§4с. О представимости локальных мартингалов. II (" представимость" " представимость")

2. Будем предполагать, что заданная на фильтрованном вероятностном пространстве (ft,9, (9п), Р), ~ {0, ft}, стохастическая последовательность S = (S ,..., Sd) является ei-мерным мартингалом (относительно исходной меры Р и потока (9п))- Пусть

3i=o(S>k, k(т-алгебра, порожденная ценами, п > 1, и

X = Р)

локальный мартингал.

Приращения АХ„ = Хп — Xn_i являются ^-измеримыми, и поэтому найдется такая борелевская функция fn = fN(Xі,..., ХП ),ХІ Є К^что

ДХп(о>) = /п(Д5хН, ¦ • •, Д5„Н), weft.

(В силу предположения = {0, ft}, вектор 5р является неслучайным, и между (Si,..., S„) и (Д5і,..., ASn) существует взаимнооднозначное соответствие.)

Определим для каждого п ^ 1 функцию

Wn{и, х) = /„ (ASi (w),..., Д5П_! (w), .

Эта функция является, очевидно, измеримой по (w, х), ^(К^-измеримой по х при каждом ш Є ft и -измеримой при каждом х Є Rd.

Пусть fin(A-,u>) = /(ASn(w) Є Л), Л Є ?$(Rd), есть целочисленная случайная мера, построенная по приращениям ASn(w), n > 1.

ДХп(а>)= [ Wn{u,x)iin{dx-,u), (1)

Jm.d

и, следовательно, для X получаем так называемое "/І-представление":

п .

Хп {и) = Х0(w) + / (w, х) /ife (dx; w), (2)

или, в более компактной форме,

X=X0 + W*n (3)

(см. §3е).

Заметим теперь, что поскольку, по предположению, X является локальным мартингалом, то Е(|ДХП| | < оо, Е(ДХ„|^_1) = 0, n > 1. Поэтому, если

vn{A-w) = Е(р„(Л; - (4)

f

Jr"

то видим, что

" Wk{u,x)»k(dx-,u) = Е(АХк = 0.

!

Тем самым, наряду с (2) и (3) получаем так называемое "(р,—и)-представ-

п .

(5)

X„(u>) = Х0(ш) + У2 / wk(aj,x) (pk(dx\\u>) - uk(dx;ш)), ꥳ

или, в более компактной форме,

X = Х0 + W*{ji-v). (6)

Возможно, покажется странным, что вместо естественного представления (3) мы рассматриваем также получаемое из него тривиальным образом представление (6), называя его "(/І—і^-предсгавлением" и придавая, тем самым, ему определенную значимость.

Объяснение состоит в следующем.

Во-первых, в более общих ситуациях (непрерывное время, более общие, нежели потоки (7-алгебр,...) соответствующие представления локальных мартингалов возможны именно на основе привлечения стохастических интегралов типа W * (р — v). (См., например, [250; гл.

В качестве иллюстрации приведем такой пример.

Возьмем некоторое множество А Є ^(К^иобразуеммартингалХ^) =

ДХ^>Н - pn(A;w) - vn{A-,w)

= l(ASn( w) Є A)- E (l(ASn) Є A | (w).

Если положить Х) = 1А (Х), то тогда

АХ^ (w)= [ W^ (ш, x) (dx; w) - »п (dx; w)), jRd

откуда

X(A) = W(A) + ^ _ С другой стороны, если положить

Wn(w,x) = IA(x) - Е(/д(А5п)

то найдем, что

[ Wn(w,x)pn(dx;w)=pn(A;w)-vn(A;w)=AXW(w) и, значит,

х^ =W

Понятно, что функция проще устроена, нежели функция W.

Проведенные рассуждения показывают, между прочим, что значение W * д не изменится, если вместо функций Wn (и>, х) рассматривать функции Wn(u),х) + д\'п(х), где д\'п(х) таковы, что

f g\'n(x)pn(dx;w)= 0. JRd

В свою очередь, значение W*(fJ, — v)ne изменится, если вместо Wn (и, х) рассматривать функции Wn(w, х) + д„(ш), поскольку

/ g^(x)(pn(dx;w) - vn(dx;w)) = 0. J Rd

В следующем параграфе будет показано, как в СДД-модели Кокса-Росса-Рубинштейна из "(р—v)-представления" легко выводится "S-представление"