§ 4d. "5-представимость" в биномиальной Сі2і2-модели

Интересно поэтому понять, почему единственность мартингальной меры в этой конкретной модели обеспечивает "5-представимость" а значит, и полноту рынка в соответствии с леммой из § 4Ь.

Напомним сначала некоторые обозначения.

Согласно § 1е из гл.

В^В^І+Г*), (1)

5„ = 5„_1(1 + р„), (2)

где г„ - _1 -измеримы и рп - ^„-измеримы, константы Во > 0, 5о > 0.

Поскольку

Sn 5n_i 1 + рп ^

Вп Sn-i 1 + гп \'

то ясно, что ( -j^- J будет мартингалом относительно меры Р, если, во-первых,

1 + Рп

< оо,

1 +Г„

где Е - усреднение по мере Р, и, во-вторых,

*")-\'• (4)

В силу —і -измеримости величин гп условие (4) сводится к тому, что

Ё(рп | &n-i) — гп- (5)

2. В биномиальной СДД-модели предполагается, что гп = г, где г - некоторая константа, и (pn)n^i ~ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих два значения: Ь и а с положительными вероятностями

р=Р(рп=Ь), q = P(Pn=a), (6)

р + q — 1. (Условимся считать а < Ь.) Будем предполагать также, что = а{р\\,- • -,Рп), п> 1,&о = {0, О}.

S (S \\

Если требовать "мартингальность" последовательности — = ( -р- }

в V^n/n^O

относительно меры Р такой, что Р Р, то на значения рп = Р(рп = Ъ) и qn = Р(рп = а) из равенства Ерп = г получаем условие

bpn + aqn - г,

приводящее вместе с условием нормировки рп + qn = 1 к значениям

~ ~ г — а _ „ Ь — г

Рп=Р= т—- , qn=q = т—- , (7)

о — а о — а

для положительности которых надо, чтобы а < г <Ь.

Мы будем предполагать также а > — 1.

Пусть X = - мартингал, где = w. =

с(рі,...,р„),еслип ^ 1.

Для п ^ 1 положим рп(A; w) = І(рп(ш) Є A),vn(A) = Еpn(A;w). Поскольку рп принимают лишь два значения, то меры рп( •; ш) и ип (¦) со-средоточены в двух точках а и Ь. При этом

=1(рп(ш) — а), ?п({а}) = q

и

Pn№-,w) =/(р„И = ь), vn({b}) =р. Пусть функции gn = 9n(xi, ¦ ¦ ¦ ,х„) таковы, что

Хп(ш) = дп(р1(ш),...,рп(ш)),

и, значит,

AXn(w) = gn(pi{w),рп(ш)) - gn-i (pi(u),.. .,pn-i (w)).

Поскольку E(AXn | &n-i) = 0, то

Р ¦ дп (piM,..., pn-i (ш), b) + q¦ дп {рх (w),...,pn-i(w),a)

= gn-i (Pi М,. ¦., Pn-i М)

или, равносильно,

дп (pi (и),---, рп-1 И, ъ) - gn_! (pi (и),..., рп-1М)

q

_ 9П -1 {PI М, •. ¦, РП -1 м) - дп (рг (w),..., рп -1 (и>), а)

Р

С учетом (7), этому соотношению можно придать следующий вид:

9п {pi М, ¦ ¦ •, Рп -1М ,Ъ) - gn-i {pi (и), ¦ ¦ •, Рп-1М)

Ь — г

_ 9п (piM, • ¦ •, Рп-1 (щ), А) ~ 9п-1 (PI М, • • •, Pn-iM)

а —г

Обратимся теперь к "^-представлению" Согласно формуле (1) из § 4с,

А1„И = Wn(u>,pn(u)) = J Wn (w, x) pn (dx-, ш), (10)

где

Wn(u),x) = gn{pi(u),. • .,рп-і{ш),х) - gn-i{pi(u), ¦ ¦ .,pn-i{u>)). Если положить

W^,x)=Wn{w\'x) , (11)

X — r

то из (10) найдем, что

AX„(w) = J(x — r)W\'n(u>,x) pn(dx\\u)). (12)

Заметим, что, в силу (9), функция W^(w,x) не зависит от х. Поэтому, обозначая правую (равносильно, левую) часть в равенстве (9) через j\'n (ш) > находим, что

ДХ„(и>) = 7;и J(x-r) /лп(dx; w) = 7\'n(w)(pn - r). (13) Тем самым, для X = (Xn, 9n, P) получаем представление

n

fc=l

= XoH + 7fcH(pfcH - r). (14)

Поскольку

д / = Sn-1 Pn

\\BnJ Bn_ 1 \' 1-І

+ Г

to

и, следовательно,

= Xo(«) + ? ТкИ* . (16)

где 9k —l -измеримые функции

+ (IT)

D/fc-l

Относительно меры P последовательность (—¦) является мартин-

\\BkJk^0

галом. Поэтому (16) есть не что иное, как "S-представление" Р-мартинга-

ла X относительно (базисного) Р-мартингала ( —— )

\\Вк/к>о

Применяя лемму из §4Ь, находим, что (В, 5)-рынок, описываемый CRR-моаелью, является полным при любом конечном горизонте N.

3. Замечание. Полезно отметить, что в проведенном в §3f (п. 5, пример 2) доказательстве того, что в CRR-модели мартингальная мера является единственной, существенно было использовано то, что ис-ходное вероятностное пространство является координатным: О = {а;}, х = (жі,х2,...), где Хі = а или 6; = а(х\\,... ,хп), п > 1, 9 — 9п. Из дальнейшего будет следовать (см. §4f), что в случае произвольного фильтрованного пространства (fi, Р) и предположения един

ственности мартингальной меры автоматически следует то, что это пространство (0,9должно быть таким, что (с точностью до множеств Р-меры нуль) 3"п = <7(Si,. . . , S„), П Її 1.