§4Ь. О представимости локальных мартингалов. I ("5-представимость")

Определение. Пусть на фильтрованном вероятностном пространстве (0,{&„), Р) заданы:

ei-мерный (базисный) мартингал S = (S„, Р)

и

(одномерный) локальный мартингал X = (Хп, Р).

Говорят, что локальный мартингал X допускает на (П, Р)

"5-представление" или представление относительно Р-мартингала S, если найдутся такие предсказуемые 7 = (7П), 7„ = (7*,..., 7^), что Р-п.н. для всякого п ^ 1

= + Е {= х° + Е (Е ^A5fe)) - w

т. е. X есть "мартингальноепреобразование" полученноеиз Р-мартингала5 "интегрированием" предсказуемой последовательности 7; см. § 1с в гл. II.

Следующая лемма относится к импликации {5}, приведенной в цепочке импликаций на предыдущей странице.

Лемма. Пусть (В, S) - безарбитражный рынок с конечным временным горизонтом N, В„ = 1, п < N, - семейство мартингальных мер Р, эквивалентных мере Р (на (О, 3) с Э" = относительно которых S = (Sn)n^o является Р-мартингалом.

Для того, чтобы этот рынок был полным, необходимо и достаточно, чтобы нашлась мера Р Є ^(Р) такая, что всякий ограниченный мартингал X =_^Хп,9п,Р) (pfn(w)| < С, п < N, из Є О) допус-кает на (?1,3, Р) "S-представление" или представление относительно Р-мартингала S.

Доказательство. а) Пусть (безарбитражный) рынок является полным. В качестве искомой меры Р возьмем произвольную меру из ??(Р). Пусть X = (Xn, P)nsSN - некоторый мартингал с |Х„(а?)| < С, п < N, из Є О.

Положим в определении полноты /jv = Xff. Предположение полноты означает, что существуют само финансируемый портфель 7Г и начальный капитал х такие, что (Р- и Р-п.н.)

п

(2)

fc=i

HIJ = JN = XFT.

Р-мартингалом (лемма из § 1с, гл. II) и, следовательно, Р-мартингалы X* и X с одним и тем же терминальным значением /jv , на самом деле, совпадают (Р- и Р-п.н.). Тем самым, мартингал X допускает "S-представление"

Ь) Пусть теперь /jv = In (и) - некоторая -измеримая ограниченная функция, |/jv | < С < оо (Р-п.н.). Надо показать, что найдутся самофинансируемый портфель тг и начальный капитал х такие, что соответствующий капитал XJj = /JV (Р-п.н.).

По предположению, существует мера Р Є ?^(Р), относительно которой всякий ограниченный Р-мартингал допускает "S-представление"

В качестве такого мартингала возьмем X = (Хп, P)„^jv с Хп = Ep(/jv 1Поскольку |/jv| < С, то X - это ограниченный мартингал (Леви) и для него справедливо представление (1) с некоторыми Зк-i-измеримыми величинами j = 1,..., d, k ^ N.

Построим по этим величинам портфель 7Г* = (/3*,7*) с 7* = 7 и

j\'=і

Из (1) следует, что /?* являются &П-1-измеримыми. При этом

0.

Е sLi*rnj+д/з; = Е + - А(ЕТ^))

Тем самым, 7Г* - самофинансируемый портфель, причем

d

XI\'+

3= 1

и, в частности, .X"jy* = -Х"лг = fiv (Р-, Р-п.н.), т.е. (В,5)-рынок является полным.

Лемма доказана.

Замечание. Если не предполагать, что Вп = 1, п < N, то все утверждения останутся справедливыми с заменой Р-мартингала S = {Sn)n