§3е. Предсказуемые критерии мартингальности цен. II

Но для многих целей (и, в частности, для проблем отсутствия арбитражных возможностей; см.

~ ~ loc ~ 1ос

рой меры Р со свойством Р<Р или Р ~ Р, относительно которой процесс цен S является локальным мартингалом.

Вопросу существования мер с таким свойством было уделено много вни-мания в моделях с дискретным временем (§ § 3a-3f, гл. V).

Ниже этот вопрос рассматривается для случая непрерывного времени в семимартингалъных моделях.

Тогда процесс

M = M-~.(M,Z), (1)

является Р-локальным мартингалом и Р-характеристика (МС,МС) совпадает (Р-п.н.) с Р-характеристикой (МС,МС).

Доказательство. В соответствии с леммой из § 3d, гл. V,

XZ Є Ж X Є Ж{Р). (2)

(Формулировка и доказательство указанной леммы были даны для дискретного времени; на случай непрерывного времени они переносятся авто-матически.)

Из утверждения (2) легко выводятся (см. детали в [250; гл. III, § ЗЬ]) следующие "локальные" версии:

XZ Є ^іос(Р) X Є М\\ос(Р)-, (3)

(.XZ)T» Є ^юс(Р) ^юс(Р), (4)

где (XZf» = (XtATnZtATn)t^o и Tn = inf(t: Zt< 1/n).

Таким образом, для доказательства того, что М Є Л^іос(Р), достаточно лишь убедиться в том, что (MZ)Tn € М\\ос{Р), п > 1- Пусть

А=~ -(M,Z). (5)

Тогда, по формуле Ито,

ОM-A)Z = MZ-AZ

= (М- ¦ Z + Z- ¦ М + [M,Z\\) - (A - Z + Z- ¦ А) — (М_ ¦ Z + Z- ¦ М + ([М, Z] - (М, Z)))

+ (М, Z) — А ¦ Z — {М, Z) = M--Z + Z--M + ([М, Z] - (М, Z)) — A - Z. (6)

Первые три члена в правой части (6) являются Р-локальными мартин-галами. Таковым же является при каждом п ^ 1 процесс (А ¦ Z)Tn. Тем самым, согласно утверждению (4), процесс М Є J%ioc(P).

Таким образом, относительно меры Р процесс М становится семимартингалом с каноническим разложением

М = М + А. (7)

Отсюда и из определения квадратических вариаций [М,М] и [М,М] с помощью пределов п?и п —)¦ оо римановских последовательностей

(см.

3. Пусть St — S(jeHt, гдеН = {Ht)t^Q- семимартингал и пусть Р <С Р,

7 dPt

Предположим, что процесс Z ~ (Zt)t^o порождается некоторым Р-ло-кальным мартингалом N = (Nt)t^o-

dZt = Zt-dNt. (8)

Иначе говоря, пусть Z = S(N).

Представим процесс S в виде S = SoS(H), где Д" находится по Н согласно формуле (10) из предыдущего параграфа.

Пусть Н - специальный семимартингал с каноническим разложением

Н = Н0 + А + МГ (9)

где М Є ^іос(Р) и А - предсказуемый процесс локально ограниченной вариации.

Запишем Н в следующем виде:

H = Hq + A + M = HO+A+(M,N) + (M-{M,N)), (10)

и заметим, что

j--(M,Z) = (M,N). (11)

Тогда, в силу теоремы 1, процесс М — (М, N) по мере Р с dPt = Zt dPt, t ^ 0, является локальным мартингалом. Следовательно, имеет место

Теорема 2. Если Н - специальный семимартингал с каноническим

разложением (9), мера Р <С Р и процесс Z - (Zt)t^o допускает пред-ставление (8), то

A + {M,N) = 0 => НеЖіосф). (12)

4. Пусть выполнено условие (17) из предыдущего параграфа и процесс N допускает следующее представление:

iV = /3-#c+(y-l)*(M-^) (13)

с предсказуемым процессом /? = (/?t и ^-измеримой функцией У =

У (і, о/, ж), t ^ 0, а; Є П, ж Є К. (В (14) р = v = и предполагается, что соответствующие интегралы по Нс и р— v определены.) Воспользуемся представлением (18) из § 3d для Н:

H = H0+K + Hc + (ex-l)*(p-v). (14)

Тогда, если считать f ({it} х dx; ш) = 0, то найдем (см. замечание в конце п. 4 в §3а), что

(M,N) = /3-{Hc) + {Y -1){ех-1)*и. (15)

Из утверждения (12), формул (14) и (15), а также (19) из §3d приходим к следующему результату.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (17) из § 3d, v{{t} х dx; ш) — О

и

|У-1||ех-1|*^ <оо. (16)

Тогда если

В + (і + /?) (Нс) + (е* - 1 - g{x)) + (е- - 1)(У - 1) * = 0, (17)

то относительно меры Р с dPt = ZtdP, і > О, процессы Н и S = SQ${H) являются локальными мартингалами.

Пример.

&+(І+/з)а2 + J(ex-l-g(x))F{dx) + J{ex-l)(Y-l)F{dx)=0 (18)

процессы HAS = SQ§(H) являются Р-локальными мартингалами. Заметим, что условию (18) можно придать также следующую форму:

Ь+(\\ + (З)*2 + J{(ех - 1 )У - д(х)) F(dx) = 0. (19)

В случае Р = 0 и Y — 1 это условие совпадает с условием (24) из § 3d. Напомним представление для кумулянтной функции ср(Х) = \\b + ~a2+J {еХх - 1 - A«7(a;)) F(dx). (20)

Тогда, беря р = АиУ(ж) = еХх, из (20) находим, что условие (19) будет выполнено, если А выбрано как корень уравнения

ip(X + 1) — ?>(А) = 0. (21)

S ~

Если Bt = Boert, то дисконтируемые цены — относительно меры Р об-

^ В

разуют локальный мартингал, если dPt = Zt dPt и dZt = Zt_ dNt, где

N — Х- Hc + (еХх - 1 )*(fi-v) (22)

и А есть корень уравнения

ч>{\\ + 1) - v(a) = г.