§ 3d. Предсказуемые критерии мартингальности цен. I

Начнем с замечания о том, что в разных задачах могут оказаться удобными разные представления для рассматриваемых цен.

Если S ~ (St,&t)t^o - семимартингал, то, согласно определению,

St = So + at + mt, (1)

где а - (at, - процесс ограниченной вариации, а т — {m.t,&t)t^o

- локальный мартингал. Это разложение не является однозначным. Если, например, S = (St)t^o - стандартный процесс Пуассона (So — О, ЕSt = Xt), то в соотношении (1) можно положить как at = St, mt = О, так ив( = Xt, mt = St — Xt.

Разложение (1) носит "аддитивный" характер. Но если предполагать, что S = (St)t^о является специальным положительным семимартингалом и (1) - его разложение с предсказуемым процессом а = (a<)t^о, то при дополнительном предположении, что St- + Aat ф 0, для S имеет место мультипликативное разложение

St = Soi(a)tS(fh)t, (2)

где

g(g)t = Д (1+A9s)e-A9° (3)

О -стохастическая экспонента, и процессы а = (а<)ит= {fn-t) определяются по формулам

В справедливости формулы (2) можно легко убедиться, применяя формулу Ито; детали см. в [304; гл. 2, § 5].

Произведение двух стохастических экспонент в (2) может быть по формуле Пора (см. (18) в §3f, гл. III) "превращено" в одну стохастическую экспоненту:

?(a)t?(m)t =S(H)t, (5)

где

Ht = at+fht + [a, m]t (6)

и

\\a,m)t= ]Г AasAfhs. (7)

Поэтому для S = (St)t^ о получаем следующее представление

St = S0S(H)t, (8)

которое оказывается весьма удобным при анализе этого процесса "на мар- тингальность" поскольку стохастическая экспонента ?(Н) является локальным мартингалом тогда и только тогда, когда Н есть локальный мар-тингал.

Выше (§ 1а, гл.

St = SoeHt (9)

с некоторым семимартингалом Н — (Ht)t^o- И именно это представление (9) принимается обычно в финансовой математике как исходное. Переход же от (9) к (8) осуществляется по формуле

Ht=Ht+l-{Hc)t+ Y, (еАЯ*-1-ля,), (10)

о (11)

dHt = dHt + ^d{Hc)t + (eAHt - 1 - AHt).

которую в "дифференциально-разностной" форме можно записать следующим образом:

Для доказательства формулы (10) заметим, что по формуле Ито, примененной к f(H) = е11,

dSt = St. [dHt + іd(Hc)t + {eAHt - 1 - Atft)]. (12)

С другой стороны, из (8) и свойств стохастической экспоненты

dSt = St~ dHt. (13)

Сопоставление (12) и (13) приводит к формуле (10).

Замечание 1. Бесконечная сумма в формуле (10) абсолютно сходится (Р-п.н.), поскольку для в сякого семимартингала Я существует лишь конечное число моментов времени $ ^ ?, для которых

|ДЯ,| > і и ? (ДЯ3)2 < оо

О (см. § 5Ь, гл. III). По той же самой причине абсолютно сходится бесконечное произведение в определении стохастической экспоненты (3).

2. Пусть Н - семимартингал и

Я = Н0 + В + Яс + д * {ц - v) + {х - д{х)) * ц (14)

есть его каноническое представление (относительно некоторой функции урезания д = д(х); ц = цн - мера скачков Я и и = vH - ее компенсатор; см. §3а).

Из (10) и (14) для Н получаем следующее представление:

Я = Н + І(ЯС) + (ех - 1 - х)

= Но+В + Нс+± (Яс> + g*{p-v)

+ (х - д(х)) * (ех - 1 - х) * ц. (15)

Для преобразования правой части в (15) воспользуемся тем, что если \\W\\ * v Є то \\ W\\ * ц Є и при этом (см. § За)

W *{p--u)=W *n-W *v. (16)

Отсюда и из (15) находим, что если

(|s|/(|:c| < 1) + е*Щх\\ > 1)) * і/ Є <с, (17)

то

Я = К + Н0 + Нс + (е* - 1) * 0* - „), (18)

где Нс + (ех - 1) * {п - v) Є ЛГіос(Р) и

К = В+l-(Hc) + [ех -l-g(x))*V.

Теорема. Пусть выполнено условие (17). Тогда Н Є Л?іос(Р) u S Є ^ioc(P) в толі и только в том случае, когда

Kt= 0 (Р-п.н.), і > 0. (19)

5 этом случае локальный мартингал

Н = Н0 + Нс + (ех - 1) * (р - и). (20)

Пример. Пусть Н - процесс Леви, триплет (В, С, и) которого имеет следующий вид:

Bt=bt, Ct=a t, v(dt,dx) = dtF(dx), (21)

где мера F = F(dx) такова, что ^({0}) = 0 и

(х2 А 1) F(dx) < оо. (22)

/ о

Усилим (22), предполагая, что

|*|/(|а:| < 1) + exI(|*| > 1)) F(dx) < оо. (23)

В этом предположении процесс цен St = SoeHl будет (относительно исходной меры Р) мартингалом, если (Ь, а2, F) подчиняется следующему со-отношению:

2 /.

ь+ у + у (е* - 1 - Если Bt = Boert - банковский счет, то дисконтируемый процесс цен Л = ^ Jr^ образует по мере Р мартингал, если

t> о

ь + у + yv - 1 - ^ ^ (25)

Замечание 2. В соответствии с обозначением (10) в предыдущем па-раграфе левая часть в уравнениях (24) и (25) есть значение "кумулянтной" функции уз(А) при А = 1. Поэтому формуле (25) можно придать следующий вид:

V(l)=r. (26)

Замечание 3. Как показывает теорема 3 из § Зс, в случае процессов Леви условие J|а;|/(|а;| Sj 1) F(dx) < оо становится излишним. (Это усло-вие возникло в ходе "перегруппирования" членов в (15) с использованием формулы (16).)