<<
>>

10.1.3. Многопериодная биномиальная модель

Рассуждения, которые были использованы при определении стоимости опциона для двухпериодной модели, можно использовать и в случае деления времени обращения опциона на любое число периодов. Тогда биномиальная формула примет следующий вид:

Формула (1Q.14) говорит о том, что цена опциона равна дисконтиро­ванной стоимости суммы ожидаемых выплат по контракту к моменту его истечения.
Весь срок обращения опциона разбит на п периодов.

Соответственно в знаменателе R" - это коэффициент дисконтирова­ния, который учитывает ставку без риска и количество периодов. Чис­литель показывает ожидаемое значение суммы выплат по опциону с учетом вероятности каждого конкретного исхода. Поскольку мы рас­сматриваем биномиальный процесс, то в каждом периоде цена акции может пойти либо вверх с вероятностью р, либо вниз с вероятностью

(l-/?). Индекс j показывает количество периодов, когда цена акции возрастала из общего числа периодов п. Величина (я-у) соответст­венно говорит о количестве периодов, в течение которых цена акции падала. Знак суммы в формуле показывает, что количество возмож­ных вариантов роста цены акции имеет диапазон от j = 0 до j = n.

равна

моменту срока его истечения будет стоить

Сумма всех вероятностей равна 1.

При j = 0 оценивается вероятность падения цены акции в каждом

периоде. При j = n оценивается вероятность роста цены акции в

каждом периоде. Оцениваются все возможные комбинации движений цены акции за п периодов. Как мы видели в случае двухпериодной модели при п- 2, величина Sud могла быть получена двумя спосо­бами. Первый: значение S вначале выросло до Su, а затем упало до Sud . Второй: значение S вначале понизилось до Sd, а затем вырос­ло до Sdu. Так как Sud - Sdu , то в обоих случаях был получен оди­наковый результат. Когда п состоит из еще большего числа периодов, то таких сочетаний, которые дадут одно и то же значение цены акции вне зависимости от последовательности роста и падения цены, стано­вится больше. В формуле (10.14) выражение

как раз и показывает количество различных комбинаций движения цены акции, которые дают одну и ту же цену к моменту истечения контракта. Выражение п\\ - это и-факториал. Оно определяется как

Выражение
> Значение 0! равно единице.

говорит о вероятности события, когда

курс акции вырастет у раз и упадет п~ j раз.

Выражение

показывает вероятность того,

Выражение шах(

что цена акции будет расти в у периодах из п периодов и падать в («-у) периодах с учетом всех возможных комбинаций роста и па­дения мены акаии.

дает выплату по опциону к

моменту истечения контракта, если цена акции росла в у периодах на величину и и падала в и -у периодах на величину d .

Пример 3.

S = 100 руб., п - 3 периода, X - 105руб., и - 1,2; d = 0,8, ставка без риска для одного периода равна 2%. Определить стоимость опциона. Решение.

Вначале найдем значения р и (1 - р).

[1] Например, 5!= 5 ■ 4 ■ 3 • 2 ■ 1 = 120.

292

Премия опциона равна:

Как видно из примера, при расчете премии имеют значение лишь слагаемые, когда опцион оказывается выигрышным к моменту исте­чения контракта, поскольку остальные слагаемые обращаются в ноль. Пусть к - это число подъемов цены акции, чтобы опцион ока­зался с выигрышем. Тогда формулу (10.14) можно переписать как:

В формуле (10.15) суммирование значений в числителе начинается с периода к, Опцион будет выигрышным к моменту его истечения, если:

Запишем неравенство (10.16) следующим образом:

или

Чтобы определить значение к, возьмем натуральный логарифм от обеих частей неравенства (10.17). Получим:

Из неравенства (10.18) следует, что к должно быть целым числом, большим чем:

Если к больше п, то с-0, так как курс акции за все периоды п не превысит цену исполнения (Л},

Полученную модель можно применить и для определения премии

пппипна nvT Пня имеет рил\'

Через к мы обозначили количество движений цены

По сравнению с формулой (10.15) здесь учтены следующие измене­ния. Стоимость опциона пут перед моментом истечения равна

акции вверх, в результате которых опцион колл становится выиг­рышным. Следовательно, опцион пут будет выигрышным, если коли­чество движений цены акции вверх не превысит величину к-1.

В биномиальной модели мы воспользовались приемом риск- нейтральной оценки, т.

е. изменили риск финансовых активов, чтобы в качестве ставки дисконтирования взять ставку без риска. Подобное изменение риска правомерно, если вместо действительных вероят­ностей роста и падения цены актива перейти к риск-нейтральным вероятностям. Такой переход всегда правомерен, если можно сфор­мировать портфель, эквивалентный выплатам по опциону.

