§ 4с. О расчетах опционов Американского типа в одно факторных гауссовских моделях

mtj° = {т = т(ш): 0 < т(ш) ^ Т°, ш Є П}.

Рассматриваемый (В, Р)-рынок является и безарбитражным, и полным, и в соответствии с общей теорией расчетов в подобных моделях (см. раз-дел 2, гл. VI, и раздел 5, гл. VII),

+

(1)

С *(Т°,Т)= sup Е ехр ( - Г г (и) du) (Р(т, Т) - К) remf V J° /

и

(2)

\'(Т°,Т)= sup Eexpf- Г r{u)du}(K-Р(т,Т)) + . r(zmT° \\ J о /

Поскольку

Р(т, Т) = ехр [А(т, Т) - г(т)В(т, Г)), (3)

то видим, что задачи (I) и (2) относятся к стандартным задачам об оптимальной остановке

" sup Eexpf— [ r(u)du )rem? Wo /

для марковских процессов г = (r(?))t^r и неотрицательных функций G(t, Т; г(т)), общая теория решения которых достаточно хорошо развита (см., например, [441]).

2. Совсем просто решается вопрос относительно отыскания величины С(Т°,Т). Действительно, как и в случае стандартных ошсионов-колл на (В, S)-рынках, процесс

является субмартингалом, и, значит, по теореме Дуба об остановке С*(Т°,Т) = с°(Т°,Т), что в §5Ь, гл. VI, и в § ЗЬ интерпретировалось как то, что рассматриваемый "опцион-колл Американского типа является опционом Европейского типа"

Переходя к отысканию стоимости Р* (Т°, Т), введем величины

Y*(t,r)= sup Et>rexpf- Г r(u)du]G(T,T-,r(T)), (5) remf V J* /

где EtjI. - усреднение в предположении r(t) — г, mf - класс моментов остановки т = т(ш) таких, что t ^ г(ш) ^ Т°, и

+

G(t,T-,r(t)) = (К -P(t,T))+ = (К -exp(A(t,T) -r(t)B(t,T)))

с функциями /1(і, Т) и B(t, Т), определяемыми формулами (13) и (14) в § 4а.

Ст = {{t,r):Y*{t,r) > G(t,Т;г), 0^t0}

и

DT = {{t,r):Y*(t,r) = G(t,T;r), 0^t0}.

Основываясь на характеристических свойствах цен Y*(t,r) как наименьших эксцессивных мажорант функций G(t,T; г) (см. [340], [363], [441; гл. III], [467], [478]), можно показать, что существует непрерывная пограничная функция г* = r*(t), t < Т°, такая, что области Ст и DT (продолжения и остановки наблюдений) имеют следующий вид:

Ст = {(i,r):r(t) 0}

и

DT = {(t,r): г(і) > r*[t), 0^t0}.

При этом Y* = Y*(t,r) и пограничная функция г* =r*(t) являются решениями следующей задачи Стефана:

dY*Qt,T) + LY*(t,г) — rY*(і,г) = 0, (t,г) Є СТ,

где

в области DT

Y*(t,r) = G(t,T;r), (6)

и на dDT выполняется условие гладкого склеивания

dY*(t,r)

(7)

дг

rfr*(t)

dG(t,T; г)

rir-(t)

Точное аналитическое решение этой задачи неизвестно (как, впрочем, и в случае (В, S)-моделей; см. § Зс). В то же самое время, учитывая широкую распространенность опционов Американского типа на практике, хоте-лось бы иметь представление о том, насколько стоимость Р* (Т°, Т) опциона Американского типа больше стоимости Р° (Т°, Т) опциона Европейского типа, как ведет себя пограничная функция г* = r*(t), t < Т°.

Рассуждения, аналогичные тем, которые были использованы в § 3d. для установления связи между стоимостями опционов Европейского и Американского типов на (В, S)-рынке, применимы в рассматриваемом случае (В, \'Р)-рынков и приводят к следующему результату (ср. с (19) в § 3d): для 0 ^ і < Т°

Y*{t,r) =Y0{t,r)+Kj^ ЕіуГ^ехр(- Jj{u)duy(s)l(r{s) >r*(s))|ds,

(8)

где

Y°(t,r) = Et,rexp (~jK(u)du^J (К - P(T°,T)) +

= Et,r ехрdu\\ (К - ехр(A(T°,T) - r(T°)B(T°,T))).

(9)

Пользуясь формулами (12) и (13) из §4Ь и найденными там значениями для величин /if, fj.v,..., после несложных алгебраических преобразований получаем: для 0 ^ t ^ Т°

Y\'(t,r)=Y°(t,r)

рТ°

+ К / Р(і,3){Ф(-^(і,3))/(і,3) + a(t,s)ip(^(t,s))} ds, Jt (10)

где

c2(i, s) = D(r(s) I r(t) = r),

q

f(t,s) = -—lnP(t,s), r\'(s)-f(t,s)

v*{t, s)

a{t,s)

(Детали вывода формул (8) и (10) см. в [257].) В частности, поскольку

»*{Т°,Т) = У*(0,г0) и Р°(Т°,Т) = У°(0,го),

то

Р*(Т°,Т) = Р°(Т°,Т)

гТг

+ К [ Р(0, з){Ф(—г^*(0, s))f(0, s) + а{0, s)ip(v*(0, s))} ds.

Jo

В заключение отметим, что формула (10) дает возможность (индукцией назад) получать, по крайней мере, приближенные значения и для стоимости Р*(Т°,Т), и для пограничной функции г* = r*{t),t< Т°.

По поводу разнообразных методов численных расчетов опционов Американского типа (в том числе и в "случаях с дивидендами") см., например, [28], [29], [56], [57], [179], [257], [376], [478] и [479].