10.1.3. Многопериодная биномиальная модель

Рассуждения, которые были использованы при определении стоимости опциона для двухпериодной модели, можно использовать и в случае деления времени обращения опциона на любое число периодов.

При j = 0 оценивается вероятность падения цены акции в каждом

периоде.

каждом периоде. Оцениваются все возможные комбинации движений цены акции за п периодов. Как мы видели в случае двухпериодной модели при п- 2, величина Sud могла быть получена двумя спосо­бами. Первый: значение S вначале выросло до Su, а затем упало до Sud . Второй: значение S вначале понизилось до Sd, а затем вырос­ло до Sdu. Так как Sud - Sdu , то в обоих случаях был получен оди­наковый результат. Когда п состоит из еще большего числа периодов, то таких сочетаний, которые дадут одно и то же значение цены акции вне зависимости от последовательности роста и падения цены, стано­вится больше. В формуле (10.14) выражение

как раз и показывает количество различных комбинаций движения цены акции, которые дают одну и ту же цену к моменту истечения контракта. Выражение п\\ - это и-факториал. Оно определяется как

говорит о вероятности события, когда

что цена акции будет расти в у периодах из п периодов и падать в («-у) периодах с учетом всех возможных комбинаций роста и па­дения мены акаии.

дает выплату по опциону к

моменту истечения контракта, если цена акции росла в у периодах на величину и и падала в и -у периодах на величину d .

Пример 3.

S = 100 руб., п - 3 периода, X - 105руб., и - 1,2; d = 0,8, ставка без риска для одного периода равна 2%. Определить стоимость опциона. Решение.

Вначале найдем значения р и (1 - р).

[1] Например, 5!= 5 ■ 4 ■ 3 • 2 ■ 1 = 120.

292

Запишем неравенство (10.16) следующим образом:

или

Чтобы определить значение к, возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства (10.17). Получим:

Из неравенства (10.18) следует, что к должно быть целым числом, большим чем:

По сравнению с формулой (10.15) здесь учтены следующие измене­ния. Стоимость опциона пут перед моментом истечения равна

акции вверх, в результате которых опцион колл становится выиг­рышным. Следовательно, опцион пут будет выигрышным, если коли­чество движений цены акции вверх не превысит величину к-1.

В биномиальной модели мы воспользовались приемом риск- нейтральной оценки, т. е. изменили риск финансовых активов, чтобы в качестве ставки дисконтирования взять ставку без риска. Подобное изменение риска правомерно, если вместо действительных вероят­ностей роста и падения цены актива перейти к риск-нейтральным вероятностям. Такой переход всегда правомерен, если можно сфор­мировать портфель, эквивалентный выплатам по опциону.

Биномиальную модель оценки премии опциона обычно называют моделью Дж. Кокса, С.Росса и М.Рубинштейна, которые опубликова­ли свою работу по этому вопросу в 1979 г.

Весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции может пойти вверх с вероятностью р или вниз с вероятностью I - р. В на­чале первого периода цена акции равна S . В конце первого периода Дtx курс акции может составить соответственно Su или Sd (см. рис.

10.3). В целях упрощения модели, поскольку период действия контрак­та делится на большое число интервалов, можно сделать допущение,

К моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать только два значения, а именно, 0 или ST-X для

опциона колл и 0 или X-ST для опциона пут. Чтобы рассчитать

стоимость опциона, необходимо вначале определить его цены в кон­це периода Т для каждого возможного значения цены акции, т.е.

Su4, Su2, S, Sd2, Sd4. Далее определяют цены опционов для

начала последнего периода путем дисконтирования под ставку без

Рис. 10.3. Дерево распределения цены акции для четырех времен­ных периодов

риска средневзвешенных цен опционов в конце периода Т , где веса­ми выступают риск-нейтральные вероятности роста и падения цены

акции. В примере это будет начало периода Д/4. Пусть цена опциона

Таким образом, последовательным дисконтированием цен опциона определяют его значение в начальный момент времени.

тпс

На практике при определении премии опциона период Т необ­ходимо разбить на большое число периодов. Обычно деление вре­мени опционного контракта на 30-50 интервалов уже дает приемле­мый результат. Проиллюстрируем представленную схему определе­ния цены опциона на примере.

Пример 4.

Цена исполнения европейского опциона колл 100 руб. Время его действия разбивается на три периода. Цена акции в начальный мо­мент 100 руб., темп роста курса акции в каждом периоде равен 1,05, темп падения цены 0,95. Ставка без риска для каждого периода со­ставляет 2%. Определить цену опциона.

Решение.

Определяем риск-нейтральные вероятности:

Значения цен акции для каждого узла дерева распределения пред­ставлены на рис. 10.4.

Для узла Su1 цена опциона равна:

115,76 -100 = 15,76руб.

Для узла Su:

105-100 = 5 руб.

Для узла S:

Для узла Sd2 она равна нулю.

296

Для узла Su

10.1.4.