {-1,1}°°> или П = {0,1}°°.

Из (2) следует, что

Sn = S0 П(1 + РЙ). (5)

fc^n

Сопоставляя это выражение с (5) из § 1а, мы видим, что рк совпадает с вве-денными выше величинами hk- Понятно, что Sn могут быть представлены также в виде

Sn = 50ея» = Soehl+-+h»,

где Л„ = 1п(1 + рк). Ср.

3. Остановимся на одном частном случае, когда значения а и Ъ таковы, что

а = Л-1 — 1, б = А — 1,

где Л > 1.

В этом случае

A5„_i, если рп = Ь, A-15„_i, если рп — а. Если определить єп (= ±1) из (3), то Sn можно представить в виде

Sn = 50АЄ1+-+Є» (7)

или, что то же самое,

Sn = S0ehi+-+h" (8)

с hk = Єк In A.

Отсюда видно, что в рассматриваемом случае S — (Sn) есть не что иное, как геометрическое блуждание по множеству

ESo = {So\\k:k = 0,±l,...}.

Если So € Е = {Afc: к = 0, ±1,... }, то Es0 = Е. В этом случае говорят, что S = (Sn) есть марковское блуждание по фазовому множеству

Рассматриваемая биномиальная модель является дискретным аналогом геометрического броуновского движения S = (St)t^о5 т-е- случайного процесса, представимого в виде (ср. с (8))

St = S0e*w\'+b—*/*)*,

где W = (Wt)t^о ~ стандартный винеровский процесс, или стандартное броуновское движение (см. § За, гл. III).

В этой связи естественно напомнить, что соответствующим дискретным аналогом обычного броуновского движения является арифметическое случайное блуждание Sn — 5„_ і + ?„ с некоторой бернуллиевской последовательностью ? = (?„)„^і.

4. В предшествующем изложении мы начинали с того, что все рассмот-рения происходят на некотором фильтрованном вероятностном пространстве (fi, , (З\'п), Р) с некоторой вероятностной мерой. Вообще говоря, вопрос о том, какова вероятностная мера Р, а значит, и значения р = Р(рп = Ь) и q = Р(рп = a)i является далеко не простым. В определенном смысле более реалистичным было бы предположение, что на (П, 3-) задана не одна вероятностная мера Р, а целое семейство вероятностных мер 9" = {Р}, для которых соответствующие значения р = Р(рп — Ь) лежат в интерва-

ле (0,1).

Затрагивая вопрос о возможных обобщениях рассмотренной биномиальной модели, отметим, что весьма реалистично было бы также и предположение, что величины Рп принимают не два значения а и Ь, а значения из интервала [о, Ь], при этом, вообще говоря, распределением вероятностей рп может быть любое распределение на [а, 6]. Именно такая модель будет рассматриваться в § 1с, гл. V, в связи с теорией расчетов рациональной стоимости опционов на так называемых неполных рынках. В этом же параграфе будет рассмотрен и невероятностный подход, основанный на представлении, что рп - "хаотические" величины. (По поводу описания эволюции цен моделями динамического "хаоса" см. далее § §4а,Ь.)