§ Зс. Мартингальность цен в случаеусловно-гауссовского и логарифмически условно-гауссовского распределений

S fSn\\

тельно которых последовательность нормированных цен — = I I яв-

В \\Вп}

ляется мартингалом, обратимся сначала к несколько идеализированной модели (В, 5)-рынка, считая, что В = (ВП) с ВП = 1 и S = (SN), где

SN — SQ + Я„, n> 1, (1)

п

с Яп = HK, SQ = Const.

условно-гауссовской последовательностью, hn = цп + о"пєп, с і-измеримыми fin и сгп w є — (еп) - последовательностью независимых, <уУ(0,1 ^распределенных 3-п-измеримых величин єп, п ^ 1 (см. подробнее предшествующий параграф).

Тем самым, сейчас допускается, что цены Sn могут принимать и отрицательные значения. В этом и состоит упомянутая выше "идеализация". Впрочем, заметим, что именно подобная модель и рассматривалась Л. Ба- шелье в [12]; см. подробнее по этому поводу § 2а в гл. I.) Предположим, что /j„ = 0. Тогда

Sn = S0+ Y1 (2)

fcijn

В силу 3k-і -измеримости величин ак и свойства = Оиз (2)

следует, что в рассматриваемом случае последовательность цен S = (SN) является мартингальным преобразованием и, следовательно, локальным мартингалом (см. теорему в § 1с, гл. II). Если дополнительно предположить, что, скажем, E|(7fc?fc| < оо, к > 1, то тогда последовательность S = (SN) будет мартингалом относительно исходной меры Р. (По поводу общих условий, при которых локальный мартингал является мартингалом, см. § 1с в гл. II.)

Пусть теперь (in не равно тождественно нулю при всех п ^ N. В этом случае дискретный вариант теоремы Гирсанова (§ ЗЪ) дает способ построения мер Pjv (см. (8) и (6) в §ЗЬ), относительно которых после-довательности (Sn)n^jv являются локальными мартингалами и (просто) мартингалами, если Е.\\<7пЄп\\ < °о при всех п ^ N.

2.

5„ = S0eHfl (3)

иВ„ = 1, n < JV.

В § 1а, гл. II, отмечалось, что представление (3) типа "сложных процентов" ("compound return"), удобное с точки зрения статистического анализа, не совсем удобно для целей стохастического анализа. Дело в том, что при исследовании последовательности S = (5п)на "мартингальность" было бы желательно иметь утверждение такого типа: "для того, чтобы последовательность S - (Sn), представленная в виде (3), была мартингалом, достаточно, что бы мартингалом была последовательность Н = (Нп)" Од-нако это, вообще говоря, не так, что и объясняет обращение к представлению ("simple return")

Sn = S0S(H)n, (4)

где (см. § la в гл. II)

ЯП = Я„+Е (еАЯ* - A#fc ~ 1) (5)

fcijn

и Є(Н) = (S(H)n)n^.о - стохастическая экспонента, построенная по Н = (Я„) согласно формулам

?(Н)п = ей« П(і + ДЯь)е-ліЧ 1, (6)

и?(Я)0 = 1.

Ив (5), и в (6) правые части можно, конечно, упростить и записать их в виде

Я„=?(ед"*-1), (7)

fc^n

g(S)n = П (1 + ДЯ*). (8)

к^п

Полезно, однако, отметить еще раз (см. § 1а в гл. II и § 5с в гл. ІП), что при рассмотрении аналогичных представлений для случая непрерывного времени "правильной" формой являются выражения типа (5) и (6), ане (7) и (8), что связано с проблемой сходимости соответствующих "сумм и "произведений ns 0.

Преимущество представления (4) по сравнению с (3) состоит в том, что для него верно следующее

Предложение. Для того, чтобы последовательность S ~ (Sn), определенная в (4), была мартингалом, достаточно, чтобы последовательность Я = (Я„)п^і была локальным мартингалом с ДЯ„ ^ — 1 для п ^ 1.

Действительно, из (6) или (8) для п > 1

Д 8(Н)п = ^(Я)П_!ДЯ„. (9)

Предположим, что (Нп) является локальным мартингалом, а значит, как мартингальное преобразование (см.

п

Hn = Yl (10)

к=1

с 3k -1 -измеримыми ak и некоторым мартингалом М = (М„). Из (9) и (10) видим, что

А8(Н)п = а„^(Я)п_1ДМ„,

т. е. 8(H) является мартингальным преобразованием, а значит, и локальным мартингалом.

Если ДЯП > —1, то заведомо 8(Н)п ^ 0. Поэтому, согласно лемме из § 1с в гл. II, локальный мартингал 8(H) является, на самом деле, (прос-то) мартингалом.

В рассматриваемом нами случае условие ДЯ„ ^ —1 выполнено, по-скольку

ДЯ„ = еля" - 1 > -1.

3. Будем предполагать, что величины hn = ДЯ„ являются у словно-гауссовскими с Л„ = /І„ + (т„єп. В этом случае последовательность S = (Sn) с Sn = 50ея" естественно назьшать логарифмически условно-гауссов ской, что отражено в названии § Зс.

Зададимся сначала вопросом о том, при каких условиях последовательность S = (Sn) будет мартингалом относительно исходной меры Р.

Для этого, как мы видели выше, достаточно, чтобы последовательность Я = (Я„) с ДНп \' еЛЯ" — 1 была локальным мартингалом, т.е. чтобы Е(|ДЯП| | Jyi-i) < оо и Е(ДЯ„|^„_1) = 0, или, равносильно, чтобы

Е(еЛЯ" | = 1 (Р-п-н.). (11)

Поскольку мы предполагаем, что Ді7п = + ипєп, то условию (11) мож-но придать форму

E(e"»+<,»e»|Sr„_i) =1, (12)

что равносильно тому, что

Efe*""» = e~"». (13)

I 2

Левая часть равна . Тем самым, мы получаем условие

2

Mn+Y = 0 (р-п-н-), (14)

при котором логарифмически условно-гауссовская последовательность

Sn = 50ехр|Ё(А1й +

является мартингалом относительно исходной меры Р. Этот результат, конечно, можно было бы легко предвидеть, поскольку последовательность

является, как мы уже отмечали выше, мартингалом.

4. Обратимся теперь к случаю, когда условие (14) не выполнено. Пусть п ^ N. Будем строить на Зн — 3 требуемую меру Р с помощью условного преобразования Эшера в виде

P(rfw) = ZN(u)P(dw),

где ZN(w) = П zn(u>) и (с 30 = {0, Щ)

l^n^N

^И = rzf a h І ас T \' (16)

Е(е ™ ™ I Зп-\\)

где 3}.