§ 4а. Мартингальный критерий полноты рынка. I. Формулировка второй фундаментальной теоремы. Доказательство необходимости

X% = fN (Р-п.н.). Будем обозначать через 3а(Р) совокупность всех мартингальных мер

к „ s

Р ~ Р, относительно которых нормированные цены — являются мартин-

В

галами. Предполагается (см. § 1а, 2а), что В = (-Bn)o^n^:N ~ безрисковый актив и 5 = {Sn)o^n^N является многомерным рисковым активом, причем 5„ = (S^, ...,Sd)udАктив В обычно интерпретируют как банковский счет; активы S1 называют акциями.

В дальнейшем предполагается, что Вп > 0, п ^ 0. Отсюда следует, что без ограничения общности можно считать Вп = 1, п ^ 0.

Следующая теорема настолько важна, что ее естественно назвать " Второй фундаментальной теоремой теории расчетов финансовых активов\'1 ("The second Fundamental Asset Pricing Theorem"; [214], [215]).

Теорема В. Полнота безарбитражного финансового (і?, S)-рынка (с N < оо, d < оо) имеет место тогда и только тогда, когда множество мартингальных мер состоит только из одной меры.

Таким образом, если отсутствие арбитража означает, что

0»(Р) Ф 0,

то полнота безарбитражного рынка может быть (условно) записана в виде

№)1 = і.

Сделаем некоторые замечания относительно доказательства этой теоремы.

В стохастическом исчислении хорошо известно (см., например, [250; гл. III]), что единственность мартингальной меры самым непосредственным образом связана с вопросами "представимости\'\'\' локальных мартингалов относительно некоторых базисных мартингалов. В "техническом" отношении соответствующие результаты (особенно для случая непрерывного времени; см.

В то же самое время в случае дискретного времени можно дать сравнительно элементарное изложение всего этого круга вопросов, связанных с проблемой "представимости" локальных мартингалов и имеющих к ней самое прямое отношение, - проблемой полноты [В, 5)-рынка. Мы начнем изложение со случая d — 1 (§ § 4а-4е). Общему случаю d > 1 посвящен §4f.

2. Идея доказательства теоремы В в случае d — 1 состоит в том, чтобы установить справедливость нижеследующей цепочки импликаций, в которой понятия "условное двуточие" и "S-представимость" объясняются ниже в § § 4Ь, 4е, а равенство 3-п = ^ означает, что ст-алгебра 3-п совпадает с точностью до множеств Р-меры нуль с ст-алгеброй

порожденной случайными величинами Si,..., Sn:

Импликация {1}, т.е. необходимость в теореме В, доказывается сравнительно просто и проводится следующим образом.

Возьмем множество А Є v и положим /jv = -Га(^). В соответствии с предполагаемой "полнотой" существуют само финансируемая стратегия ж и начальный капитал х такие, что Xfi = /jv (Р-п.н.) с X* = х. Если 7Г - самофинансируемая стратегия, то

п fe=i

Пусть Р^, і = 1,2,-две мартингальные меры из семейства ^(Р). Тогда является мартингальным преобразованием и, поскольку Xfo - ІА, то, согласно лемме из § 1с, гл. II, последовательность Хж = (X?)n^jv является мартингалом по каждой из мартингальных мер Р^, г = 1,2. Тогда для г = 1,2

х = Xg = Ер{(Хм | &Ь) = ЕРі/а = Pi(A),

и, следовательно, Pi (А) = Рг(^), А Є

Тем самым, меры Pi и Р2 на самом деле совпадают, что и доказывает то, что множество ^(Р), являющееся непустым в силу безарбитражности (Б,5)-рынка, состоит не более чем из одного элемента (|^(Р)| = 1). Необходимость (импликация {1}) в теореме В установлена. В следующем параграфе будут рассмотрены вопросы "представимости", участвующие в импликациях {4} и {5}.