Биномиальную модель оценки премии опциона обычно называют моделью Дж. Кокса, С.Росса и М.Рубинштейна, которые опубликова­ли свою работу по этому вопросу в 1979 г. Однако впервые биноми­альный подход был предложен У.Шарпом в 1978 г. Мы рассмотрели вычислительную часть модели. Теперь подведем итог по общей схе­ме построения модели.

Весь период действия опционного контракта разбивается на ряд интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции может пойти вверх с вероятностью р или вниз с вероятностью I - р. В на­чале первого периода цена акции равна S . В конце первого периода Дtx курс акции может составить соответственно Su или Sd (см. рис.

10.3). В целях упрощения модели, поскольку период действия контрак­та делится на большое число интервалов, можно сделать допущение,

что

цена акции может

. Тогда в конце второго периода

принять значения

для следующих периодов.

К моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать только два значения, а именно, 0 или ST-X для

опциона колл и 0 или X-ST для опциона пут. Чтобы рассчитать

стоимость опциона, необходимо вначале определить его цены в кон­це периода Т для каждого возможного значения цены акции, т.е. для каждого узла дерева распределения. На рис. 10.3 для четырех­периодной модели это будут узлы со значениями курса акции

Su4, Su2, S, Sd2, Sd4. Далее определяют цены опционов для

начала последнего периода путем дисконтирования под ставку без

Рис. 10.3. Дерево распределения цены акции для четырех времен­ных периодов

риска средневзвешенных цен опционов в конце периода Т , где веса­ми выступают риск-нейтральные вероятности роста и падения цены

равна с4, для узле
дня узла
где

акции. В примере это будет начало периода Д/4. Пусть цена опциона

Тогда цена опциона в

начале периода Аг4 или, что то же самое, в конце периода Аг3 равна:

цена опциона в начале четвертого периода, т.е. в узле Su3.

Таким образом, последовательным дисконтированием цен опциона определяют его значение в начальный момент времени.

тпс

На практике при определении премии опциона период Т необ­ходимо разбить на большое число периодов. Обычно деление вре­мени опционного контракта на 30-50 интервалов уже дает приемле­мый результат. Проиллюстрируем представленную схему определе­ния цены опциона на примере.

Пример 4.

Цена исполнения европейского опциона колл 100 руб. Время его действия разбивается на три периода. Цена акции в начальный мо­мент 100 руб., темп роста курса акции в каждом периоде равен 1,05, темп падения цены 0,95. Ставка без риска для каждого периода со­ставляет 2%. Определить цену опциона.

Решение.

Определяем риск-нейтральные вероятности:

К моменту истечения действия опциона цена акции может принять следующие значения:

Значения цен акции для каждого узла дерева распределения пред­ставлены на рис. 10.4.

Для узла Su1 цена опциона равна:

115,76 -100 = 15,76руб.

Для узла Su:

105-100 = 5 руб.

Для узлов Sd и Sd3 она равна нулю, так как цена спот акции мень­ше цены исполнения. Для узла Su2 премия опциона равна:

Для узла S:

Для узла Sd2 она равна нулю.

296

Для узла Su

Рис. 10.4. Трехпериодная биномиальная модель Для узла Sd:

Премия опциона в начальный момент времени составляет:

10.1.4.

<< | >>
Источник: Буренин А.Н.. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные М, Научно-техническое общество имени академика С.И. Вави­лова, 2005, - 534 + 6 с. 2005

Еще по теме 10.1.3. Многопериодная биномиальная модель:

- Авторское право - Адвокатура - Административное право - Административный процесс - Антимонопольно-конкурентное право - Арбитражный (хозяйственный) процесс - Аудит - Банковская система - Банковское право - Бизнес - Бухгалтерский учет - Вещное право - Государственное право и управление - Гражданское право и процесс - Денежное обращение, финансы и кредит - Деньги - Дипломатическое и консульское право - Договорное право - Жилищное право - Земельное право - Избирательное право - Инвестиционное право - Информационное право - Исполнительное производство - История государства и права - История политических и правовых учений - Конкурсное право - Конституционное право - Корпоративное право - Криминалистика - Криминология - Маркетинг - Медицинское право - Международное право - Менеджмент - Муниципальное право - Налоговое право - Наследственное право - Нотариат - Обязательственное право - Оперативно-розыскная деятельность - Права человека - Право зарубежных стран - Право социального обеспечения - Правоведение - Правоохранительная деятельность - Предпринимательское право - Семейное право - Страховое право - Судопроизводство - Таможенное право - Теория государства и права - Трудовое право - Уголовно-исполнительное право - Уголовное право - Уголовный процесс - Философия - Финансовое право - Хозяйственное право - Хозяйственный процесс - Экологическое право - Экономика - Ювенальное право - Юридическая деятельность - Юридическая техника - Юридические лица -